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1、知识是一种积累， 而不是一种冲动！每天掌握多一点点！本章说明q本章的主要内容 一阶逻辑基本概念、命题符号化 一阶逻辑公式、解释及分类q本章与后续各章的关系克服命题逻辑的局限性是第五章的先行准备 本章内容q 4.1 一阶逻辑命题符号化q 4.2 一阶逻辑公式及解释q 本章小结q 习题q 作业引言(著名的苏格拉底三段论)设自然语言中的三个命题：1. 所有的人都是要死的；2. 苏格拉底是人。3. 所以，苏格拉底是要死的。P：所有的人都是要死的；Q：苏格拉底是人。R：苏格拉底是要死的。则有：PQ R但在上述式子中，R不是P，Q的逻辑结果。解：假设q这个简单而有名的苏格拉底三段论，却无法用命题逻辑予以证
2、明。q命题逻辑的局限性 在命题逻辑中，研究的基本单位是简单命题，对简单命题不再进行分解，并且不考虑命题之间的内在联系和数量关系。q一阶逻辑所研究的内容 为了克服命题逻辑的局限性，将简单命题再细分，分析出个体词、谓词和量词，以期达到表达出个体与总体的内在联系和数量关系。例：如有句子：张红是一个福建工程学院的学生；王南是一个福建工程学院的学生；李华是一个福建工程学院的学生。则在命题中必须要用三个命题p，q，r来表示。但是，它们都具有一个共同的特征： “是一个福建工程学院的学生”P：谓词 x：个体词 P(x)：命题函数则上述句子可写为：P(张红)；P(王南)；P(李华)。一 般地， P(x)：x是一
3、个大学生。4.1一阶逻辑命题符号化q一阶逻辑命题符号化的三个基本要素个体词谓词量词q个体词及相关概念q个体词一般是充当主语的名词或代词。说 明q个体词：指所研究对象中可以独立存在的具体或抽 象的客体。q举例命题：电子计算机是科学技术的工具。 个体词：电子计算机。命题：他是三好学生。 个体词：他。q 个体常项：表示具体或特定的客体的个体词，用小写字母 a, b,c，表示。q 个体变项：表示抽象或泛指的客体的个体词，用x,y,z, 表示。q 个体域（或称论域）：指个体变项的取值范围。可以是有穷集合，如a, b, c, 1, 2。可以是无穷集合，如N,Z,R,。q 全总个体域（universe）宇宙
4、间一切事物组成 。个体词及相关概念q本教材在论述或推理中，如果没有指明所采 用的个体域，都是使用的全总个体域。说 明谓词及相关概念q 谓词（predicate）是用来刻画个体词性质及个体词之间 相互关系的词。(1) 是无理数。 是个体常项，“是无理数”是谓词，记为F，命题符号 化为F() 。(2) x是有理数。 x是个体变项，“是有理数”是谓词，记为G，命题符号 化为G(x)。(3) 小王与小李同岁。 小王、小李都是个体常项，“与同岁”是谓词，记为 H，命题符号化为H(a,b) ，其中a：小王，b：小李。(4) x与y具有关系L。 x，y都是个体变项，谓词为L，命题符号化为L(x,y)。q 谓
5、词常项：表示具体性质或关系的谓词。用大写字母表示。 如(1)、 (2) 、(3) 中谓词F、G、H。q 谓词变项：表示抽象的、泛指的性质或关系的谓词。用大写 字母表示。如(4) 中谓词L。q n(n1)元谓词：P(x1,x2,xn)表示含n个命题变项的n元谓 词。n=1时，一元谓词表示x1具有性质P。n2时，多元谓词表示x1,x2,xn具有关系P。q 0元谓词：不含个体变项的谓词。如F(a)、G(a,b)、P(a1,a2,an)。 命题是特殊谓词。qn元谓词是命题吗？ 不是，只有用谓词常项取代P，用个体常项取代 x1,x2,xn时，才能使n元谓词变为命题。思 考谓词及相关概念例题例4.1 将下
