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1、 教考资源网 助您教考无忧版权所有中国教育考试资源网一. 教学内容： 排列与组合二. 教学目标：1. 进一步加深对排列、组合意义理解的基础上，掌握有关排列、组合综合题的基本解法，提高分析问题和解决问题的能力，学会分类讨论的思想. 2. 正确理解二项式定理，能准确地写出二项式的展开式。3. 会区分项的系数与项的二项式系数。4. 掌握二项式定理在近似计算及证明整除性中的应用。5. 熟练掌握二项式定理的基本问题通项公式及其应用。三. 知识要点：（一）排列与组合1. 排列的概念：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一
2、个排列。2. 排列数的定义：从n个不同元素中，任取m（mn）个元素的所有排列的个数叫做从n个元素中取出m元素的排列数，用符号m nA表示。3. 排列数公式：(1)(2)(1)m nAn nnnm（,m nNmn）4. 阶乘：!n表示正整数 1 到n的连乘积，叫做n的阶乘奎屯王新敞新疆规定0! 1. 5. 排列数的另一个计算公式：m nA=! ()!n nm. 6. 组合的概念：一般地，从n个不同元素中取出mmn个元素并组成一组，叫做从 n个不同元素中取出m个元素的一个组合. 7. 组合数的概念：从n个不同元素中取出mmn个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数. 用符号
3、m nC表示. 8. 组合数公式：(1)(2)(1) !m mn nm mAn nnnmCAm教考资源网 助您教考无忧版权所有中国教育考试资源网或)!( ! mnmnCm n),(nmNmn且。9. 组合数的性质 1：mn nm nCC. 规定：10nC；10. 组合数的性质 2：m nC1m nC+1m nC。（二）二项式定理1. 二项式定理及其特例：（1）01()()nnnrn rrnn nnnnabC aC a bC abC bnN，（2）1(1)1nrrn nnxC xC xx 。2. 二项展开式的通项公式：rrnr nrbaCT 1)210(nr， 。3. 常数项、有理项和系数最大的
4、项：求常数项、有理项和系数最大的项时，要根据通项公式讨论对r的限制；求有理项时要注意到指数及项数的整数性。 4. 二项式系数表（杨辉三角）()nab展开式的二项式系数，当n依次取1,2,3时，二项式系数表表中每行两端都是1，除1以外的每一个数都等于它肩上两个数的和。5. 二项式系数的性质：()nab展开式的二项式系数是0 nC，1 nC，2 nC，n nC. r nC可以看成以r为自变量的函数( )f r，定义域是0,1,2, n，例当6n 时，其图象是7个孤立的点（如图）教考资源网 助您教考无忧版权所有中国教育考试资源网（1）对称性. 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等（mn m nn
5、CC）. 直线2nr 是图象的对称轴。 （2）增减性与最大值：当n是偶数时，中间一项2nnC取得最大值；当n是奇数时，中间两项1 2nnC，1 2nnC取得最 大值。（3）各二项式系数和：1(1)1nrrn nnxC xC xx ，令1x ，则0122nrn nnnnnCCCCC【典型例题典型例题】 例 1. 分别求出符合下列要求的不同排法的种数（1）6 名学生排 3 排，前排 1 人，中排 2 人，后排 3 人；（2）6 名学生排成一排，甲不在排头也不在排尾；（3）从 6 名运动员中选出 4 人参加 4100 米接力赛，甲不跑第一棒，乙不跑第四棒；（4）6 人排成一排，甲、乙必须相邻；（5）
6、6 人排成一排，甲、乙不相邻；（6）6 人排成一排，限定甲要排在乙的左边，乙要排在丙的左边（甲、乙、丙可以不相邻） 。解：解：（1）分排坐法与直排坐法一一对应，故排法种数为7206 6A教考资源网 助您教考无忧版权所有中国教育考试资源网（2）甲不能排头尾，让受特殊限制的甲先选位置，有1 4A种选法，然后其他 5 人选，有5 5A种选法，故排法种数为4805 51 4AA（3）有两棒受限制，以第一棒的人选来分类：乙跑第一棒，其余棒次则不受限制，排法数为3 5A；乙不跑第一棒，则跑第一棒的人有1 4A种选法，第四棒除了乙和第一棒选定的人外，也有1 4A种选法，其余两棒次不受限制，故有2 21 41
7、 4AAA种排法，由分类计数原理，共有2522 41 41 43 5AAAA种排法（4）将甲乙“捆绑”成“一个元”与其他 4 人一起作全排列共有2405 52 2AA种排法（5）甲乙不相邻，第一步除甲乙外的其余 4 人先排好；第二步，甲、乙选择已排好的 4人的左、右及之间的空挡插位，共有2 54 4AA（或用 6 人的排列数减去问题（2）后排列数为4802406 6A）（6）三人的顺序定，实质是从 6 个位置中选出三个位置，然后排按规定的顺序放置这三人，其余 3 人在 3 个位置上全排列，故有排法1203 33 6AC种点评：点评：排队问题是一类典型的排列问题，常见的附加条件是定位与限位、相邻
8、与不相邻. 例 2. 假设在 100 件产品中有 3 件是次品，从中任意抽取 5 件，求下列抽取方法各有多少种？（1）没有次品；（2）恰有两件是次品；（3）至少有两件是次品。解：解：（1）没有次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 5 件的抽法，共有644460245 97C种（2）恰有 2 件是次品的抽法就是从 97 件正品中抽取 3 件，并从 3 件次品中抽 2 件的抽法，共有4423202 33 97CC种（3）至少有 2 件次品的抽法，按次品件数来分有二类：第一类，从 97 件正品中抽取 3 件，并从 3 件次品中抽取 2 件，有32 973C C种。教考资源网 助您教考无忧版权所有中国
