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1、1直线和圆直线和圆总结总结 复习回顾复习回顾 一、直线的方程一、直线的方程： 1 1、直线的倾斜角、直线的倾斜角： （1）定义定义：在平面直角坐标系中，对于一条与轴相交的直线 ，如果把轴绕着交点按逆时针方逆时针方xlx 向转向转到和直线直线 重合重合时所转的最小正角最小正角记为，那么就叫做直线的倾斜角。当直线 与轴重合或平行llx 时，规定倾斜角为 （2）倾斜角的范围倾斜角的范围 。 2 2、直线的斜率、直线的斜率： （1）定义定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的 叫这条直线的斜率，即 kk (90)；倾斜角为 的直线没有斜率； （2）斜率公式斜率公式：经过两点、的直线的斜率为 ；111
2、( ,)P x y222(,)P xyk应用应用：证明三点共线： 。ABBCkk如如(1)(1) 两条直线钭率相等是这两条直线平行的_条件 （答：既不充分也不必要） ； 3 3、直线的方程、直线的方程： （1）点斜式点斜式：已知直线过点斜率为，则直线方程为 ,它不包括垂直于00(,)xyk轴的直线。x （2）斜截式斜截式：已知直线在轴上的截距为和斜率，则直线方程为 ,它不包括垂直ybk 于轴的直线。x （3）两点式两点式：已知直线经过、两点，则直线方程为，111( ,)P x y222(,)P xy它不包括垂直于坐标轴的直线。（4）截距式截距式：已知直线在轴和轴上的截距为,则直线方程为，它不包
3、括 xy, a b1by ax。 （5）一般式一般式：任何直线均可写成(A,B 不同时为 0)的形式。0AxByC 4 4、点到直线的距离及两平行直线间的距离、点到直线的距离及两平行直线间的距离： （1）点到直线的距离 d= ；00(,)P xy0AxByC（2）两平行线间的距离为 d= 。1122:0,:0lAxByClAxByC6 6、直线、直线与直线与直线的位置关系的位置关系：1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC（1 1）直线与直线垂直垂直。1111:0lAxB yC2222:0lA xB yC12120A AB B小练习：小练习： （1 1）设直线和，1:60lxmy
4、2:(2)320lmxym当_时； 当_时；m1l2lm1l2l当_时与相交； 当_时与重合m1l2lm1l2l（答：1；3） ；1 231且mm （2 2）已知直线 的方程为，则与 平行，且过点（1，3）的直线方程是l34120xyl_（答：） ；3490xy（3 3）两条直线与相交于第一象限，则实数的取值范围是_（答：40axy20xya） ；12a 二、圆的方程二、圆的方程：（1）圆的标准方程：。其中圆心为 ，半径为 。222xaybr（2）圆的一般方程：，22220(DE4F0)xyDxEyF2特别提醒特别提醒：只有当时，方程才表示圆心为，22DE4F0220xyDxEyF(,)22D
5、E半径为的圆22142DEF（3）为直径端点的圆方程1122A,x yB xy 12120xxxxyyyy知识小结：知识小结：1 1、点与圆的位置关系、点与圆的位置关系：已知点及圆，00M,xy222C0：x-aybrr（1）点 M 在圆 C 外；222 00CMrxaybr（2）点 M 在圆 C 内；222 00CMrxaybr（3）点 M 在圆 C 上。2 0CMrxa22 0ybr小练习：小练习：点 P(5a+1,12a)在圆(x)y2=1 的内部,则 a 的取值范围是_（答：）131|a2 2、直线与圆的位置关系、直线与圆的位置关系：直线和圆有相交、相离、相切。:0l AxByC222
6、C：xaybr0r 可从代数和几何两个方面来判断： （1）代数方法（判断直线与圆方程联立所得方程组的解的情况）： 相交；0 相离；0 相切；0 （2）几何方法（比较圆心到直线的距离与半径的大小）：设圆心到直线的距离为，d 则相交；相离；相切。drdrdr 提醒提醒：判断直线与圆的位置关系一般用几何方法较简捷。 3 3、圆与圆的位置关系、圆与圆的位置关系（用两圆的圆心距与半径之间的关系判断）：已知两圆的圆心分别为，12OO，半径分别为，12,r r则（1）当时，两圆外离；1212|O Orr（2）当时，两圆外切；1212|O Orr（3）当时，两圆相交；121212|O Orrrr（4）当时，两
7、圆内切；1212|O O|rr（5）当时，两圆内含。12120|O O|rr4 4、圆的切线与弦长、圆的切线与弦长： (1)切线： 过圆过圆上一点上一点圆的切线方程圆的切线方程是：，222xyR00(,)P xy2 00xxyyR过圆上一点圆的切线方程是：222()()xaybR00(,)P xy，2 00()()()()xa xayayaR（2）弦长问题弦长问题： 圆的弦长的计算：常用弦心距，弦长一半及圆的半径所构成的直角三角形来解：即；d1 2ar2221()2rda过两圆、交点的圆(公共弦)系为，当时，方1:( , )0Cf x y 2: ( , )0Cg x y ( , )( , )0
