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1、第第6 6讲讲 单自由度系统在一般激励下的受迫振动单自由度系统在一般激励下的受迫振动 Mechanical and Structural Vibration6.1 6.1 周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动6.3 6.3 响应谱响应谱周期振动 展成傅氏级数一个周期 T 中的平均值 n=1,2,3,n=1,2,3,基频6.1 6.1 周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration一个周期振动可视为频率顺次为基频 及整倍数的若干或无数 简谐振动分量的
2、合成振动过程。 在振动力学中将傅氏展开称为谐波分析 周期函数的幅值频谱图，相位频谱图。周期函数的谱线是互相分开的，故称为离散频谱。周期振动的谐波分析6.1 6.1 周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration函数的频谱，说明了组成该函数的简谐成分，反映了该周期函数的特性。这种分析振动的方法称为频谱分析。由于自变量由时间改变为频率，所以频谱分析实际上是由时间域转入频率域。这是将周期振动展开为傅里叶级数的另一个物理意义。 周期振动的谐波分析6.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical an
3、d Structural Vibration周期振动的谐波分析以无穷级数出现，但一般可以用有限项 近似表示周期振动。 例 已知一周期性矩形波如图所示，试对其作谐波分析。 解矩形波一个周期内函数F (t) 可表示为表示F(t)的波形关于t轴对称，故其平均值为零。 周期振动的谐波分析6.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibrationn=1，2，3于是，得F(t)的傅氏级数F(t)是奇函数，在它的傅氏级数 中也只含正弦函数项。在实际 的振动计算中，根据精度要求 ，级数均取有限项。F(t)的幅值 频谱如图所示。 周期振动的
4、谐波分析6.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration非周期函数的连续频谱函数f ( t )的傅氏积分公式f ( t )的傅氏变换的傅氏逆变换 又称非周期函数f ( t )的频谱函数。频谱函数的值一般是复数 。 连续频谱 f ( t )称为非周期函数 6.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration例 试求图示单个矩形脉冲的频谱图形。可求得频谱函数f (t)的傅氏积分为解: f ( t )可表示为非周期函数的连续频谱6.16.1周
5、期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration其振幅频谱频谱图傅氏积分和变换，是研究瞬态振动 与随机振动的重要工具。实际应用 时，可使用计算机运算或应用各种 快速傅氏分析仪器(FFT)。 非周期函数的连续频谱6.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration6.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动先对周期激励作谐波分析，将它分解为一系列不同频率的简谐 激励。然后，求出系统对各个频率的简谐激励的响应。再由线 性系统的叠加原理，将
6、每个响应分别叠加，即得到系统对周期 激励的响应。 设粘性阻尼系统受到周期激振力谐波分析方法，得到系统的运动微分方程为周期基频Mechanical and Structural Vibration由叠加原理，并考虑欠阻尼情况，得到系统的稳态响应6.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration例 弹簧质量系统，受到周期性矩形波的激励。试求系 统的稳态响应。(其中 )解：周期性矩形波的基频为矩形波一个周期内函数将矩形波分解为固有频率 6.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical an
7、d Structural Vibration可得稳态响应将矩形波分解为从频谱图中看，系统只对激励所包含的谐波分量有响应。对于 频率靠近系统固有频率的那些谐波分量，系统响应的振幅放大 因子比较大，在整个稳态响应中占主要成分。 画出系统的响应频谱图奇数6.16.1周期激励作用下的受迫振动周期激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动物块受到冲量的作用时，物块的位移可忽略不计。但物块的 速度却变化明显。根据力学中的碰撞理论，可得物块受冲量 作用获得的速度设冲量的大小为作用在单自由度系统中，求
8、响应。对作用时间短、变化急剧的力常用它的冲量进行描述。1. 用冲量描述瞬态作用Mechanical and Structural Vibration如果取 为冲量作用的瞬时等价于对初始条件的响应初位移初速度得到单自由度无阻尼振动系统对冲量的响应如果 作用在 的时刻，未加冲量前，系统静止，则物块 的响应为6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration同理，如果在t = 0时，冲量作用在有粘性阻尼的物块上，对 欠阻尼的情形，得其响应如果 作用在 的时刻，则物块的响应为6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励
