《固体物理学》房晓勇主编教材课件-第五章 金属电子论基础

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1、1海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第第五章 金属电子论基础第五章 金属电子论基础在固体材料中，三分之二以上的固态纯元素物质属于金属材料。由于金属具有极好的导电、导热性能及优良的机械性能是一种非常重要的实用材料，所以，通过对金属材料功能的研究，可以了解金属材料的性质，同时椎动现代固体理诧的发展。另一方面对金属材料的了解，也是认识非金属材料的基础。有关金属的第一个理论模型，是特鲁特（在固体材料中，三分之二以上的固态纯元素物质属于金属材料。由于金属具有极好的导电、导热性能及优良的机械性能是一种非常重要的实用材料，所以，通过对金属材料功能的研究，可以了解金属材料的性质，同时椎动现代固

2、体理诧的发展。另一方面对金属材料的了解，也是认识非金属材料的基础。有关金属的第一个理论模型，是特鲁特（P.Drude）在）在1900年提出的经典自由电子气体模型。他将在当时已经非常成功的气体分子动理论运用于金属，以解释金属电导和热导的行为。年提出的经典自由电子气体模型。他将在当时已经非常成功的气体分子动理论运用于金属，以解释金属电导和热导的行为。1928年索末菲（年索末菲（A.Sommerfeld）又进一步将费米）又进一步将费米-狄拉克统计用于电子气体，发展了量子的自由电子气体模型，从而克服了经典自由电子气体模型的不足。狄拉克统计用于电子气体，发展了量子的自由电子气体模型，从而克服了经典自由电

3、子气体模型的不足。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第我在我在19801981年访问美国年访问美国Cornell大学期间曾旁听大学期间曾旁听Ashcroft教授为研究主开设的固体物理课程，深为他从最倚单的金属自由电子气体模型开始，逐渐加以丰富和完善的体系所吸引回来后我也尝试着在教学中采用感到学生确实易于从中了解各个模型的限度，以及在最简单的模型基础之上添加的每一因素所带来的物理后果固体物理基础教授为研究主开设的固体物理课程，深为他从最倚单的金属自由电子气体模型开始，逐渐加以丰富和完善的体系所吸引回来后我也尝试着在教学中采用感到学生确实易于从中了解各个模型的限度，以及在最简单的模

4、型基础之上添加的每一因素所带来的物理后果固体物理基础-阎守胜阎守胜海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第经典自由电子气模型经典自由电子气模型价电子可在金属中自由运动，电子之间、电子和离子之间的相互作用可忽略，如同理想气体中的粒子价电子可在金属中自由运动，电子之间、电子和离子之间的相互作用可忽略，如同理想气体中的粒子电子气。平衡时服从玻尔兹曼分布。电子气。平衡时服从玻尔兹曼分布。现代金属电子论现代金属电子论金属内部的势场恒定，价电子运动彼此独立，其运动由金属内部的势场恒定，价电子运动彼此独立，其运动由Schrodinger方程描述，电子满足泡利原理，服从量子的费米统计分布。方程描述

5、，电子满足泡利原理，服从量子的费米统计分布。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.1 自由电子气休模型自由电子气休模型5.2 电子比热容的量子理论电子比热容的量子理论5.3 逸出功 接触电势差逸出功 接触电势差5.4 外场作用下的金属电子气外场作用下的金属电子气5.5 金属的电导率金属的电导率5.6 金属的磁电阻效应金属的磁电阻效应5.7 金属热导率金属热导率5.8 光学性质光学性质教学内容教学内容作业习题作业习题5.15.25.35.75.10（1）（）（2）（）（3）海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第教学要求、重点教学要求、重点教学要求：教学要求：掌握金

6、属自由电子气体模型。掌握电子比热的量子理论。了解逸出功和接触电势差。了解电场中的自由电子、光学性质、金属电子组率、霍耳效应和金属热导率。掌握金属自由电子气体模型。掌握电子比热的量子理论。了解逸出功和接触电势差。了解电场中的自由电子、光学性质、金属电子组率、霍耳效应和金属热导率。教学难点：教学难点：玻耳兹曼方程、弛豫时间的统计理论、纯金属电阻率的统计模型玻耳兹曼方程、弛豫时间的统计理论、纯金属电阻率的统计模型教学重点：教学重点：费密能、热容量、接触电势差、电子与声子的相互作用、金属电导率费密能、热容量、接触电势差、电子与声子的相互作用、金属电导率海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第

7、第5.1 自由电子气模型自由电子气模型5.1.1 基本假定固体是由许多原予组成的复杂体系。在研究固体问题时基本假定固体是由许多原予组成的复杂体系。在研究固体问题时.作为一个比较好的近似，可以把固体中的原子分成离子实和价电子而部分、离子实是由原子核与结合能高的内层电子组成，形成固体时，离子实的变化可以忽略，价电子是原子外层结合能低的电子，形成固体时，其状况与在孤立原子中的状况不同作为一个比较好的近似，可以把固体中的原子分成离子实和价电子而部分、离子实是由原子核与结合能高的内层电子组成，形成固体时，离子实的变化可以忽略，价电子是原子外层结合能低的电子，形成固体时，其状况与在孤立原子中的状况不同.显

8、然，即使我们做上述筒化，面对的依然是一个粒子数为显然，即使我们做上述筒化，面对的依然是一个粒子数为1011 1023cm-3的多体问题，与我们研究气体热学性质时所面对的问题相似。的多体问题，与我们研究气体热学性质时所面对的问题相似。2海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第自由电子气模型：金属中的价电子同气体分子类似，形成自由电子气，称为自由电子气模型：金属中的价电子同气体分子类似，形成自由电子气，称为金属电子气金属电子气。是特鲁特。是特鲁特(P.Drude)1900年提出的，称为特鲁特模型。年提出的，称为特鲁特模型。1.自由电子气模型自由电子气模型海海南南大大学学海纳百川大道致远

9、海纳百川大道致远第第这些自白电子可以同金属中离子实碰幢，在一定温度下达到热平衡状态。按照特鲁特模型，金属中酌电子气体可以用具有确定的平均速度和平均自由时间的电子运动来描述。例如，在外电场作用下，电子产生漂移运动形成了电流；而在温度场中，电子气体的流动总是伴随着能量（热量悄传递，从而形成了金属的热传导现象。这些自白电子可以同金属中离子实碰幢，在一定温度下达到热平衡状态。按照特鲁特模型，金属中酌电子气体可以用具有确定的平均速度和平均自由时间的电子运动来描述。例如，在外电场作用下，电子产生漂移运动形成了电流；而在温度场中，电子气体的流动总是伴随着能量（热量悄传递，从而形成了金属的热传导现象。1897

10、年汤姆逊（年汤姆逊（Tompson）发现了电子经典物理学发展了完善的气体分子运动论）发现了电子经典物理学发展了完善的气体分子运动论海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第经典自由电子气体模型经典自由电子气体模型洛伦兹（洛伦兹（H.A.Lorentz）将麦克斯韦）将麦克斯韦-玻耳兹曼统计分布规律应用于自由电子气体模型，并对金属中的电子比热容等问题进行定量计算，从面建立了经典自由电子气体理论。经典自由电子气体理论的基础是自由电子气体模型，即金属电子气体假定，它包括二层基本含意；玻耳兹曼统计分布规律应用于自由电子气体模型，并对金属中的电子比热容等问题进行定量计算，从面建立了经典自由电子气

11、体理论。经典自由电子气体理论的基础是自由电子气体模型，即金属电子气体假定，它包括二层基本含意；(1)忽略电子与离子实之间的相互作用，且因为存在表面势垒，电子自由运动的范围仅限于样品内部。在金属中，由于带正电的离子实均匀分布，施加在电子上的电场零因此对电子并没有作用。这一假定称为忽略电子与离子实之间的相互作用，且因为存在表面势垒，电子自由运动的范围仅限于样品内部。在金属中，由于带正电的离子实均匀分布，施加在电子上的电场零因此对电子并没有作用。这一假定称为自由电子近似自由电子近似。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第(2)忽略电子与电子之间的相互作用。即将金属中的自由电子看做彼此独

12、立运动的、完全相同的粒子。这一假定称为忽略电子与电子之间的相互作用。即将金属中的自由电子看做彼此独立运动的、完全相同的粒子。这一假定称为独立电子近似独立电子近似。(3) 在外场作用下，金属中自由电子将偏移平衡态进入非平衡态。在对平衡态的偏离较小时，可以认为系统恢复平衡状态正比于平均碰撞频率，而平均碰撞频率为在外场作用下，金属中自由电子将偏移平衡态进入非平衡态。在对平衡态的偏离较小时，可以认为系统恢复平衡状态正比于平均碰撞频率，而平均碰撞频率为1v=称为弛豫时间，或称平均自由时间这一假定称为称为弛豫时间，或称平均自由时间这一假定称为弛豫时间近似弛豫时间近似。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百

13、川大道致远第第2.电子气的特征参量电子气的特征参量电子数密度电子数密度n（表示单位体积中的平均电子数）（表示单位体积中的平均电子数）()()51mAZnNA =单位体积物质的量单位体积物质的量m/Am是元素的质量密度是元素的质量密度A是元素的相对原子量是元素的相对原子量NA阿伏伽德常数电子的经典半径阿伏伽德常数电子的经典半径sVrnN =3143()()33524srn =.amme =21000240 529 10?sra0玻尔半径玻尔半径0.1nm222331010ncm海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第0ars多数金属在多数金属在2和和3之间，碱金属则在之间，碱金属则在

14、3和和6之间。之间。3海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.1.2 单电子本征态单电子本征态索末菲索末菲(A.Sommerfld)的量子自由电子理论忽略电子的量子自由电子理论忽略电子原子实相互作用以及电子原子实相互作用以及电子电子相互作用，只考虑一个电子在晶格平均场和其它电子的平均场中运动的模型是索末菲自由电子气理论的基础。价电子由于受原子实的束缚较弱，而成为能在晶体内部自由运动的自由电子。索末菲进一步假定，在自由电子的运动过程中，晶格周期场的影响可以忽略，电子间彼此无相互作用。因此可将一个复杂的强关联的多体问题，转化为在平