8、f x yg x y1 程为两圆公共弦所在直线方程.。( , )( , )0f x yg x y 注意：注意：解决直线与圆的关系问题时，要充分发挥圆的平面几何性质的作用平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距 构成直角三角形，切线长定理、割线定理、弦切角定理等等)!3规律方法指导规律方法指导1.不论圆的标准方程还是一般方程，都有三个字母（、或、）的值需要确定，因此需要三个独立的条件。利用待定系数法得到关于、（或、）的三个方程组成的方程组，解之得到待定字母系数的值。2. . 求圆的方程的一般步骤：（1）选用圆的方程两种形式中的一种（若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的 特殊位置
9、或圆心与两坐标间的关系，通常选用标准方程）；（2）根据所给条件，列出关于、或、的方程组；（3）解方程组，求出、或、的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程。 3. 解析几何中与圆有关的问题，应充分运用圆的几何性质（如垂径定理、切线长定理等）帮助解题。经典例题精析经典例题精析类型一：求圆的方程类型一：求圆的方程1 1(1)求经过点、,且圆心在直线上的圆的方程；(2)求以、为顶点的三角形的外接圆的方程思路点拨思路点拨: : 选用恰当的方程形式用待定系数法求出，或数形结合，利用圆的垂径定理：半弦、半径 和弦心距构成的直角三角形解决。解析：解析：(1)(1)方法一：待定系数法方法一：待定系数法
10、设圆心,则有,解得，圆心，半径, 所求圆的方程为。方法二：数形结合方法二：数形结合由垂径定理可知，圆心在线段的垂直平分线上即直线上4由得， 圆心，半径 所求圆的方程为。(2)(2)方法一：待定系数法方法一：待定系数法设圆的方程为,将三个已知点的坐标代入列方程组解得： ，解方程组得：, , ，故圆的方程为，即方法二：数形结合方法二：数形结合由图形知：三角形是以为斜边的直角三角形，故圆心为的中点，直径，故圆的方程为：。总结升华：总结升华：在解决求圆的方程这类问题时，应当注意以下几点：（1）确定圆方程首先明确是标准方程还是一般方程；（2）根据几何关系（如本例的相切、弦长等）建立方程求得、或、；（3）
11、待定系数法的应用，解答中要尽量减少未知量的个数举一反三：举一反三：【变式变式 1 1】圆与轴相切，圆心在直线上，且直线截圆所得弦长为，求此圆的方程。【答案答案】：设圆方程为：且圆心在直线上，圆与轴相切，故圆方程为，又因为直线截5圆得弦长为，则有，解得故所求圆方程为：或。【变式变式 2 2】求经过点、且在轴上截得的弦长为 6 的圆的方程。【答案答案】：方法一方法一：设圆心，半径长，由垂径定理可以得到圆与轴两交点为、,由、得且 MN 的中点坐标，则的垂直平分线方程为，PQ 的垂直平分线方程为。解方程组： 得圆心.由得=，解出,.当时，圆心, 圆的方程为：当时，圆心,，圆的方程为故所求圆的方程为：
12、或.方法二方法二：设所求圆为.令得, 在 x 轴上截得弦长为：.将、代入圆方程可得方程组：，解出 或所求圆方程为或.【变式变式 3 3】求过直线和圆的交点,且面积最小的圆的方程。【答案答案】：6解法一：解法一：因为通过两个交点的动圆中，面积最小的是以此二交点为直径端点的圆，于是解方程组得交点,以为直径的圆的方程: 。解法二解法二: : (运用曲线系方程)设过直线与圆的交点的圆的方程为, 配方得 要使圆面积最小，必须半径最小，由于（当且仅当时，最小） 故所求圆的方程是类型二：直线与圆的位置关系类型二：直线与圆的位置关系2 2（1）过点向圆 C:所引切线的方程为 ；（2）过点向圆 C:所引切线的方
13、程为 ；思路点拨思路点拨: : 首先判定点与圆的位置关系，进一步确定切线（方程）的条数。（1）若点在圆上，则只有一条切线，可以直接用点斜式求；（2）若点在圆外，可以判定有两条切线（两个方程），再结合图形具体求解。应用点斜式求直线方程时，应注意斜率不存在的情况解析：解析：（1）点在圆 C:外，当切线垂直于轴时（如图），直线显然与圆 C 相切当切线不垂直于轴时，设所求切线方程为, 即7又圆心到切线的距离，即，解得. 代入方程得.故所求切线方程为或（2）点在圆 C:上直线的斜率切线的斜率故所求切线方程为即。举一反三：举一反三：【变式变式 1 1】求过点向圆 C:所引切线的方程【答案答案】：点在圆 C
14、:外直线显然与圆 C 相切设所求切线方程为, 即（*）又圆心到切线的距离，即，解得. 代入方程（*）得.故所求切线方程为或【变式变式 2 2】过点向圆 C:引切线，切点为、，则= ，直线的方程为 ；【答案答案】：，83 3直线 :被圆 C: 所截得的弦的长思路点拨思路点拨: : 在解决有关圆的一类问题时，应先注意利用与圆有关的几何性质解析：解析：圆 C 方程化为，故圆心,半径圆心到直线 的距离：,由垂径定理得弦长。举一反三：举一反三：【变式】直线 被圆 C:所截得的弦的中点是，求直线 的方程。【答案】：4 4已知动直线 :与圆：。（1）求证:无论为何值，直线 与圆总相交；（2）为何值时，直线 被圆所截得的弦长最小并求出该最小值思路点拨思路点拨: : 直线 与圆相交圆心大直线的距离小于半径，或者直线经过圆内一定点。解析：解析：解法一解法一:设圆心到动直线 的距离为，则.当时，故动直线 与圆总相交，且当时，弦长最小，最小值为解法二解法二: :直线 变形为：.令，解得:，故动直线 恒过定点而9， 点在圆内，故无论为何值，直线 与圆总相交由平面几何知，弦心距越大，弦长越小， 过点且垂直的直线被圆所截弦长最小， , 解得 此时弦长为即当时，直线被圆所截弦长最小，最小值为总结升华：总结升华：解法一使用圆心到直线的距离判断直线与圆的位置关系，解法简便，运