6、列命题在一阶逻辑中用0元谓词符号化，并讨论真值 。(1)只有2是素数，4才是素数。 (2)如果5大于4，则4大于6. 解：(1)设一元谓词F(x):x是素数，a:2，b:4。命题符号化为0元谓词的蕴涵式F(b)F(a) 由于此蕴涵前件为假，所以命题为真。 (2)设二元谓词G(x,y):x大于y，a:4，b:5，c:6。命题符号化为0元谓词的蕴涵式G(b,a)G(a,c)由于G(b,a)为真，而G(a,c)为假，所以命题为假。 例题将命题“这只大红书柜摆满了那些古书。”符号化.(1)设F(x,y)：x摆满了y，R(x)：x是大红书柜Q(y)：y是古书，a：这只，b：那些符号化为：R(a)Q(b)
7、F(a,b) (2)设A(x)：x是书柜，B(x)：x是大的C(x)：x是红的，D(y)：y是古老的E(y)： y是图书，F(x,y)：x摆满了ya：这只b：那些符号化为：A(a)B(a)C(a)D(b)E(b)F(a,b) 量词及相关概念在上述三段论的例子中，如要对句子P：所有的人都是要死的。如果表示成：H(x)D(x)， 求否定说明其原因在于：命题P的确切含义是：“对任意的x，如果x是人，则x是要死的”。但H(x)D(x)并没有确切地表示出“对任意 x”这个意思，亦即H(x)D(x)不是一个命题 。例符号化下述命题： 所有的老虎都要吃人； 每一个人都会犯错误； 有一些人会摔跤； 有一些人是
8、大学生； 每一个带伞的人都不怕雨； 有一些自然数是素数。 解：设立如下谓词：R（x）：x会吃人；P（x）：x会犯错误； N（x）：x会摔跤；Q（x）：x是大学生；C（x）：x不怕雨；S（x）：x是素数。 量词（quantifiers）是表示个体常项或个体变项之间数量关系 的词。1. 全称量词：符号化为“”q 日常生活和数学中所用的“一切的”、“所有的”、“每一 个”、“任意的”、“凡”、“都”等词可统称为全称量词 。q x表示个体域里的所有个体，xF(x)表示个体域里所有个体 都有性质F。2.存在量词：符号化为“”q 日常生活和数学中所用的“存在”、“有一个”、“有的” 、“至少有一个”等词统
9、称为存在量词。q y表示个体域里有的个体，yG(y)表示个体域里存在个体具 有性质G等。 量词及相关概念例 (续) (x)R(x)(x老虎) (x)P(x) (x人) (x)N(x) (x人) (x)Q(x) (x人) (x)C(x)(x带伞的人) (x)S(x) (x自然数)苏格拉底三段论中的P也可表示为：(x)(H(x)D(x)。在例中，利用量词则有：例 (续)有时，由于个体域的注明不清楚，造成无 法确定其真值。对于同一个公式，不同的个 体域有可能带来不同的真值。在例中，利用量词则有：全总个体域 对于全称量词，刻划其对应个体域的特性谓词作为蕴涵的前件加入。 对于存在量词，刻划其对应个体域的
10、特性谓词作为合取式之合取项加入。 基于上述情况，必须对个体域进行统一，全部使用全总个体域，此时，对每一个句子中个体变量的变化范围 用一定之特性谓词刻划之。而统一成全总个体域后，此 全总个体域在谓词公式中就不必特别说明，常常省略不 记。同时，这种特性谓词在加入到命题函数中时必定遵 循如下原则：例 (续)解：U(x)：x是老虎； (x)(U(x)R(x)H(x)：x是人； (x)(H(x)P(x)H(x)：x是人； (x)(H(x)N(x)H(x)：x是人；(x)(H(x)Q(x)M(x)：x是带伞的人；(x)(M(x)L(x)T(x)：x是自然数； (x)(T(x)S(x)对于前例中的例子运用特