15、均势场中运动的单电子问题，在首先求得单电子的能级的基础上，利用泡利不相容原理，将电子相互作用，只考虑一个电子在晶格平均场和其它电子的平均场中运动的模型是索末菲自由电子气理论的基础。价电子由于受原子实的束缚较弱，而成为能在晶体内部自由运动的自由电子。索末菲进一步假定，在自由电子的运动过程中，晶格周期场的影响可以忽略，电子间彼此无相互作用。因此可将一个复杂的强关联的多体问题，转化为在平均势场中运动的单电子问题，在首先求得单电子的能级的基础上，利用泡利不相容原理，将N个电子填充到这些能级中，获得个电子填充到这些能级中，获得N个电子的基态。个电子的基态。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远

16、第第(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；(1)金属中的价电子彼此之间无相互作用；1.模型(索末菲)(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)；其中，每一个电子所具有的状态就是在一定深度势讲中运动的位子所具有的能态，称为(2)金属内部势场为恒定势场(价电子各自在势能等于平均势能的势场中运动)；其中，每一个电子所具有的状态就是在一定深度势讲中运动的位子所具有的能态，称为单电子的本征态单电子的本征态；(3)价电子速度服从费米；(3)价电子速度服从费米狄拉克分布。为计算方便设金属是边长为狄拉克分布。为计算方便设金属是边长为L L的立方体，又设势阱的深度是无限的。每个单

17、电子的波函数满足的立方体，又设势阱的深度是无限的。每个单电子的波函数满足2.薛定谔方程及其解( )()( )()( )( )22532?VrrErm += +=,pHV pim=+= =+= 22?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第为计算方便设金属是边长为为计算方便设金属是边长为L L的立方体，又设势阱的深度是无限的。粒子势能为的立方体，又设势阱的深度是无限的。粒子势能为LzyxzyxV （8）式可以表示为）式可以表示为( )()( )01/200021212 29FEFmmmnf E dEdEEEE=?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第而而n=N/L得得(

18、)( )1/202 29FmnE=?()222021082 2FnENmLm=?( ) ( )( )( )( )()1/2001/201/21/2001/202222 22 211mnf E g EEf E dEmf E dEmff E EEdEEmfEdEE= ?因为因为海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第令令()1/202 211mfnEdEE= ?( )1/2h EE=根据固体物理学式（根据固体物理学式（5-36）()()()()()( )()( )2205366FBf EI Eh EdEhk ThE =+ =+ ()()/()()3 221 221264FFFBEI E

19、Ek T + + ()1/203/221/22221/22 22 2()642 211324FFBBFFmfnEdEEEmEk Tk TmEE =+ =?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第显然，当显然，当T=0时，可得时，可得()2202108FENmL=?()221/22211424BFFk TLmNEE?因为因为n=N/L，可得因为，可得因为N不随温度变化，即有不随温度变化，即有()()1/202214FLmNE=?()()221/201/2222211524BFFFk TLmLmNEEE=?()2222200011162412BBFFFFFk Tk TEEEEE+2(1

20、)(1)(1)(1)1( 11)2!mnm mm mmnxmxxxxn+= + ?6海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第（3）根据固体物理学式（）根据固体物理学式（5-29），（），（5-30）能量在）能量在E到到E+dE范围内的电子数目为范围内的电子数目为( )( ) ( )()17dNLn E dELf E g E dE=电子气的总能量电子气的总能量( ) ( )( )( )( )()001/203/203/23/200222322183EEdNELf E g E dELmEf E dELmf E dELmff E EEdEE=?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道

21、致远第第()3/2022183LmfEEdEE= ?令根据固体物理学式（令根据固体物理学式（5-36）()()()()()( )()( )2205366FBf EI Eh EdEhk ThE =+ =+ ()()/()()23 221 231964FFBFI EEk TE +()3/2023/221/2223/2223223()3642212038FBFBFFLmfEEdEELmEk TEk TLmEE =+=+?( )3/2h EE=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()223/22212038BFFk TLmEEE+?而根据式（而根据式（14）()221/22211424

22、BFFk TLmNEE?223/212222221/2222222213811382422124111382436BFFFBBFFBFFFBBFFFk TLmEEEk Tk TEENEEk TLmEEEk Tk TEEE+=+=+?()221BFk TE海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()2222200011162448BBFFFFFk Tk TEEEEE+结合（结合（16）式）式()220220020201134869122348FBBFFFBFEk Tk TEENEEEk TE=+从上式可以看出电子平均能量随温度的增加略有增加，在绝对零度时，即从上式可以看出电子平均能量

23、随温度的增加略有增加，在绝对零度时，即T=0K时，时，()0233FEE =海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第（4）该一维金属的电子热容量为）该一维金属的电子热容量为()24VVECT=而而()20209125348FBFNEk TENEE=+()2002200022002991348348261616FBFBBVVFFFBBBFFNEk TNEk T kECTTEEEkNNTkTkET =+=一维金属的电子比热（单位长度的热容量）一维金属的电子比热（单位长度的热容量）()2002716VVBFCNTCkLLT=所以一维金属与三维金属一样，它的电子比热或热容量与温度所以一维金

24、属与三维金属一样，它的电子比热或热容量与温度T具有线性关系。具有线性关系。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第kmkEdd2?= =求金属自由电子气的能态密度。求金属自由电子气的能态密度。mkE222?= =)(22222zyxkkkm+=+=?金属中自由电子的能量金属中自由电子的能量mkEk2?=法1.234)2(2?kmVC= =mkkVENC2234)2(2)(?= =?mEmVC24)2(223= =Example 27海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第21323)2(4EhmVC= =21CE= =EZddEmkE222?= =222?mEk= =法

25、2.金属中自由电子的能量金属中自由电子的能量?mEmVC24)2(223= =()()kkVZCd422d23=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第kykxEEd+ +E()()kkVZCd422d23=()()EmEmmEVZCd22422d223?=()()EEmVCd)(224321233?= =EEhmVCd2421232=其中其中23224=hmVCc21cE= =EZENdd)(= =海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第在半径为在半径为k的球体积内电子的状态数为：的球体积内电子的状态数为：3334)2(2kVZc=232223=?mEVc自由电子气的

26、能态密度：自由电子气的能态密度：法3.EZENdd)(= =21CE= =2123224EhmVC=其中其中23224=hmVCc在在k空间自由电子的等能面是半径空间自由电子的等能面是半径?mEk2= =的球面，的球面，海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第3.电子的态密度电子的态密度考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，每个能级对应一个自旋方向、考虑到每个波矢状态代表点可容纳自旋相反的两个电子，每个能级对应一个自旋方向、()()/()()=3 21 2222125172?G Emg EEV=单位体积晶体中电子的状态密度，即态密度单位体积晶体中电子的状态密度，即态密度

27、海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.1.4 基态能量 费米面基态能量 费米面1.费米面由泡利不相容原理，可以确定费米面由泡利不相容原理，可以确定T = 0时时N个电子对许可态的占据：每个单电子态上最多可由一个电子占据。描述单电子态的波函数需要波矢个电子对许可态的占据：每个单电子态上最多可由一个电子占据。描述单电子态的波函数需要波矢k和自旋角动量和自旋角动量S，其中，其中S的投影只能取或的投影只能取或2/h+2/h，因此每一个许可态，因此每一个许可态k，可以容纳两个自旋的不同电子。，可以容纳两个自旋的不同电子。由由N个电子组成的自由电子系统，对能量许可态的占有，可从能量最低的

28、个电子组成的自由电子系统，对能量许可态的占有，可从能量最低的k = 0态开始，按能量从低到高，每个态开始，按能量从低到高，每个k态容纳两个电子，依次填充而得到。由于单电子能级的能量比例于波矢态容纳两个电子，依次填充而得到。由于单电子能级的能量比例于波矢k的平方，独立电子近似假说使的平方，独立电子近似假说使Ek的关系是各向同性的，在的关系是各向同性的，在k空间，占据区最后成为一个球，称为费米球。空间，占据区最后成为一个球，称为费米球。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第费米球半径所对应的费米球半径所对应的k值称为费米波矢，记作值称为费米波矢，记作Fk费米球的表面作为占据态和未占据

29、态的分界面称为费米球的表面作为占据态和未占据态的分界面称为费米面费米面，被电子占据的最高能级称为费米能级，记作，被电子占据的最高能级称为费米能级，记作FET=0时时FVNk =334283得得()()32233518FNknV=Fkm10110()()33151228LVk =K空间单位体积的波矢数空间单位体积的波矢数8海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第费米能量费米能量()()225192?FFkEm=费米动量费米动量()()520?FFpk=费米速度费米速度()()5 21?FFkvm=费米温度费米温度()()522FFBETk=2-10eV/m s610K451010海海

30、南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第2.自由电子基态自由电子基态T=0时，电子气出于基态，其能量为时，电子气出于基态，其能量为dFFFEEEFVEEdNEkkVk dkmkVm=030022230252442410? ?()()25222003331052441043?FFFkVEkmEVNmk=()()225192?FFkEm=()()22572?kEm=()()ddd33251324? ? ?LVNkk =海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()()035255FEE=()()25222003331052441043?FFFkVEkmEVNmk=()()2251

31、92?FFkEm=由式（由式（5-25）可知，在绝对零度）可知，在绝对零度T0时，自由电子基态的平均能量与费米能量具有相同的量级，约为几个电子伏特。而按照经典自由电子气体理论，金属电子气的平均能量可以根据能量均分原理得到，应该是。在绝对零度时，自由电子基态的平均能量与费米能量具有相同的量级，约为几个电子伏特。而按照经典自由电子气体理论，金属电子气的平均能量可以根据能量均分原理得到，应该是。在绝对零度T=0时，电子的平均能量为零。之所以会出现这一矛盾结果，是由于金属电子气必须满足泡利不相容原理；即每个状态只能容纳两个自旋方向相反的电子。因此，在绝对零度条件下，金属中的电子不可能全部填充在最低能级

