《2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八张阳阳》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013年全国高校自主招生数学模拟试卷八张阳阳（6页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、2013 年全国高校自主招生数学模拟试卷八命题人：南昌二中 高三（01）班 张阳阳 一、选择题（36 分，每小题 6 分） 本题共有 6 小题，每题均给出（A） 、 （B） 、 （C） 、 （D）四个结论，其中有且仅有一个是 正确的请将正确答案的代表字母填在题后的括号内每小题选对得 6 分；不选、选错或 选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内） ，一律得 0 分 1已知 a 为给定的实数，那么集合 M=x| x2-3x-a2+2=0，xR的子集的个数为（A） 1（B） 2（C） 4（D） 不确定 【答】（C） 【解】方程 x2-3x-a2+2=0 的根的判别式 =1+4a20，方程有两个不
2、相等的实数根由 M 有 2 个元素，得集合 M 有 22=4 个子集 2 命题 1 长方体中，必存在到各顶点距离相等的点; 命题 2 长方体中，必存在到各棱距离相等的点; 命题 3 长方体中，必存在到各面距离相等的点.以上三个命题中正确的有 （A） 0 个 （B） 1 个 （C） 2 个 （D） 3 个 【答】（B） 【解】只有命题 1 对 3在四个函数 y=sin|x|，y=cos|x|，y=|ctgx|，y=lg|sinx|中以为周期、在(0，)上单调递增的偶2函数是 （A）y=sin|x| （B）y=cos|x| （C）y=|ctgx|（D）y=lg|sinx| 【答】（D）【解】y=s
3、in|x|不是周期函数y=cos|x|=cosx 以 2为周期y=|ctgx|在（0，）上单调递2减只有 y=lg|sinx|满足全部条件4如果满足ABC=60，AC=12， BC=k 的ABC 恰有一个，那么 k 的取值范围是（A） k= （B）024,4x+5y24,4x+5y=b3y )22122411(91)1211(91ba也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究二、填空题（54 分，每小题 9 分）7椭圆的短轴长等于 cos21 332【解】 故从而.31)(, 1)0(caca33 31,32bca3322 b8若复数 z1，z2满足| z1|=2，| z2|=3，3z1-2z
4、2=，则 z1z2=i23i1372 1330【解】由 3z1-2z2=21112221 31zzzzzz)32(611221zzzz可得本题也可设三角形式进行 iizzzz zzzzzz2323632)23(6 32)23(612211221 21i1372 1330运算 9正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为 1，则直线 A1C1与 BD1的距离是661 1 1 1 H O D C B A D C B A 【解】作正方体的截面 BB1D1D，则 A1C1面 BB1D1D设 A1C1与 B1D1交于点 O，在面 BB1D1D 内作 OHBD1，H 为垂足，则 OH 为 A1C1与 BD1
5、的公垂线显然 OH 等于直角三角形 BB1D1斜边上高的一半，即 OH=6610. 不等式的解集为232log121x), 4()2 , 1 () 1 , 0(72【解】 等价于或 232log121x232log121x232log121x即或21 log121x27 log121x此时或或2log 21x0log 21x0log7221x解为 x 4 或 00由此得a12(a1+2d)2=(a1+d)4化简得 2a12+4a1d+d2=0解得 d=() a1.5 分22而0，从而取值最maaa212222 1axyp p大，此时 yp=2，S=a2aa2aa当 m=时，xp=-a2，yp=
6、，此时 S=a212a21a2121a下面比较 a与a的大小：2aa2121a令 a=a，得 a=.2aa2121a31故当 0a2a3a4a5a6) 的电阻组装成一个如图的组件，在组装中应如何选取电阻，才能使该组件总电阻值最小？证明你的结论【解】 设 6 个电阻的组件（如图 3）的总电阻为 RFG当 Ri=ai ，i=3，4，5，6，R1，R2是a1，a2的任意排列时，RFG最小5 分证明如下1设当两个电阻 R1，R2并联时，所得组件阻值为 R：则故交换二电阻的位21111 RRR置，不改变 R 值，且当 R1或 R2变小时，R 也减小，因此不妨取 R1R22设 3 个电阻的组件(如图 1)
7、的总电阻为 RAB：21323121 3 2121 RRRRRRRRRRRRRRAB显然 R1+R2越大，RAB越小，所以为使RAB最小必须取 R3为所取三个电阻中阻值最小的一个3设 4 个电阻的组件(如图 2)的总电阻为 RCD：43243142142324131214111 RRRRRRRRRRRRRRRRRRR RRRABCD若记，则 S1、S2为定值 411 jijiRRS 412 kjikjiRRRS于是4313212 RRSRRRSRCD只有当 R3R4最小，R1R2R3最大时，RCD最小，故应取 R4R3，R3R2，R3R1，即得总电阻的阻值最小15 分4对于图 3，把由 R1、R2、R3组成的组件用等效电阻 RAB代替要使 RFG最小，由 3必需使 R6R5；且由 1，应使 RCE最小由 2知要使 RCE最小，必需使 R5 R4，且应使 RCD最小而由 3，要使 RCD最小，应使 R4 R3 R2且 R4 R3 R1这就说明，要证结论成立20 分图1 B A R1R3 R2图2 D C R3R4R1R2E G图 3R1A R2R4 R6R3R5BCDFGE
