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1、第二节 等差数列 三年12考 高考指数:1.理解等差数列的概念，了解等差数列与一次函数的关系；2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式；3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列有关知识解决相应的问题.1.等差数列的通项公式与前n项和公式是考查重点；2.运用归纳法、累加法、倒序相加法、方程思想、函数的性质解决等差数列问题是重点，也是难点；3.题型以选择题和填空题为主，与其他知识点结合则以解答题为主.1.等差数列的定义(1)条件：一个数列从_起，每一项与前一项的差是同一个常数.(2)公差：是指常数，通常用字母d表示.(3)定义表达式：_(nN+).第2项an+1-an=d(常数)
2、【即时应用】判断下列数列是否为等差数列.(请在括号中填写“是”或“否”)(1)数列0，0，0，0，0， ( )(2)数列1，1，2，2，3，3， ( )(3)数列 ( )(4)数列a,2a,3a,4a， ( )【解析】(1)(4)中从第二项开始，每一项与前一项的差为同一常数；而(2)(3)中从第二项开始,每一项与前一项的差并不是同一常数，故(1)(4)为等差数列，(2)(3)不是.答案：(1)是 (2)否 (3)否 (4)是2.等差数列的通项公式若等差数列an的首项是a1，公差是d，则其通项公式为an=_.a1+(n-1)d【即时应用】(1)思考：公差d与数列an的单调性有什么关系？提示：当d
3、0时，an为递增数列；当d6),求数列an的项数及a9+a10.【解题指南】(1)根据S2=S6，先求a4+a5的值，再求a5.(2)根据性质知a1+a17=a7+a11=a5+a13=2a9求解.(3)根据前6项与最后6项的和求出a1+an,再求n及a9+a10.【规范解答】(1)S2=S6，S6-S2=a3+a4+a5+a6=0，2(a4+a5)=0,即a4+a5=0，a5=-a4=-1.答案：-1(2)数列an为等差数列，且S17=51， =51,即a1+a17=6，a5-a7+a9-a11+a13=(a5+a13)-(a7+a11)+a9=6-6+3=3.答案：3(3)由题意知a1+a
4、2+a6=36 an+an-1+an-2+an-5=180 +得(a1+an)+(a2+an-1)+(a6+an-5)=6(a1+an)=216，a1+an=36,又18n=324,n=18.a1+a18=36,a9+a10=a1+a18=36.【反思感悟】1.在等差数列an中，若m+n=p+q=2k,则am+an=ap+aq=2ak是常用的性质，本例(1)、(2)、(3)题都用到了这个性质，在应用此性质时，一定要观察好每一项的下标规律，不要犯a2+a5=a7的错误.2.本例(2)也可先求a1与d的关系，然后求解,但不如用性质简单.【变式训练】（2012宝鸡模拟）已知等差数列an，a3=5,a
5、2+a7=16.(1)求数列an的通项公式；(2)设 求数列bn的前n项和.【解析】(1)由已知a2+a7=16可得a4+a5=16,又因为a3=5,所以a3+a4+a5=21.所以a4=7,d=a4-a3=2,an=2n-1.（2）因为 设数列bn的前n项和为Sn，则【变式备选】等差数列an的前n项和为Sn，已知am-1+am+1-am2=0,S2m-1=38, 求m的值.【解析】am-1+am+1=2am,am-1+am+1-am2=2am-am2=0，解得am=0或am=2.又a1+a2m-1=2am,am0,am=2,2m-1=19,解得m=10. 【满分指导】等差数列主观题的规范解答
6、【典例】(12分)(2012广州模拟)已知等差数列an满足：a3=7，a5+a7=26，an的前n项和为Sn.(1)求an及Sn；(2)令 (nN+)，求数列bn的前n项和Tn.【解题指南】分析题意知，对本题(1)可列方程组求解；(2)将an代入bn后，表示出bn是解题关键.【规范解答】(1)设等差数列an的公差为d，因为a3=7，a5+a7=26，所以有解得a1=3,d=2，3分所以an=3+2(n-1)=2n+1, 6分(2)由(1)知an=2n+1，所以9分所以11分即数列bn的前n项和 12分【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：失分警示 在解答本题
7、时有两点容易造成失分：(1)利用方程的思想联立求解在计算上容易出现失误，不能准确求出首项a1和公差d；(2)在求解数列bn的前n项和时，不能熟练准确地利用裂项公式. 备考建议 解决等差数列问题时，还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注:(1)对通项公式与前n项和公式记忆错误；(2)基本公式中的项数或奇偶项的确定不正确；(3)判断一个数列是否为等差数列时，易忽略验证第一项.另外需要熟练掌握几种常见的裂项方法，才能快速正确地解决一些数列求和问题. 1.(2011大纲版全国卷)设Sn为等差数列an的前n项和，若a1=1,公差d=2,Sk+2-Sk=24,则k=( )(A)8(B)7(C)6(D
8、)5【解析】选D.Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2+(2k+1)2=24，k=5.2.(2011天津高考)已知an为等差数列，Sn为其前n项和，nN+,若a3=16,S20=20,则S10的值为_.【解析】由题意知答案：1103.(2011重庆高考)在等差数列an中，a3+a7=37,则a2+a4+a6+a8=_.【解析】a2+a8=a4+a6=a3+a7=37，a2+a4+a6+a8=372=74.答案：744.(2012郑州模拟)f(x)对任意xR都有f(x)+f(1-x)=(1)求f( )和f( )+f( )(nN+)的值;(2)数列an满足：an=f(0)+f( )+f( )+f( )+f(1)，数列an是等差数列吗？请给予证明;(3)令 试比较Tn与Sn的大小.【解析】(1)因为两式相加得2an=f(0)+f(1)+f( )+f( )+f(1)+f(0)=所以又故数列an是等差数列.(3)所以TnSn.