32、上。时，电子的平均能量为零。之所以会出现这一矛盾结果，是由于金属电子气必须满足泡利不相容原理；即每个状态只能容纳两个自旋方向相反的电子。因此，在绝对零度条件下，金属中的电子不可能全部填充在最低能级上。3/2Bk T海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第在统计物理学中，通常将粒子体系与经典行为的偏离称为简并性（在统计物理学中，通常将粒子体系与经典行为的偏离称为简并性（degeneracy）。在）。在T=0时，金属自由电子气体是完全简并的。另外，由于费米温度很高（相应温度所以，室温下的电子气体也是高度简并的。时，金属自由电子气体是完全简并的。另外，由于费米温度很高（相应温度所以，室温

33、下的电子气体也是高度简并的。451010)FTK海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.2 电子比热容的量子理论电子比热容的量子理论在在T0条件下，电子气中的粒子满足泡利不相容原理，服从费米条件下，电子气中的粒子满足泡利不相容原理，服从费米狄拉克统计，在平衡时，能量为狄拉克统计，在平衡时，能量为E的能级被电子占据的几率为：的能级被电子占据的几率为：()()B()( )e15261Ek Tf E =+=+是自由电子气系统的化学势，其意义是在晶体体积不变的条件下，系统增加一个电子时，系统自由能的增量。化学势是系统温度和粒子数的函数，原则上可以由下式确定是自由电子气系统的化学势，其意

34、义是在晶体体积不变的条件下，系统增加一个电子时，系统自由能的增量。化学势是系统温度和粒子数的函数，原则上可以由下式确定()()527iiNf= 5.2.1 费米费米-狄拉克分布费米狄拉克分布费米-狄拉克分布函数狄拉克分布函数海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第B()( )eFE Ek Tf E = =+ +11TlimFE = =0a.0Bk T =()FFF1( )5 280E Ef EE EE E陡 变b.1Bk T =FFF0211)(EEEEEEEf随着随着T的增加，的增加，f( (E)发生变化的能量范围变宽，但在任何情况下，此能量范围约在)发生变化的能量范围变宽，但在

35、任何情况下，此能量范围约在EF附近附近kBT范围内。占据态和非占据态分界范围内。占据态和非占据态分界9海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()()( )d531nn EE = E E+d+dE间的电子状态数：间的电子状态数：( )dn EE() ()() ()( () )( )d530n EEfE g E dE=E E+d+dE间的电子数：单位体积系统总的电子数：间的电子数：单位体积系统总的电子数：电子被占据态的密度电子被占据态的密度 n(E)()() ()()()() ()()529n EfE g E=n即为金属的电子浓度即为金属的电子浓度() ()() ()BB/()/()

36、( )dee3 21 2223 21 2221121 21221?Ek TEk Tnn EEfE g E dEmEdEmEdE=+=+=+=+()()()()B/()e3 21 2221253321?Ek TmEn E =+=+（5-32）海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()()()()B/()e3 21 2221253321?Ek TmEn E =+=+电子被占据态密度、态密度和费米电子被占据态密度、态密度和费米-狄拉克分布函数的曲线如图狄拉克分布函数的曲线如图5-5所示。其中，电子被占据态密度在所有基于自由电子模型的计算中都具有重要的作用。所示。其中，电子被占据态密度在

37、所有基于自由电子模型的计算中都具有重要的作用。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.2.2 金属电子气的热激发态金属电子气的热激发态k空间的费米面空间的费米面FEE=0TK=的费米面内所有状态均被电子占有的费米面内所有状态均被电子占有0TK费米能量降低，一部分电子被激发到费密面外附近费米能量降低，一部分电子被激发到费密面外附近海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第通常，将通常，将T0时金属中自由电子的状态称为时金属中自由电子的状态称为电子气的热激发态电子气的热激发态。热激发能近似于。热激发能近似于TkB而在室温下而在室温下01. 0TkB所以，只有费米面内约范围

38、的电子因为获得能量，可以跃迁到费米面以外的空态上去，并使费米面内的一些状态变成空态。（所以，只有费米面内约范围的电子因为获得能量，可以跃迁到费米面以外的空态上去，并使费米面内的一些状态变成空态。（p145）TkB此时，电子气体分布与基态情况不同，未被电子占据的空态与被电子占据态之间没有明显的界限，如图此时，电子气体分布与基态情况不同，未被电子占据的空态与被电子占据态之间没有明显的界限，如图5-1所示。所示。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第当当,但时但时,分布在各个能级上的电子数密度可表示为分布在各个能级上的电子数密度可表示为:KT0FBETk()()()()()()()|3

39、122000332200232233ng Ef E dECEf E dECf EdEfECE f EC EdEE=/( )=mg EECE=3 21 21 222122?式中()|CE f E = =320203()()()()3322002253433f EnC E fE dEC EdEE= = = = 大多数金属在温度处于熔点温度以下时大多数金属在温度处于熔点温度以下时./3 222122?mC= =海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第11(1)(1)FFBBE EE EBk Tk TfEk Tee=+()()B()( )e15261Ek Tf E =+=+只在附近有显著的

40、值，具有函数特点只在附近有显著的值，具有函数特点FEE()()()()3322002253433f EnC E fE dEC EdEE= = = = 积分只在附近才有贡献。积分只在附近才有贡献。10海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第先求积分先求积分I：()()( )()()0f Ef EIh EdEh EdEEE = = = = ( )( )( )I hI hI h =+=+012?( )()( )226Bhk Th +()f EIdEE = = = 001()()100f EIEdEE = = = 令BEk T = =()()()()3200f Ef EEdEh EdEEE

41、=()()/,1 23 2h EEE= =函数函数()()()!22220126Bf EIEdEk TE = = = ( ) ( )()01ff = ()()B()( )e15261Ek Tf E =+=+海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()()()BBf Ef EeEk Tk T e =+=+2111令BEk T = =()Bek Te=+=+211()f E 是 的偶函()f E 是的奇函()()()10FBBEk Tf Ef EIEdEk TdE = = = = ()0Bf Ek Td = ()()10f EIEdEE = = 海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川

42、大道致远第第()()Bk Tf EId = = 2222()()()()()()()()222222022121BBek Tk Teddee = = += = +()()Bk Tde =+=+ 22011()()Bk Teeeed =+=+ 2223401234?()( )( )( )( )Bk T=+=+22221113333234?()( )()Bk T=+=+22221113 1234?()()BBIk Tk T=222222126令BEk T =()()2223401234?Bk Teeee =+=+ 海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()()()()()( )()(

43、 )2205366FBf EI Eh EdEhk ThE = =+= =+ ()BnCk TC =+=+3122222312()3223h ECE= =()1212hECE =()()() )32222133738Bk TnC=+=+()()30225383FnCE=绝对零度下绝对零度下() ()()FEnf E g E dEg E dE =000FECEdE= = 0120海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第/()BFFk TEE =+=+2 3202018BFk TE()()()()()2202020202111212153912FFBBFFBFFk Tk TEEEk TT

44、ET=当温度升高时，当温度升高时，EF比比0FE小。小。B()( )eFE Ek Tf E =+=+11()()30225383FnCE=()()() )32222133738Bk TnC=+=+对金属而言，费米温度在对金属而言，费米温度在451010 K所以在室温下所以在室温下FTT 因此因此FE化学势又称费米能量化学势又称费米能量海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()()()202153912FFTET=11海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.2.3 电子热容量电子热容量E E+ +dE间的电子数：间的电子数：E E+ +dE间电子的能量:间电子的能量

45、:( )EN E电子的总能量：电子的总能量：( ) ( )0EVf E g E dE每个电子的平均能量：每个电子的平均能量：1.每个电子的平均能量( ) ( )3 2001()dEVfE g E dEECf E EENN=EEfENCEEfNC)d(52)(52025025= =0=023TkNB()() ()()() ()( )dN EVn EEVfE g E dE=电子数密度电子数密度( () ) ( () )( () )( )d530n EEfE g E dE=/3 22222?VmC=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()()BCEk TN =+=+ 225 21 2

46、25512,BFk TE 0221Emvx电流密度电流密度nvejxd= =可到达金属表面的电子数可到达金属表面的电子数海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第间的状态数：间的状态数：kkkd+ +()()kVCd23间的状态数：间的状态数：vvvd+ +221)(,1)(mvkEmkEkvk=?电子速度电子速度()()yyxCkkkVddd23= =xxxmmkvvh =2?yyymmkvvh =2?zzvmk?= =()()yyxCvvvmVddd233?间的电子状态数:间的电子状态数:vvvd+ +dddCxyymVvvv322 ?单位体积中在间的电子状态数:单位体积中在间的

47、电子状态数:vvvd+ +vhmd)(23海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第2FB31()21d2()ddde1xyzmvEk Tmnvvvh=+由于发射电子的能量必须满足：由于发射电子的能量必须满足：221mv =F0F221EEEmv()2FB1()32d2() eddd550Emvk Txyzmnvvvh=vvv?d+ +间的电子数(2)单位体积而间的电子数(2)单位体积而 kBT，(3)可到达金属表面的电子数，(3)可到达金属表面的电子数海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第FBBmvEk Tk Txyzmdneedv dv dvh =2322速度分量在

48、到之间的电子数为速度分量在到之间的电子数为:xvxvxxdvv +zyxFBBBBmvmvmvEk Tk Tk Tk Txxyzmdneedvedvedvh=22232222xFBBmvEk Tk TBxm k Teedvh = =22234得利用公式得利用公式， = =de2xx2deB2B2mTkvyTkmvy= = 2deB2B2mTkvzTkmvz= = 书书P150有误（有误（5-51）海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第xdNSv tdn= =xv tSxdNdIv dntS=/EmjedI = = 02xxmETkmvTkEvvhTkemxdee4210B2BF)

49、2(23B2 = =xxmETkmvvvxde210B2)2(2 ()()=210B222Be221mETkmvxmTkTkEmTkB0eB =电子总数电子总数单位时间单位面积上通过的电子数目单位时间单位面积上通过的电子数目电流密度数值电流密度数值海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第.()BBemke mkAA mKh =2262223341 2 102?Be2k TjAT = =FB()B() e0234jEEk Temk ThBB() ek Temk Th 234()2B0B1 202BB221ee2xmvk TEk TEmk Tk Tmm=14海海南南大大学学海纳百川大道