9、作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration用 (t)函数表示作用在极短时间内冲击力6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动表明只在近旁极其短暂的时间内起作用，其数值为无限大。但它对时间积分是有限数1。函数的定义是从积分式可见，如果时间以秒计， (t)函数的单位是1/s。用单位脉冲(unit impulse)函数 (t)表示冲击力冲量表示施加冲量的瞬时Mechanical and Structural Vibration如果在t = 0的瞬时施加冲量，则相应的冲击力 当 ，即施加单位冲量时，冲击力为F是冲击力, (t)函数又称单位脉冲函
10、数，就是由此而得名。单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration单位脉冲力作用于单自由度系统时，其振动微分方程为单位脉冲力作用等价于冲量 作用在有粘性阻尼的物块上 ，对欠阻尼的情形，根据初始条件可确定A和。最后得其响应6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration为了应用方便，单位脉冲函数的响应用h(t)表示。得单 自由度无阻尼系统对单位脉冲函数的响应有粘性阻尼系统对单位脉冲
11、函数的响应称为单自由度系统的时域响应函数 6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibrationh(t)有以下特性不难发现h(t)的表达式包含系统的所有的动特性参数，它实 质上是系统动特性在时域的一种表现形式。h(t)是单位脉冲 冲量的响应，其量纲为位移/冲量。 2.3.2系统对单位脉冲力的响应 6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动作用有一任意激振力F(t)欠阻
12、尼情形物块的运动微分方程将激振力看作是一系列元冲量的叠加元冲量为得到系统的响应Mechanical and Structural Vibration由线性系统的叠加原理，系统 对任意激振力的响应等于系统 在 时间区间内各个元 冲量的总和，即得到系统的响应6.2 6.2任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration上式的积分形式称为卷积。因此，线性系统对任意激振力的响 应等于激励与单位脉冲响应函数的卷积。这个结论称为博雷尔 (Borel)定理，也称杜哈梅(Duhamel)积分。对无阻尼的振动系统，得到任意激振力的响应用单位脉
13、冲函数响应表示，得到单自由度系统对任意激振力响 应的统一表达式6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration系统有初始位移和初始速度，则系统对任意激振力的响应为对于无阻尼振动系统的响应为t t1 即激振力停止作用后，物块的运动称为剩余运动。以为初始条件的运动6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration例 无阻尼弹簧质量系统受到突加常力F0的作用，试求其响应。积分后得响应为代入在突加的常力作用下，物块的运动 仍是简谐运动
14、，只是其振动中心沿 力F0的方向移动一距离解：取开始加力的瞬时为t = 0，受阶跃函数载荷的图形如图所示。设物块处于平衡位置，且 。也是弹簧产生的静变形。 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration若阶跃力从t = a 开始作用，则系统 的响应为t a6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration解：在 阶段，系统的响应 显然与上例的相同，即例2-10 无阻尼弹簧质量系统，受到矩形脉冲作用，试求其响应。当t t1时，
15、F ( t ) = 0，得6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration系统的响应为t t1实际上，在t t1阶段，物块是以t = t1的位移x1和速度 为初 始条件作自由振动。因此，其响应也可用下面的方法求得。 将初始条件6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动作为研究线性振动系统的工具，拉普拉斯变换方法有广泛的用途。它是求解线性微分方程，特别是常系
16、数的线性微 分方程的有效工具。用拉氏变换可简单地写出激励与响应间 的代数关系。现在说明如何用拉氏变换方法求解单自由度具有粘性欠阻尼系统对任意激励的响应。由物块的运动微分方程其中f (t)表示任意激振力。并设t = 0时，对式两端各项作拉氏变换Mechanical and Structural Vibration如不计运动的初始条件，即令 ，则写成传递函数 在拉氏域中，系统的响应是系统的传递函数和激励的乘积。 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动任意激励作用下的受迫振动Mechanical and Structural Vibration对式两端各项作拉氏变换经整理得是系统的响应在拉氏域中的表达式 6.2 6.2 任意激励作用下的受迫振动