9、教育考试资源网第二类从 97 件正品中抽取 2 件，并将 3 件次品全部抽取，有23 973C C种。按分类计数原理有4469763 32 972 33 97CCCC种。点评：点评：此题是只选“元”而不排“序”的典型的组合问题，附加的条件是从不同种类的元素中抽取，应当注意：如果第（3）题采用先从 3 件次品抽取 2 件（以保证至少有 2 件是次品） ，再从余下的 98 件产品中任意抽取 3 件的抽法，那么所得结果是4662883 982 3CC种，其结论是错误的，错在“重复”：假设 3 件次品是 A、B、C，第一步先抽 A、B，第二步再抽 C 和其余 2 件正品，与第一步先抽 A、C（或 B、
10、C） ，第二步再抽 B（或 A）和其余 2 件正品是同一种抽法，但在算式3 982 3CC中算作 3 种不同抽法。例 3. 有 13 名医生，其中女医生 6 人.现从中抽调 5 名医生组成医疗小组前往灾区，若医疗小组至少有 2 名男医生，同时至多有 3 名女医生，设不同的选派方法种数为 P，则下列等式（1）514 1376;CC C（2）2332415 7676767C CC CC CC；（3）5145 13766CC CC；（4）23 711C C；其中能成为 P 的算式有_种.分析：分析： 交换医疗小组的两成员顺序是同一选派方法，故为组合问题。用直接法解：选派5名医生分为2男3女，3男2女
11、，4男1女，5男这四类，故（ 2）正确； 用间接法解： 不考虑限制条件，选派方法有5 13C种，需剔除的有1男4女，5女两类，故（ 3）正确。因此结论为： （2） （3）.点评：点评：本例要特别防止误选（ 4）.例 4. 对某种产品的 6 件不同正品和 4 件不同次品，一一进行测试，到区分出所有次品为止.若所有次品恰好在第五次测试被全部发现，则这样的测试方法有 种解：解：在各次测试结果中交换其中两者的顺序，成为两种不同的测试方法，因此是排列问题.故所有测试方法是6 件不同正品取出1 件与4 件次品排成一列且最后一件是次品：114 644C A A=576 种.教考资源网 助您教考无忧版权所有中
12、国教育考试资源网例 5. 某班新年联欢会原定的 5 个节目已排成节目单，开演前又增加了 2 个新节目，如果将这两个节目插入节目单中，那么不同的插法种数为_.解：解：实质是 7 个节目的排列，因原定的 5 个节目顺序不改变，故排这 5 个节目是一个组合，有5 7C种方法，再排新插入的两个节目有2 2A种方法，故52 7242C A .点评：点评：分清是排列还是组合问题排列与组合的根本区别是元素之间是否有顺序.若元素之间交换次序后是两种不同的情形，则是排列问题；若元素之间交换次序后是相同的情形，则是组合问题；另外若元素之间已经规定了顺序，则仍是组合问题。例 6. 从 10 种不同的作物中选出 6
13、种放入 6 个不同的瓶子中展出，如果甲、乙两种种子不能放入第 1 号瓶内，那么不同的放法共有（ ）种.A. 24 108C AB. 15 99C AC. 15 89C AD. 15 88C A解：解： 先排第 1 号瓶，从甲、乙以外的 8 种不同作物种子中选出 1 种有1 8C种方法，再排其余各瓶，有5 9A种方法，故不同的放法共有15 89C A.故选 C。点评：点评：这样解分步合理、过程简捷.但本题更容易想到先从 10 种不同的作物种子中选出6 种，然后排列.由于选出的 6 种种子中是否含甲、乙不确定，导致后继排列也不确定，这时就要分类了.选出的 6 种种子中只含甲或只含乙的不同放法都为5
14、15 855C A A种，选出的 6 种种子中，同时含甲与乙的不同放法有424 854C A A种；选出的 6 种种子中，都不含甲与乙的不同放法有6 8A种.故不同的放法共有515424615 8558548892C A AC A AAC A种.例 7. 求不同的排法种数：（1）6 男 2 女排成一排，2 女相邻；（2）6 男 2 女排成一排，2 女不能相邻；（3）4 男 4 女排成一排，同性者相邻；（4）4 男 4 女排成一排，同性者不能相邻. 解：解：（1）是“相邻”问题，用捆绑法解决：27 27A A.（2）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解. 6 男先排实位，再在 7 个空位中排
15、 2女，即用插孔法解决：62 67A A.教考资源网 助您教考无忧版权所有中国教育考试资源网另法：另法：用捆绑与剔除相结合：827 827AA A.（3）是“相邻”问题，应先捆绑后排位：442 442A A A.（4）是 “不相邻”问题，可以用插空法直接求解： 431 442A A A.例 8. 求9 2 21xx 展开式中9x的系数解：解： rr rrr rrr rr rxCxxCxxCT318 9218 992 9121 21 21令221 21C:, 3, 93183 3 99的系数为故则xrr点评：点评：rrnr nbaC是nba 展开式中的第1r项，nr, 2 , 1 , 0注意二项式系数与某项系数的区别头 头头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/ 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头在本题中，第 4 项的二项式系数是3 9C，第 4 项9x的系数为3 3 921C ，二者并不相同。例 9. 已知4 43 32 210432xaxaxaxaax，求