50、致远海纳百川大道致远第第21lnlnBjATk T=0T=+海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第2.肖特基效应肖特基效应当给金属表面附近施加一高强度电场对，金属外面的势垒将发生变化从而减少逸出功，致使热电子发射电流密度显著增大，这种现象称为当给金属表面附近施加一高强度电场对，金属外面的势垒将发生变化从而减少逸出功，致使热电子发射电流密度显著增大，这种现象称为肖特基效应肖特基效应。利用自由电子的索末菲模型，可以很好地解释这种现象。利用自由电子的索末菲模型，可以很好地解释这种现象。虚线虚线OA表示未加电场时的势垒曲线。虚线表示未加

51、电场时的势垒曲线。虚线PQ表示金属表面加一均匀电场表示金属表面加一均匀电场E时，溢出的电子要附加势能时，溢出的电子要附加势能-eEx。实验。实验OB是两条虚线是两条虚线PQ和和OA叠加而成的，它是在外场作用下的金属表面势垒曲线。该曲线有极大值叠加而成的，它是在外场作用下的金属表面势垒曲线。该曲线有极大值.00EE ，海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第上式说明两块金属的接触电势差来源于两块金属的脱出功不同，而脱出功表示真空能级和金属费米能级之差，所以接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样高。上式说明两块金属的接触电势差来源于两块金属的脱出功不同，而脱出功表示真空能级和金属费米

52、能级之差，所以接触电势差来源于两块金属的费米能级不一样高。理论推导上式。设两块金属的温度都是设两块金属的温度都是T，当他们接触时，每秒内从金属A和金属B的单位表面积所溢出的电子数分别为：，当他们接触时，每秒内从金属A和金属B的单位表面积所溢出的电子数分别为：ABB() ek TAmNk Th 234ABBB() ek TBmNk Th 234ABBBe() e2234k Tk TjATemk Th=ejN=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第若若 B A，则，则UA0, 0, UB0，两块金属中的电子分别具有附加的静电势-?()()33524srn =()()32233518F

53、NknV=()()520?FFpk=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第准经典近似：对于外场作用下的金属电子气体，若用费米速度代替热运动的平均速度，用有效质量代替电子的真实的质量，则电子的运动可以采用经典方式处理，这种方法称为准经典近似：对于外场作用下的金属电子气体，若用费米速度代替热运动的平均速度，用有效质量代替电子的真实的质量，则电子的运动可以采用经典方式处理，这种方法称为准经典近似准经典近似。Fvm海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.4.3 电子的动力学方程电子的动力学方程( )tt?时刻电子的平均动量p()( )( )( )( )( )( )()21

54、dtp tdtp tF t dtp tF tp tF t dtdtdt+=+=+? ? ? ? ?1dt电子没有受到碰撞的几率电子没有受到碰撞的几率( )F t?为电子受到的作用力海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()( )( )( )( )( )( )()21dtp tdtp tF t dtp tF tp tF t dtdtdt+=+=+? ? ? ? ?( )( )( )()565d p tp tF tdt=? ? ?( )( )( )()566dddvtvtmF tmdt=? ? ?( ):ddvtm? ?：外场作用下电子的漂移速度，有效质量。表明在外场作用下金属电子气

55、的运动过程中，碰撞的作用，相当于在通常的方程式中引入一个依赖于电子漂移速度的阻尼项。表明在外场作用下金属电子气的运动过程中，碰撞的作用，相当于在通常的方程式中引入一个依赖于电子漂移速度的阻尼项。( )()( )d p tp tdtp t=+? ? ? ?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.5 金属的电导率金属的电导率()()567? ?jE =欧姆定律欧姆定律18海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()()0568? ? ? ?keefffEfEk =5.5.1 金属的电导率金属的电导率()()000569? ? ? ? ?kfeeffEffEk=+=+=+

56、=+外电场一般总是比原子内部的电场小得多，可以认为外电场一般总是比原子内部的电场小得多，可以认为f偏离平衡分布偏离平衡分布f0不大，上式右边的不大，上式右边的f可用可用f0代替所以根据泰勒定理，上式可以看成式代替所以根据泰勒定理，上式可以看成式feffEk =+=+ 00?()()( )(E)(E)00570? ? ?eef kf kf k =+=+=泰勒展开的结果泰勒展开的结果()()0562fffefrTEvBTk+= ?( )20000000()()( )()()()()()2!nnfxfxf xf xfxxxxxxxn=+?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第上式说明，

57、当施加电场后，波矢空间内稳定态的电子分布波函数，是平衡态分布函数发生刚性平移产生的。上式说明，当施加电场后，波矢空间内稳定态的电子分布波函数，是平衡态分布函数发生刚性平移产生的。)(0kf?如果平衡态对应一个费米球分布，如果平衡态对应一个费米球分布，)(0kf?eE ? ?球心沿电场相反的方向刚性移动球心沿电场相反的方向刚性移动)(kf?也对应一个费米球分布，则稳定态也对应一个费米球分布，则稳定态E? ?e E ?kkEEfjkEEfikEEffzyxk?+ + =0000EfvEEfkk=00?()()( )(E)(E)00570? ? ?eef kf kf k =+=+=海海南南大大学学海

58、纳百川大道致远海纳百川大道致远第第E? ?e E ?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()()571? ? ?dPFeEdt= = pk= =?()()572? ? ?ekE = = B/()eEk TmEndE =+=+ 3 21 2221221?( ()()()()()()()573?FFFFFng EEEg Ekkg Evk=()()()()()()2222574? ? ?FFFFFFejn evg EvEg Ev e E= = =( () )( () )22575FFg Ev e=费米面上的能态密度费米面上的能态密度海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第

59、对于各向同性金属，电导率是标量，满足对于各向同性金属，电导率是标量，满足()()()()22575FFg Ev e=xxyyzz=()()()()22576xxFFxg Ev e=对大多数金属的费米面可以看做是球面，所以又对大多数金属的费米面可以看做是球面，所以又()222215763FxFyFzFvvvv=()()()()2215773FFg Ev e=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第金属的电导率不仅取决于费米速度和驰豫时间，而且还与费米面上的能态密度有关。金属的电导率不仅取决于费米速度和驰豫时间，而且还与费米面上的能态密度有关。()()/( )3 21 22221517

60、2?mg EE =()()32233518FNknV=()()225192?FFkEm =()()5 21?FFkvm=()()()()2215773FFg Ev e=()()2578nem =电子的有效质量代替有效质量，概括了电子与电子之间、电子与晶格之间的相互作用。电子的有效质量代替有效质量，概括了电子与电子之间、电子与晶格之间的相互作用。19海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()()2578nem =考虑到泡利不相容原理的限制，只有费米面附近的电子才有可能在外场的作用下进入高能级，因而才会对金属电导率有贡献。而对于能量比费米能级低得多的电子，由于附近的能级已经被占据，没

61、有可以接受它的空态，所以这些电子不可能从外电场获得能量而改变其状态，因而它们并不参与导电。考虑到泡利不相容原理的限制，只有费米面附近的电子才有可能在外场的作用下进入高能级，因而才会对金属电导率有贡献。而对于能量比费米能级低得多的电子，由于附近的能级已经被占据，没有可以接受它的空态，所以这些电子不可能从外电场获得能量而改变其状态，因而它们并不参与导电。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.5.2电阻率随温度的变化电阻率随温度的变化金属电导率的倒数称为电阻率，即金属电导率的倒数称为电阻率，即1=理想晶体无电阻金属的电阻率是由于金属中的散射中心对电子气的散射形成了。这些散射中心包括

62、两类：一是金属中的杂质和缺陷；二是晶格振动。（教材金属的电阻率是由于金属中的散射中心对电子气的散射形成了。这些散射中心包括两类：一是金属中的杂质和缺陷；二是晶格振动。（教材P159）一个理想的晶体是无限大的，既没有杂质和缺陷也没有晶格振动。一个理想的晶体是无限大的，既没有杂质和缺陷也没有晶格振动。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第当能带只是部分填充时，在外电场作用下，这些电子的状态以匀速变化，使电子在布里渊区的分布不再对称，从而产生电流。当能带只是部分填充时，在外电场作用下，这些电子的状态以匀速变化，使电子在布里渊区的分布不再对称，从而产生电流。( () )? eFtk=dd

63、当外电场除去后，由于，电子在布里渊区的非对称分布不再变化，从而维持原来的电流不变，也就是说，在外电场为零的情况下，电流仍不等于零。当外电场除去后，由于，电子在布里渊区的非对称分布不再变化，从而维持原来的电流不变，也就是说，在外电场为零的情况下，电流仍不等于零。0dd= =tk?可知，电导率应为无穷大，电阻率应为零。可知，电导率应为无穷大，电阻率应为零。?1=j由由海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第（1）由杂质和缺陷对电子的散射所形成的电阻率称为剩余电阻率，用）由杂质和缺陷对电子的散射所形成的电阻率称为剩余电阻率，用0表示。剩余电阻率与温度表示。剩余电阻率与温度T无关，可以看做

64、是常数 。电阻率的相关因素（无关，可以看做是常数 。电阻率的相关因素（2）由电子与声子的散射引起的电阻率，称为本征电阻率，用 ）由电子与声子的散射引起的电阻率，称为本征电阻率，用 l表示。本征电阻率 表示。本征电阻率 l随着温度随着温度T增加而增大，并且当增加而增大，并且当T0时，时，l l 0。金属的电阻率可以写成。金属的电阻率可以写成()0579l=+O/T K0l海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第纯金属的电阻率a.实验规律：高温高温T 5T 低温低温b.理论解释对于纯金属，杂质和缺陷可以忽略不计，电阻率主要来自晶格振动对电子的散射作用。假设声子系统由所谓的平均声子所构成

