运动方程建立

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1、第2章 结构动力系统的离散及运动方程 的建立2.1 质点与刚体惯性力的描述x0y0刚体运动分解为： 1、质心运动； 2、绕质心的转动1、刚体平动（质心运动）惯性力：2、刚体绕质心转动的惯性力矩：式中， 为角加速度，称为质量惯性矩。试由该式推导出矩形 、椭圆及三角形的质 量惯性矩J？2.2 结构的动力自由度在结构动力分析模型中，确定惯性力分布所需考虑的独立 位移数称为结构的动力自由度。xzy质点有3个平动自由度， 3个转动自由度，共6个 自由度m(x)质量连续分布，惯性力必须沿 杆长逐点定义，无限自由度1、离散质量体系（质点）2、连续质量体系举例：忽略转动的平面体系的动力自由度确定1) 1) 平

2、面上的一个质点（转动忽略）平面上的一个质点（转动忽略）W=2W=22) 2) W=2W=2弹性支座不减少动力自由度弹性支座不减少动力自由度3) 3) 计轴变时计轴变时W=2W=2不计轴变时不计轴变时 W=1W=1为减少动力自由度，梁与刚为减少动力自由度，梁与刚 架不计轴向变形。架不计轴向变形。4) 4) W=1W=15) 5) W=2W=26) 6) W=2W=2举例：忽略转动的平面体系的动力自由度确定（续 ）7) 7) W=1W=18) 8) 平面上的一个刚体平面上的一个刚体W=3W=39)9)弹性地面上的平面刚体弹性地面上的平面刚体W=3W=3W=2W=210) 10) W=1W=111)

3、 11) 12) 12) W=13W=13自由度数与质点个数无关，自由度数与质点个数无关， 但不大于质点个数的但不大于质点个数的2 2倍倍 。1. 1. 自由度为自由度为1 1的体系称作单自由度的体系称作单自由度 体系；体系；2.2. 自由度大于自由度大于1 1的体系称作多（有的体系称作多（有 限）自由度体系限）自由度体系; ;3.3. 自由度无限多的体系为无限自自由度无限多的体系为无限自 由度体系。由度体系。系统离散：（1）集中质量法L/3L/3L/3惯性力实际结构的质量沿杆长连续分布 ，故要知道惯性力的话，其位移 和加速度必须逐点定义，即为无 限自由度体系，必须按偏微分方 程求解；采用集中

4、质量法可以化 为有限自由度求解。jij imjmjll集中质量法：将杆件分成n段，每 一段杆按简支梁法则将质量向杆端集 中，这样，结构质量被集中到有限的 离散点上，无限自由度体系被简化为 有限自由度体系，即结构动力分析只 需要对这些离散点的动力自由度进行 分析。m2m1m3该模型中，梁端部的 集中质量为什么不出 现？系统离散：（2）广义位移法当一维结构体系中质量连续均匀分布时，结构挠曲线形状可用一系 列假定的位移曲线的线性组合表示：式中， 为任何满足结构约束条件并在其内部连续的一组位移函数， 称为结构的位移坐标；Zn表示位移函数的幅值，称为结构的广义坐标。=+例：右图简支梁的挠曲线可以 表示为

5、三个正弦函数的线性组 合：由此，按广义位移法，该体 系简化为只有3个广义坐标（动 力自由度）b1、b2、b3表示的动 力体系。对于四边简支的矩形 板，如何假设其位移 坐标？系统离散：（3）有限元法 有限元法是一种将连续系统离散化的方法。这种方法先把复杂结构分割成若干个彼此之间只在结点处相互连接的单元，每个单元都是一个弹性体，单元内位移用节点位移（即广义位移）插值函数来表示。对每个单元，由位移插值函数和动力学基本原理确定刚度矩阵、质量矩阵及其它特征矩阵。 运动方程的建立: (1）达朗贝尔原理按牛顿第二定理：如记：称为惯性力（Inertial force）达朗贝尔原理：如将惯性力当成静力看待，动力

6、系统在所有力 作用下应保持静力平衡。图示系统所受外力为：动力荷载 (Applied force)： p(t) 阻尼力(Damping force)： 弹簧恢复力 (Spring force):称为dAlembert原理y(t )运动方程建立：（2）虚位移原理虚位移原理： 如果给定一个平衡系统一个虚位移（即 系统约束相容的位移形态），则作用在 该平衡系统上所有的力（外力及内力） 对该虚位移所做的虚功之和等于零。将各力代入方程中，消去 ，简化后得：HA BBCDEFGCDEFG运动方程建立：（2）虚位移原理（举例）m2, J2P(x, t) aaaaa2aB k1c1c2k2C EDGFHAyx图