11、性谓词描述。苏格拉底三段论可完整翻译为： (x)(H(x)D(x)例4.2 在个体域分别限制为(a)和(b)条件时，将下面两个 命题符号化: (1) 凡人都呼吸。 (2) 有的人用左手写字。 其中:(a)个体域D1为人类集合；(b)个体域D2为全总个体域。 一阶逻辑命题符号化解: (a)个体域为人类集合。令F(x):x呼吸。G(x):x用左手写字。(1) 在个体域中除了人外，再无别的东西，因而“凡人都呼 吸”应符号化为 xF(x) (2) 在个体域中除了人外，再无别的东西，因而“有的人用 左手写字”符号化为xG(x) (b)个体域为全总个体域。即除人外，还有万物，所以必须考虑将人先分离出来。令
12、F(x):x呼吸。 G(x):x用左手写字。 M(x):x是人。 (1) “凡人都呼吸”应符号化为 x(M(x)F(x) (2) “有的人用左手写字”符号化为x(M(x)G(x) q在使用全总个体域时，要将人从其他事物中区别出来，为此 引进了谓词M(x)，称为特性谓词。 q同一命题在不同的个体域中符号化的形式可能不同。 q思考：在全总个体域中，能否将(1)符号化为 x(M(x)F(x)？ 能否将(2)符号化为x(M(x)G(x)？ 结 论例题例4.3 在个体域限制为(a)和(b)条件时，将下列命题符号化:(1) 对于任意的x，均有x2-3x+2=(x-1)(x-2)。(2) 存在x，使得x+5
13、=3。其中: (a)个体域D1=N(N为自然数集合)(b)个体域D2=R(R为实数集合)(a)令F(x): x2-3x+2=(x-1)(x-2)，G(x): x+5=3。命题(1)的符号化形式为xF(x) （真命题）命题(2)的符号化形式为xG(x)（假命题）(b)在D2内，(1)和(2)的符号化形式同(a)，皆为真命题。q在不同个体域内，同一个命题的符号化形式可能不 同，也可能相同。 q同一个命题，在不同个体域中的真值也可能不同。说 明例4.4 将下列命题符号化，并讨论真值。（1）所有的人长着黑头发。（2）有的人登上过月球。（3）没有人登上过木星。（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。分析：
14、谓词逻辑中命题的符号化，主要考虑：(1)非空个体域的选取。若是为了确定命题的真值，一般约 定在某个个体域上进行，否则，在由一切事物构成的全 总个体域上考虑问题时，需要增加一个指出个体变量变 化范围的特性谓词。 (2)量词的使用及作用范围。 (3)正确地语义。例题例题解：没有提出个体域，所以认为是全总个体域。（1）所有的人长着黑头发。令F(x):x长着黑头发， M(x):x是人。命题符号化为x(M(x)F(x)。命题真值为假。（2）有的人登上过月球。令G(x):x登上过月球， M(x):x是人。命题符号化为x(M(x)G(x)。命题真值为真。例题（3）没有人登上过木星。令H(x):x登上过木星，
15、 M(x):x是人。命题符号化为x(M(x)H(x)。命题真值为真。（4）在美国留学的学生未必都是亚洲人。令F(x):x是在美国留学的学生，G(x):x是亚洲人。符号 化x(F(x)G(x) 命题真值为真。例题 n元谓词的符号化例4.5 将下列命题符号化 （1）兔子比乌龟跑得快。 （2）有的兔子比所有的乌龟跑得快。 （3）并不是所有的兔子都比乌龟跑得快。 （4）不存在跑得同样快的两只兔子。解：令 F(x):x是兔子， G(y):y是乌龟， H(x,y):x比y跑得快， L(x,y):x与y跑得同样快 。（1）xy(F(x)G(y)H(x,y)（2） x(F(x)y(G(y)H(x,y)（3） xy(F(x)G(y)H(x,y)（4） xy(F(x)F(y)L(x,y)一阶逻辑命题符号化时需要注意的事项q 分析命题中表示性质和关系的谓词，分别符号为一元和n（ n2）元谓词。q 根据命题的实际意义选用全称量词或存在量词。q 一般说来，多个量词出现时，它们的顺序不能随意调换。例如，考虑个体域为实数集，H(x，y)表示x+y=10，则命题“对于任意的x，都存在y，使得x+y=10”的符号化 形