65、，在这个系统中每个声子的动量等于原声子系统中声子的平均动量。虽然金属中存在大量的电子，但参与导电的仅仅是费米面附近的电子。对于纯金属，杂质和缺陷可以忽略不计，电阻率主要来自晶格振动对电子的散射作用。假设声子系统由所谓的平均声子所构成，在这个系统中每个声子的动量等于原声子系统中声子的平均动量。虽然金属中存在大量的电子，但参与导电的仅仅是费米面附近的电子。电子与晶格的相互作用电子与晶格的相互作用电子与声子相互作用电子与声子相互作用费米面附近电子与声子相互作用费米面附近电子与声子相互作用海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第1.高温情况高温情况在高温情况下，由于满足关系，声子能量同费米

66、能量具有相同的数量级，因此很容易发生能量的共振转移。在这样的情况下，本征电阻率同散射几率成正比，而散射几率又与声子数密度成正比，可以写成。声子是玻色子，遵从玻色子统计，其平均密度可由普朗克公式给出。在条件下，有在高温情况下，由于满足关系，声子能量同费米能量具有相同的数量级，因此很容易发生能量的共振转移。在这样的情况下，本征电阻率同散射几率成正比，而散射几率又与声子数密度成正比，可以写成。声子是玻色子，遵从玻色子统计，其平均密度可由普朗克公式给出。在条件下，有DT DT l( )n q( )ln q( )/1111/1BBk TBkn qTek T=+?表明，在高温时，本征电阻率与温度成正比表明

67、，在高温时，本征电阻率与温度成正比()5 80lT20海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第2.低温情况低温情况在低温情况下，由于满足关系，声子能量（在低温情况下，由于满足关系，声子能量（10-2eV）远小于费米能量，因此不能发生能量的共振转移。而电子与声子的碰撞可以看做是弹性碰撞，电子的波矢因为受到散射而改变方向，变为，但其大小保持不变，在这种碰撞中，电子动量的损失是电阻形成的原因。此时，本征电阻率不仅同散射几率，即声子数密度成正比，还与每次散射中电子的动量损失）远小于费米能量，因此不能发生能量的共振转移。而电子与声子的碰撞可以看做是弹性碰撞，电子的波矢因为受到散射而改变方向，

68、变为，但其大小保持不变，在这种碰撞中，电子动量的损失是电阻形成的原因。此时，本征电阻率不仅同散射几率，即声子数密度成正比，还与每次散射中电子的动量损失P成正比，成正比，DT k?k?( )n q( )ln qp2-10eV海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第k?q?k?p? ?声子波矢为声子波矢为q?根据能量守恒定律根据能量守恒定律kqk+=?2 sin2kq=sin/21,/qkq k即散射使电子在原来方向上的动量损失为散射使电子在原来方向上的动量损失为()222sin1 cos222pkkkq=? ?在低温下，声子的频率与波矢在低温下，声子的频率与波矢q成线性关系，而声子的

69、频率成线性关系，而声子的频率Bk T?固有固有2pT 又因为低温时，在德拜近似下，声子数密度又因为低温时，在德拜近似下，声子数密度( )3n qT本征电阻率本征电阻率( )()235581ln qpTTT =()()2360?ssssssssPcq cc =()()()()12363107mpnv=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第)cos1)(1=,k,kZF?其中其中Z是一常数，是除是一常数，是除k态外，费米面上其他电子态的总和。是电子遭受到一个平均声子散射作用所产生的散射角。态外，费米面上其他电子态的总和。是电子遭受到一个平均声子散射作用所产生的散射角。 )( ,k ,

70、k? 是波矢为是波矢为k的电子在单位时间内与一个平均声子的碰撞概率，也即波矢为的电子在单位时间内与一个平均声子的碰撞概率，也即波矢为k的电子在单位时间内与平均声子的碰撞次数。按照经典统计理论，单位时间内某的电子在单位时间内与平均声子的碰撞次数。按照经典统计理论，单位时间内某A气体分子与气体分子与B气体分子的碰撞次数，正比于气体分子的碰撞次数，正比于A和和B分子的平均相对速度以及分子的平均相对速度以及B分子的浓度。因此分子的浓度。因此n,v,k,k)( ?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第n,v,k,k)( ?如果采用德拜模型，声子的速度近似为金属中的声速，也是常数。所以电子与

71、声子的平均相对速度是一常数。如果采用德拜模型，声子的速度近似为金属中的声速，也是常数。所以电子与声子的平均相对速度是一常数。n-声子浓度，声子浓度，v-费米面附近电子与声子的平均相对速度费米面附近电子与声子的平均相对速度(? ?kF/m*)。假设可以不计倒逆过程，只讨论电子的正常散射过程，由下图可知。假设可以不计倒逆过程，只讨论电子的正常散射过程，由下图可知k?k ? q?电子电子-声子的正常散射声子的正常散射FF2222sinkqkqkq?= 2F2222sin2cos1)k()q(?=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第上式中为声子的平均动量。上式中为声子的平均动量。q?上

72、式代入得到上式代入得到2F)(1qn?= =根据德拜模型知，而频率为根据德拜模型知，而频率为 的声子数为的声子数为qv= = )cos1)(1F=,k,kZ?1e1B=Tkn ?=DBD020321ed23)d()(1TkpcvnVn?声子浓度声子浓度海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第=DBD020321ed23)d()(1TkpcvnVn?声子浓度声子的平均波矢声子浓度声子的平均波矢d21e1221e11DBB0322322 +=+=TcTkTLcTkLcvVqvVqVnq?=DBDB0240331ed1edTksTkpvv?d21e1221e11DBB0322322 +=

73、+=TcTkTLcTkLcvVvvVvVn?。其中利用了。其中利用了444213TLsvvv+=+=21海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第可得纯金属的电阻率为：可得纯金属的电阻率为：=Tx2TxxxxxATDD020351ed1ed其中是金属的德拜温度，其中是金属的德拜温度，A是常数。是常数。D =DB02321ed23Tkpvn?=DBDB0240331ed1edTksTkpvvq?2)(1qnF?= =TkxB ?= =令，令，高温时：xx+1eTA4D92= = T 5T 低温时： TD海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第杂质和缺陷对金属电阻率的影响实际

74、材料中存在的杂质与缺陷，也将破坏周期性势场，引起电子的散射。在金属中杂质与缺陷的影响一般来说是不依赖于温度实际材料中存在的杂质与缺陷，也将破坏周期性势场，引起电子的散射。在金属中杂质与缺陷的影响一般来说是不依赖于温度T的，而与杂质、缺陷的浓度成正比。在杂质浓度较小时，可以认为晶格振动与杂质、缺陷的散射相互独立，总的散射概率之和用弛豫时间表示可以写成：的，而与杂质、缺陷的浓度成正比。在杂质浓度较小时，可以认为晶格振动与杂质、缺陷的散射相互独立，总的散射概率之和用弛豫时间表示可以写成：rL111+=+=第一项：表示晶格振动散射的贡献，第二项：表示杂质、缺陷散射的贡献。第一项：表示晶格振动散射的贡献

75、，第二项：表示杂质、缺陷散射的贡献。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第rL +=+=当当T=0K时，没有声子，=0K时，没有声子， L=0，=0，因此杂质与缺陷的存在可以改变金属电阻率的数值，但不改变电阻率的温度系数因此杂质与缺陷的存在可以改变金属电阻率的数值，但不改变电阻率的温度系数d /dT。 L-代表纯金属的电阻率；代表纯金属的电阻率； r-表示杂质与缺陷的散射的影响，与温度无关。表示杂质与缺陷的散射的影响，与温度无关。 = = r称称 r为金属的为金属的剩余电阻率剩余电阻率。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.5.3 交流电场的电导率交流电场的电导

76、率1.直接电阻率金属在稳恒电场作用下，直接电阻率金属在稳恒电场作用下，( )( )( )()566dddvtvtmF tmdt=? ? ?( )0,ddvtdt=? ?FeE= ?( )devtEm= ? ?相应的电流密度相应的电流密度2dnejnevEm= =? ?2nem=同欧姆定律式（同欧姆定律式（5-67）比较，金属的电阻率可以写成）比较，金属的电阻率可以写成( () )567? ?jE =式与（式与（5-78）一致，稳恒电场作用下，即直流情况下金属电导率表达式，又称为直流电导率，写成）一致，稳恒电场作用下，即直流情况下金属电导率表达式，又称为直流电导率，写成20nem=海海南南大大学

77、学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第2.交流电导率交流电导率当金属受到交变电场作用时，电场强度可以表示为当金属受到交变电场作用时，电场强度可以表示为0i tEE e=?相应的漂移速度可以写成相应的漂移速度可以写成0i tddvv e=? ? ?( )( )( )()566dddvtvtmF tmdt=? ? ?2ddmi m veEv = ? ? ?于是得到电子的漂移速度，即于是得到电子的漂移速度，即()1devEmi=? ?相应电流密度相应电流密度()21dn ejnevEmi= =? ?则相应的交流电导率则相应的交流电导率()()()2058311n emii=海海南南大大学学海纳百川大

78、道致远海纳百川大道致远第第5.6 金属的磁电阻效应金属的磁电阻效应当把通电的金属或半导体置于磁场时，将会产生一些磁致电变现象，这些现象称为当把通电的金属或半导体置于磁场时，将会产生一些磁致电变现象，这些现象称为磁电效应磁电效应。磁电效应磁电效应霍尔效应磁霍尔效应磁(电）阻效应苏里（电）阻效应苏里（Sull）效应出现在半导体材料中金属、半导体）效应出现在半导体材料中金属、半导体22海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.6.1 霍尔效应霍尔效应（Hall effect）在通有电流的导体板上，垂直于板面施加磁场，则在导体板上会出现横向电势差，此现象称为霍耳效应。该电势差称在通有电流

79、的导体板上，垂直于板面施加磁场，则在导体板上会出现横向电势差，此现象称为霍耳效应。该电势差称霍耳电势差 。霍耳电势差 。霍耳在霍耳在1879年发现的年发现的动画：霍耳效应动画：霍耳效应海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第dB?IbHUdIBRUHH=霍耳电压霍耳电压BqqEdHv=BEdHv=BbUdHv=nqdIBU=HnqR1H=霍耳系数霍耳系数+qdv?+ + +- - -eF?mF?bdqndv=SqnIdv=()HH584IBURd=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()HH584IBURd=d为金属的厚度；为金属的厚度；RH称为霍尔系数，是仅与材料

80、性质有关的。称为霍尔系数，是仅与材料性质有关的。UH霍尔电势差，与之对应的横向电场称为霍尔电场。霍尔电势差，与之对应的横向电场称为霍尔电场。dB?IbHUdIBRUHH=霍耳电压霍耳电压+qdv?+ + +- - -eF?mF?HE? ?xy()585HHER B j=? ?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第2.霍尔系数霍尔系数dB?IbHUdIBRUHH=霍耳电压霍耳电压+qdv?+ + +- - -eF?mF?()()586Fe EvB= + ? ?( )( )( )()565d p tp tF tdt=? ? ?( )()( )d p tp te EvBdt= + ?