7、示两刚性杆由饺连接，试用虚位移原理建立运动方程给定一个虚位移 ， 按虚位移原理：运动方程建立：（3）变分方法在外力 作用下图中质量m 沿 真实轨迹运动，t1时刻为从1点开始运动，在t2 时刻到达2点，由达朗贝尔原理：t1t212tyxz真实轨迹由虚位移原理，在t时刻所有力所做的虚功之和等于零。即：将上式重新安排，并在 t1, t2 区间积分：如果在任一时刻t质点m 发生了一个虚位移可变轨迹（1）、对第一项进行积分，并确认虚位移必须在可变轨迹的起始点和结束点消失 ，即： ，可以得到：式中： 为质量的动能运动方程建立：（3）变分方法（续）I1I2（2）将力矢量 分解为保守力部分 和非保守力部分 ：

8、则可以定义一个势函数V(x, y, z, t)，使保守力 满足以下关系：由此第二项积分I2可以写为：式中，Wnc(t)为保守力做的虚功。结合I1和I2的表达式，得到Hamilton公式：Hamilton原理：在任一时段t1, t2 内，系统动能与势能之差的 变分加上非保守力所做的功的变分等于零。运动方程建立：（3）变分方法（续）Hamilton原理特点：u在虚功方程中力和位移均为矢量；而在Hamilton公式中，外 力、惯性力和恢复力不以显式方式出现，而分别以动能和势能 的变分项所取代；因此， Hamilton公式能较好处理纯标量能量 值。uHamilton原理也可以应用到静力问题，但是动能项

9、T将消失 ，而其余各项不随时间变化，即：此即为最小势能原理。u在以上Hamilton方程中，如将T、V 和Wnc用广义坐标q1、q2 、qN表示，可以导出N个自由度体系的运动方程，即拉格 朗日（Lagrange）方程。运动方程建立：（3）变分方法（续）广义坐标：N个自由度体系的广义坐标可以定义为任何相互独立 的量，用于完全确定体系各点的位置；为了完全独立， 广义坐标需不以任何方式与系统的几何约束发生关系。y1x1yxL2L1y2x2例：右图中，质点运动位置可由： 1、笛卡尔坐标x1、y1、x2、y2确定； 2、转角 确定。由于坐标x1、y1、x2、y2之间与几何约束有关，即：不是广义坐标但 用

10、来定义质点位置时，显然可以独立变化，因此可以作为广义坐标。 运动方程建立：（3）变分方法（续）将上式代入到Hamilton公式中，得：用广义坐标表示结构体系中动能、势能及非保守力做的虚功:该公式既是著名的拉格朗日运动方程。举例：有限元法动力分析模型梁元 1、结构的离散化先把梁分成S个单元，再分别对单元和结点进行编号 （见图）。对于平面梁，结点的位移为结点所在截 面的挠度和转角，并被取作结点的广义坐标。每个 结点有两个自由度梁的离散化举例：有限元法动力分析模型梁元2、单元特征在梁上任取一单元，单元长度为l，如左图所示。图中坐标原点取在单元左端，x轴沿单元轴线。这种与单元相联系的坐标系也称为局部坐

11、标系。设单 元抗弯刚度为El(x)，单位长度的质量为，由于单元长度一般较小，所以 El(x) 、均当作常量。 梁单元的位移模式0NiyNjyNiqNjqL形函数N(x)举例：有限元法动力分析模型梁元单元内位移的表达式为：其中 位移模式举例：有限元法动力分析模型梁元建立了单元的位移模式后，其动能、势能均可用结点 的位移表示。单元的动能为其中m为单元质量矩阵，并有 质量矩阵和刚度矩阵将插值函数矩阵表达式代入上式，经积分后得到 ：举例：有限元法动力分析模型梁元单元的势能可表示为： 其中k为单元刚度矩阵，并有： 同样，代入插值函数矩阵，得： 举例：有限元法动力分析模型梁元 阻尼矩阵和广义力矩阵单元杆端力向量记为：如果限于讨论粘性阻尼，则单元长度分布的阻尼力可表示为： 当梁上发生虚位移qe时，作用在单元上所有外力的虚功为： 举例：有限元法动力分析模型梁元按广义力的定义有： 故广义力列阵为： 其中 c是单元的阻尼矩阵。举例：有限元法动力分析模型梁元将得到的单元动能、势能、广义力的表达式代入拉格朗日方程中，便可写出梁单元的运动微分方程为： 3、由拉格朗日方程建立单元运动方程：拉格朗日运动方程：注意：上面推导中要求质量阵和刚度阵是对称矩阵；系统离散各方法的优缺点本章小结1、动力系统离散 化方法：l集中质量法l广义坐标法l有限元法2、动力系统运动 方程建立：l达朗贝尔原理l虚位移原理l变分方法