81、? ? ?单电子准经典动力学方程式（单电子准经典动力学方程式（5-65）可以写成其中电子动量）可以写成其中电子动量pm v=? ?考虑考虑( )0d p tdt=? ?jnev= ?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()0587eEjjBm=+? ?00B=? ?其中为时的直流电导率，令()588ceBm=称为回旋频率，是电子做螺旋运动的角频率。设磁场沿称为回旋频率，是电子做螺旋运动的角频率。设磁场沿z方向，电场与之垂直，在方向，电场与之垂直，在xy平面内，则式（平面内，则式（5-87）可写成）可写成()0589xxcyyccxyEjjEjj =+= +? ? ? ? ?0x

82、yjE=? ?时的电场即是霍尔电场，则是通过金属片的电流密度，根据式（即是霍尔电场，则是通过金属片的电流密度，根据式（5-89）有）有xj? ?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第0cyxxBEjjne = = ? ? ?比较式（比较式（5-85），得霍尔系数），得霍尔系数()1590yHxzERnej B= ? ?式（式（5-90）表明，霍尔系数仅依赖于金属电子气的数密度，与金属的其他参数无关。这是一个非常简单的结果，提供了对金属电子气模型正确性的最直接的检验方法。）表明，霍尔系数仅依赖于金属电子气的数密度，与金属的其他参数无关。这是一个非常简单的结果，提供了对金属电子气模型

83、正确性的最直接的检验方法。23海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第此结论与一价金属此结论与一价金属Li，Na，K符合较好，但对符合较好，但对Cu，Ag，Au及二价和三价金属，有较大偏离，甚至符号亦不对，说明自由电子气模型存在局限性。此表中，数值越接近及二价和三价金属，有较大偏离，甚至符号亦不对，说明自由电子气模型存在局限性。此表中，数值越接近1，说明理论值与实验值符合越好。，说明理论值与实验值符合越好。1/HneR一些金属在室温下的霍尔系数一些金属在室温下的霍尔系数3海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.6.2 磁阻效应磁阻效应1.磁阻效应在通有电流的金属或半

84、导体上施加磁场时，电阻值将会发生改变，这种现象称为磁阻效应在通有电流的金属或半导体上施加磁场时，电阻值将会发生改变，这种现象称为磁电阻效应磁电阻效应，或称为，或称为磁阻效应磁阻效应。由垂直于电流方向的磁场形成的磁阻效应，称为横向磁阻效应。由平行于电流方向的磁场形成的磁阻效应，称为纵向磁阻效应。当材料中电子有效质量显示各向同性时，纵向磁电阻电阻效应为零。通常利用磁场引起的电阻率的相对变化来衡量磁阻效应。由垂直于电流方向的磁场形成的磁阻效应，称为横向磁阻效应。由平行于电流方向的磁场形成的磁阻效应，称为纵向磁阻效应。当材料中电子有效质量显示各向同性时，纵向磁电阻电阻效应为零。通常利用磁场引起的电阻率

85、的相对变化来衡量磁阻效应00=0为为B=0时的电阻率时的电阻率海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第若不考虑几何效应，有若不考虑几何效应，有()2291591164B=2是载流子的迁移率2.若磁场玻尔兹曼方程的解若磁场玻尔兹曼方程的解在电场和磁场共同作用的玻尔兹曼方程写为在电场和磁场共同作用的玻尔兹曼方程写为()()()0592keefffEvBfEvBk= += +?在弱场条件下，非平衡分布函数在弱场条件下，非平衡分布函数f同平衡分布函数同平衡分布函数f0偏离不大，因此可用偏离不大，因此可用f0代替右项中的代替右项中的f。令。令()00593fffD kE=? ?D?为待定矢量

86、为待定矢量海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第对于自由电子情况，电子动量为对于自由电子情况，电子动量为,m vk=?电子能量为电子能量为222kEm=?由于由于00kffffDkDvEEEk = ?代入式（代入式（5-92）得）得()()00594ffeeffEvBDEk=+ ?或或()000fffmeeD vEvBDvEEE=? ?对任意的对任意的V，上式均成立，因此有，上式均成立，因此有()595eeDEBDmm= +?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第对式（对式（5-95）两端点乘做矢量运算，可得）两端点乘做矢量运算，可得eBm? ?eeeeeDBEBB

87、DBmmmmm= +?()()()2325961eeeEBEB E BmmmDeBm=+? ? ? ? ?在弱场作用下，在弱场作用下，1C ()()()2597eeeDEBEBBEmmm= +? ? ? ?考虑考虑B=0条件下，将式（条件下，将式（5-95）代入欧姆定律，有）代入欧姆定律，有()598nejD=?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第将式（将式（5-97）代入式（）代入式（5-98）()()2neneeeejDEBEBBEmmm= +? ? ? ?()()()()()()32434320233599nenenenejDEEBB EB E Bmmm=+? ? ? ?

88、 ? ?24海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第3.金属的横向电阻金属的横向电阻a.考虑考虑B2可以忽略的情况下，式只保留前两项，可以忽略的情况下，式只保留前两项，()0589xxcyyccxyEjjEjj =+= +? ? ? ? ?()()()()()()32434320233599nenenenejDEEBB EB E Bmmm=+? ? ? ? ? ?对于稳态情况，对于稳态情况，jx=0，得，得0xxjE=这意味着金属电子气体的横向磁阻为这意味着金属电子气体的横向磁阻为0.但实际测量结果表明，大多数金属的横向磁阻并不为但实际测量结果表明，大多数金属的横向磁阻并不为0，有

89、时甚至相当大。，有时甚至相当大。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第b.考虑考虑B2不可以忽略的情况下不可以忽略的情况下()()()()()()32434320233599nenenenejDEEBB EB E Bmmm=+? ? ? ? ? ?()()22015 100xxjBE=式中式中()5 101em=为电子的迁移率。根据欧姆定律，磁场作用下的电导率为为电子的迁移率。根据欧姆定律，磁场作用下的电导率为()22220001BB =相应电阻率变化为相应电阻率变化为()225 102B= =即磁电阻率的相对变化与磁感应强度的平方成正比。同式（即磁电阻率的相对变化与磁感应强度的

90、平方成正比。同式（5-91）相比，这里没有比例因子）相比，这里没有比例因子()2291591164B=91164海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.7 金属热导率金属热导率5.7.1 金属的热导率在存在温度梯度T的情况下，金属中将产生热流。 当金属的热导率在存在温度梯度T的情况下，金属中将产生热流。 当T较小时，产生的热流与温度梯度较小时，产生的热流与温度梯度T成正比，即成正比，即()5 103QjT= ? ?其中是材料的热导率，符号表示热流方向与温度梯度方向相反，即热流总是由高温处向低温处流动。其中是材料的热导率，符号表示热流方向与温度梯度方向相反，即热流总是由高温处向低

91、温处流动。电子+电子+电子电子+温差场+温差场高温低温高温低温-绝缘晶体的热传导是通过声子传输实现的。常温下金属电导率远高于绝缘体绝缘晶体的热传导是通过声子传输实现的。常温下金属电导率远高于绝缘体金属中不仅是声子，更主要是电子参与了热传导。热流的主要来源是金属电子的输运过程。金属中不仅是声子，更主要是电子参与了热传导。热流的主要来源是金属电子的输运过程。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第借用气体分子动理论结果，对于金属电子气体，有借用气体分子动理论结果，对于金属电子气体，有()215 1043Vc v=是无外场情况下的驰豫时间，是无外场情况下的驰豫时间，l=v 为平均自由程。

92、同电导率一样，对热导率有贡献的也只是分布在费米面附近的电子。这样式（为平均自由程。同电导率一样，对热导率有贡献的也只是分布在费米面附近的电子。这样式（5-104）中电子的平均速度应取费米速度，而考虑）中电子的平均速度应取费米速度，而考虑()()BF205432VkTCT=得得()2B5 1053k nTm=这是金属电子气准经典下得到的热导率公式。公式中用有效质量代替真实质量，以概括电子与电子、电子与声子之间的相互作用。这是金属电子气准经典下得到的热导率公式。公式中用有效质量代替真实质量，以概括电子与电子、电子与声子之间的相互作用。()()225192?FFkEm=()()5 21?FFkvm=

93、()()522FFBETk=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.7.2 维德曼维德曼-弗兰兹定律弗兰兹定律1853年维德曼（年维德曼（Wiedeman）和弗兰兹（）和弗兰兹（Franz）发现：金属的热导率和电导率的比值与温度成线性关系，即）发现：金属的热导率和电导率的比值与温度成线性关系，即()5 106LT=这一规律称为维德曼这一规律称为维德曼-弗兰兹定律。弗兰兹定律。()2B5 1053k nTm=利用金属电子气体的准经典模型，假设在金属中，电导和热导过程具有相同的驰豫时间，考虑电导热导公式利用金属电子气体的准经典模型，假设在金属中，电导和热导过程具有相同的驰豫时间，考

94、虑电导热导公式()()2578nem =()28212.45 105 1073BkWKTe=1853年，洛伦兹注意年，洛伦兹注意L是一个与金属具体性质无关的常数。是一个与金属具体性质无关的常数。LT洛伦兹常数洛伦兹常数海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第()28212.45 105 1073BkWKTe=1853年洛伦兹注意到（）是一个与金属具体性质无关的常数，故被称为洛伦兹常数，它就是式（年洛伦兹注意到（）是一个与金属具体性质无关的常数，故被称为洛伦兹常数，它就是式（5106）中的比例系数。在早期的经典电子气体模型中，用式）中的比例系数。在早期的经典电子气体模型中，用式(51

95、05）对热导率迸行计算。由于在室温附近，电子比热的计算大了）对热导率迸行计算。由于在室温附近，电子比热的计算大了2个数量级，但是恰好被对的计算小个数量级，但是恰好被对的计算小2个数量级所补偿，因此，得到了与实验结果相近的洛伦兹常数。在温度较高则，金属中热导率和电导率的关系式（个数量级所补偿，因此，得到了与实验结果相近的洛伦兹常数。在温度较高则，金属中热导率和电导率的关系式（5-107）与实验结果一致，这说明金属电子气体的准经典模型是成功的。）与实验结果一致，这说明金属电子气体的准经典模型是成功的。/ T /LT 25海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第在低温下，实验结果显示在低

96、温下，实验结果显示L与温度有关。但这并不说明金属电子论的失败，而是因为在热导和电寻中电子的弛豫过程不同：在电导问题中，电子在与温度有关。但这并不说明金属电子论的失败，而是因为在热导和电寻中电子的弛豫过程不同：在电导问题中，电子在k空间的分布发生整体移动，并在扩散平稳后形成一定的电流而热导问题中，电子在空间的分布发生整体移动，并在扩散平稳后形成一定的电流而热导问题中，电子在K空间的分布仍保持对称分布，只是数量相同而空间的分布仍保持对称分布，只是数量相同而冷冷”“热热”不同的电子相向透动，进而形成热流。因此，两种情况的电子应有不同的弛豫时间，而在导出式（不同的电子相向透动，进而形成热流。因此，两种

97、情况的电子应有不同的弛豫时间，而在导出式（5107）时假设电导和热导过程具有相同的弛豫时间，这是不精确的，从而导致在低温下与实验结果不符。但是在高温下，外电场影响相对较小，可以认为电导和热导过程具有相同的弛豫时间；这就是高温下维德曼一弗兰兹定律与实验一致的原因。）时假设电导和热导过程具有相同的弛豫时间，这是不精确的，从而导致在低温下与实验结果不符。但是在高温下，外电场影响相对较小，可以认为电导和热导过程具有相同的弛豫时间；这就是高温下维德曼一弗兰兹定律与实验一致的原因。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第kfvEq?d)2(23 = =xTqdd = =纯金属的热导率海海南南大

98、大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第温差电场阻止电子由高温区向低温区扩散，最后电子达到稳定分布。温差电场阻止电子由高温区向低温区扩散，最后电子达到稳定分布。电子+电子+电子电子+温差电场+温差电场高温低温高温低温-1.分布函数)()()(10kfffBveTfTEkk=+=+?设温度梯度沿设温度梯度沿x方向，则温差电场沿方向，则温差电场沿x方向。可写成方向。可写成0ddffEfveTfxTvxxx=EfEfkk=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第=EfeTfxTvffxxdd0作为近似取作为近似取EfEfTfTf 00 ，可以证明可以证明EfTETETTTfF+=+=0

99、0)(则则EfxTTETETTevffFxx+=+=00dd)(电流密度电流密度kfevjx?d)2(23 = =2.金属的热导率海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第+=+=+=+=TETETkTkEETfTk/EETk/EETk/EETk/EEFB)()(2BF)()(011ee11ee2BFBF2BFBFTkEfTk/EETk/EEB2)()(011eeBFBF+=+=1e1BF)(0+=+= Tk/EEfEfTETETTTf+=+=0F0)(海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第 +=+=kEfxTTETETTevexx?ddd)()2(20F23xKexT

100、TKTETTKe 122F1dd)(+=+=ESEEfxTTETETTevekxx?+=+= dddd)(40F23,ESEEfvKkx? = = dd410231 ESEEEfvKkx?= dd410232 kfevjx?d)2(23 = =第一项表示温度梯度引起的扩散电流，第二项表示温差电场引起的漂移电流。第一项表示温度梯度引起的扩散电流，第二项表示温差电场引起的漂移电流。26海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第当达到稳定态时，当达到稳定态时，单位时间内正向穿过单位面积的电子数目等于反向穿过单位面积的电子数目单位时间内正向穿过单位面积的电子数目等于反向穿过单位面积的电子数目

101、，即电流密度，即电流密度jx=0（测量金属热导率时，金属通常处于开路状态），于是有=0（测量金属热导率时，金属通常处于开路状态），于是有0dd)(122F1=+=+=xxKexTTKTETTKej 0dd)(12F1=+=+xeKxTTKTETTK 由此可得由此可得xTTKexTTETTKxdddd)(2F1=+=+ 海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第由于高温区与低温区的电子携带的能量不相等，所以尽管这时正向反向穿过单位面积的电子数目相等，但是热能流密度由于高温区与低温区的电子携带的能量不相等，所以尽管这时正向反向穿过单位面积的电子数目相等，但是热能流密度qx不等于零。不等于

102、零。kkfvvmqxx?)d(21)2(223 = =ESEEEfvKkx? = = dd4120233 xTTKxTTETTeKxdd1dd)(3F2+=+= ESEEfxTTETETTevvmkxx?+=+= dddd)(21410F223xTTKKKKqxdd13122=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第将上式与热传导方程比较，得金属的电子热导率将上式与热传导方程比较，得金属的电子热导率xTqxdd =TKKKK13122= xTTKKKKqxdd13122=利用积分利用积分 += += F)()(6)(d)(2202B2F0EEgTkEgEEfEgI可求得可求得K1，

103、K2，K3值，代入上式得值，代入上式得 = =mTnk3F22B将金属的电导率代入上式得将金属的电导率代入上式得 = =mneF2Tek2B23=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第对于各种金属有相同的结果，通常称为对于各种金属有相同的结果，通常称为维德曼-弗兰兹比率。维德曼-弗兰兹比率。 实验表明，导电性较好的金、银和铜，在温度较高时，实验与理论符合较好，因此在温度较高时，金、银和铜的导电电子可以按自由电子模型来处理。实验表明，导电性较好的金、银和铜，在温度较高时，实验与理论符合较好，因此在温度较高时，金、银和铜的导电电子可以按自由电子模型来处理。2B23=ekT为为洛伦兹比

104、。洛伦兹比。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.8 光学性质光学性质5.8.1 等离子体振荡等离子体又叫做电浆，是由部分电子被剥夺后的原子及原子被电离后产生的正负电子组成的离子化气体状物质，它广泛存在于宇宙中，常被视为是除去固、液、气外，物质存在的第四态。等离子体是一种很好的导电体，利用经过巧妙设计的磁场可以捕捉、移动和加速等离子体。等离子体物理的发展为材料、能源、信息、环境空间，空间物理，地球物理等科学的进一步发展提新的技术和工艺。等离子体是由密度相当高、等量均匀分布的正负带电自由粒子组成的气体，整个体系呈电中性。等离子体振荡等离子体又叫做电浆，是由部分电子被剥夺后的原子

105、及原子被电离后产生的正负电子组成的离子化气体状物质，它广泛存在于宇宙中，常被视为是除去固、液、气外，物质存在的第四态。等离子体是一种很好的导电体，利用经过巧妙设计的磁场可以捕捉、移动和加速等离子体。等离子体物理的发展为材料、能源、信息、环境空间，空间物理，地球物理等科学的进一步发展提新的技术和工艺。等离子体是由密度相当高、等量均匀分布的正负带电自由粒子组成的气体，整个体系呈电中性。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第1.屏蔽效应屏蔽效应在金属电子气模型中，具有库伦长程作用的电子之所以可以采用无相互作用的理想气体处理，是因为金属电子所受到的屏蔽效应。由于库伦力作用，电子将排斥临近

106、的其他电子，从而暴露出均匀的正电荷背景。每一个电子在其周围形成一个正电荷的屏蔽层，这种被屏蔽层包围的电子，即带着屏蔽层一起运动的电子可以看做是一种准粒子。准粒子之间的相互作用不再是长程的，而是短程的。屏蔽效应的强弱取决于屏蔽长度在金属电子气模型中，具有库伦长程作用的电子之所以可以采用无相互作用的理想气体处理，是因为金属电子所受到的屏蔽效应。由于库伦力作用，电子将排斥临近的其他电子，从而暴露出均匀的正电荷背景。每一个电子在其周围形成一个正电荷的屏蔽层，这种被屏蔽层包围的电子，即带着屏蔽层一起运动的电子可以看做是一种准粒子。准粒子之间的相互作用不再是长程的，而是短程的。屏蔽效应的强弱取决于屏蔽长度

107、()1233srn=表明电子密度越大，屏蔽效应越强。表明电子密度越大，屏蔽效应越强。27海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第+ + + + + + +金属中的电子气体及其正电荷背景说明，他实际它是一种等离子体。金属中的电子气体及其正电荷背景说明，他实际它是一种等离子体。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第2.等离子体振荡等离子体振荡由于热涨落或外界干扰，金属中电子密度分布会出现对平均分布的偏离。若在某一小区域中电子密度小于平均密度由于热涨落或外界干扰，金属中电子密度分布会出现对平均分布的偏离。若在某一小区域中电子密度小于平均密度,则此区域的正电荷背景处于未被中和

108、状态，从而对邻近的电子产生吸引力以图恢复中和状态。但是，被吸引的电子由于获得电场能量而具有一附加动能，使其能够克服电子之间的排斥力而相互靠近，从而使原来缺少电子的区域又聚集了过多的负电荷。然后，由于电子的排斥力作用使电子再度离开该区域。这种带电粒子往返运动所产生的振荡，称为等离子体振荡。则此区域的正电荷背景处于未被中和状态，从而对邻近的电子产生吸引力以图恢复中和状态。但是，被吸引的电子由于获得电场能量而具有一附加动能，使其能够克服电子之间的排斥力而相互靠近，从而使原来缺少电子的区域又聚集了过多的负电荷。然后，由于电子的排斥力作用使电子再度离开该区域。这种带电粒子往返运动所产生的振荡，称为等离子

109、体振荡。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第3.振荡频率振荡频率+u在外界干扰下，电子气体整体相对于正电荷背景发生在外界干扰下，电子气体整体相对于正电荷背景发生u的位移。的位移。,neuneu= = +上表面下表面体内电场强度体内电场强度0neuE=单位体积内电子气体的运动方程单位体积内电子气体的运动方程222201d unmneEn e udt= = 海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第其中任一电子的运动方程为其中任一电子的运动方程为()222005 108d uneudtm+=?由式（由式（5-108）可以得到电子气振荡的频率）可以得到电子气振荡的频率()2

110、205 109Pnem=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第3.振荡频率振荡频率+ + + + + + + SL电子气体整体相对于正电荷背景平移了电子气体整体相对于正电荷背景平移了u?偶极矩强度偶极矩强度pneSLu= ? ?电极化强度电极化强度qneSLuPneuVSL= ? ?由于电子体系呈电中性，即必须满足电位移为零的条件由于电子体系呈电中性，即必须满足电位移为零的条件00EP+=? ?所以位移电子受到的电场力为所以位移电子受到的电场力为00PneEu= =? ?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第4.等离激元等离激元等离子体振荡的能量是量子化的，其能量为

111、等离子体振荡的能量是量子化的，其能量为P?称为等离激元。同声子类似，等离激元是金属中电子气体的一个集体激发量子。称为等离激元。同声子类似，等离激元是金属中电子气体的一个集体激发量子。29310nm当等离激元等离激元10peV?很难被热激发因为高速电子的能量可以达到约几千个电子伏，它穿过金属薄膜时，可以激发等离子体振荡。很难被热激发因为高速电子的能量可以达到约几千个电子伏，它穿过金属薄膜时，可以激发等离子体振荡。28海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第由于等离子体的振荡能量的量子化，穿过金属薄膜电子的能量损失为整数倍，由此可以测定由于等离子体的振荡能量的量子化，穿过金属薄膜电子的

112、能量损失为整数倍，由此可以测定P?.P?海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.8.2 描述金属光学性质的参量描述金属光学性质的参量在交变电场的空间变化比较缓慢，即波长远大于平均自由程的情况，此时，在金属在交变电场的空间变化比较缓慢，即波长远大于平均自由程的情况，此时，在金属r处的电流密度完全取决于该处的电场强度，即处的电流密度完全取决于该处的电场强度，即()( )()(),5 110j rE r =? ? ?1.复介电系数从麦克斯韦方程组，可以导出自由电子气体中的波动方程复介电系数从麦克斯韦方程组，可以导出自由电子气体中的波动方程()22000205 111EEEtt =?海

113、海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第单色波解：单色波解：()0i k rtEE e =? ? ?()()()()20020000205 111i k rti k rti k rtE eE eE ett =? ? ? ? ? ? ?() ()()() ()0000ikik EiEiiE =? ?得得()222000005 112kii =+=+与不导电介质情况与不导电介质情况2200k =相比金属自由电子气体有复数介电系数相比金属自由电子气体有复数介电系数?()05 113i=+海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第?()()()()()()()20020200220

114、20022221111111pn emiiiineimiineimi =+=+=+=+=+()()()2058311n emii=()2205 109Pnem=?()()20022220011pri +=书书P167说式（说式（5-107）有误）有误海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第?()()22222215 1141ppri = +2.复折射率复折射率电磁波在真空中的传播速度电磁波在真空中的传播速度001c =电磁波在自由电子气体中的传播速度电磁波在自由电子气体中的传播速度vk=金属电子气体的复折射率为金属电子气体的复折射率为?1/20000000111/1ccnivki

115、=+()22005 112ki =+书对应式有误书对应式有误海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第?1/201cni =+?00001rii+=+得得?()25 115crn=书符号有误复折射率可以写成实部与虚部之和，即书符号有误复折射率可以写成实部与虚部之和，即()125 116cnnin=+实部实部n1是我们通常理解的折射率，而虚部是我们通常理解的折射率，而虚部n2是与波在介质中损耗有关的参数，称为消光系数。光学实验中，一般不直接测量折射率的虚部和实部，而是测量反射率和吸收系数。是与波在介质中损耗有关的参数，称为消光系数。光学实验中，一般不直接测量折射率的虚部和实部，而是测量

116、反射率和吸收系数。29海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第3.吸收系数吸收系数波矢的复数形式波矢的复数形式()22005 112ki =+?()()125 117kninc=+假定电磁波沿垂直于金属表面的假定电磁波沿垂直于金属表面的z方向传播，单色波解可以写成方向传播，单色波解可以写成120nniz tzccEE ee=其光强度为其光强度为()22005 118nzzcII eI e=式中，式中，I0是金属表面是金属表面z=0处的光强度；称为吸收系数，当光强衰减为原来的e处的光强度；称为吸收系数，当光强衰减为原来的e-1-1时，电磁波在介质传播的距离为1/ 。时，电磁波在介质传

117、播的距离为1/ 。书有误书有误复折射率虚部对吸收系数的影响为复折射率虚部对吸收系数的影响为()225 119nc=海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第4.反射率反射率对于光从真空（或空气）正入射到金属表面的情形，从界面处电场磁场平行表面分量连续的条件，可得到反射波电场振幅对于光从真空（或空气）正入射到金属表面的情形，从界面处电场磁场平行表面分量连续的条件，可得到反射波电场振幅Er与入射波电场振幅之比与入射波电场振幅之比Ei的比的比()121215 1201riEninkkrEkknin+=+式中，式中，k为透射波波矢，由式（为透射波波矢，由式（5-117）确定；）确定；k为入射

118、波波矢，其折射率为为入射波波矢，其折射率为1。反射率。反射率()()()2212221212 1211nnRr rnn+=+海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.8.3 金属的光学性质金属的光学性质1.低频段低频段()()05831 i=将式（将式（5-83）写成复数形式）写成复数形式?12i=+由于在低频段由于在低频段1,210,则金属中电流与交流电场同相位， 由于电阻的存在。电磁波以焦耳热的形式被吸收。同时可得金属中电流与交流电场同相位， 由于电阻的存在。电磁波以焦耳热的形式被吸收。同时可得n1?()()22222215 1141ppri = +相对价电系数称为实数，即相

119、对价电系数称为实数，即?()2215 114pr= （1）在 ）在 P条件下，条件下，0,rcn ）在 P条件下，条件下，0,rcn折射率 为实数。从而导致吸收系数为零。所以，在这种情况下，金属的光学行为如同透明的电介质一样。从而导致吸收系数为零。所以，在这种情况下，金属的光学行为如同透明的电介质一样。?()2215 114pr= 30海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第5.9 自由电子气体模型的局限性自由电子气体模型的局限性海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第

120、第海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第31海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第自由电子气体模型是有关金属性质的一个最简单模型，对于金属，特别是一些简单金属的许多物理性质给出了相当好的解释。例如自由电子模型可以很好地解释金属作为电和热的良导体原因，可以解释金属遵从欧姆定律；电导率和热导率成线性关系（维德曼弗兰兹定律）。低频段行为；以及金属对可见光的高反射率，等等。日前自由电于气体模型给出的一些公式，仍得到广泛的

121、应用。但是，自由电子模型也在着一些不足。例如，不能解释为什么二价金属（自由电子气体模型是有关金属性质的一个最简单模型，对于金属，特别是一些简单金属的许多物理性质给出了相当好的解释。例如自由电子模型可以很好地解释金属作为电和热的良导体原因，可以解释金属遵从欧姆定律；电导率和热导率成线性关系（维德曼弗兰兹定律）。低频段行为；以及金属对可见光的高反射率，等等。日前自由电于气体模型给出的一些公式，仍得到广泛的应用。但是，自由电子模型也在着一些不足。例如，不能解释为什么二价金属（Be，Zn等）。甚至三价金属（等）。甚至三价金属（ AL、In等）的电子密度大，百电导率却比一价金属差的现象；元法解释金属中。

122、随温度的变化，除非人为地假定弛豫时间依赖于温度；维德曼弗兰兹定律实际上仅在室温利低温（几个开）很好的成立；一些材料的。表现出各向异性，即依赖于样品和电场的相对取向；以及实际金属的常有复杂的结构等）的电子密度大，百电导率却比一价金属差的现象；元法解释金属中。随温度的变化，除非人为地假定弛豫时间依赖于温度；维德曼弗兰兹定律实际上仅在室温利低温（几个开）很好的成立；一些材料的。表现出各向异性，即依赖于样品和电场的相对取向；以及实际金属的常有复杂的结构Cu和和Au具有特有的金属光泽，等等，这些问题无法解释。具有特有的金属光泽，等等，这些问题无法解释。海海南南大大学学海纳百川大道致远海纳百川大道致远第第

123、另外，自由电子模型更元法解答一些基本间题，如为什么有些元素是金属而有些则是半导体？同一种元素，如碳，取石墨结构时是导体，页取金刚石结构时为绝缘体？为什么有些元京的费米面不是球形的？等等。上述存在的问题说明，自由电子气体模型虽然是一个比较好的模型，但是具有局限性。究其原因，主要是模型本身过于简单。在自由电子气体模型的三个假设中，独立电子近似是一个非常好的近似它可以把多电子问题简化为单电子问题。在后面讨论的能带理论基本假设中，通常将其他电子财某一个电子的作用看做平均场，由于这种处理问题的方法与独立电子近似相同，因此独立电子近似与单电子近似往往并不加以严格区别，而对于输运现象，只有涉及具体的散射机制

124、间题时，才翘出了弛豫时间近似。实际另外，自由电子模型更元法解答一些基本间题，如为什么有些元素是金属而有些则是半导体？同一种元素，如碳，取石墨结构时是导体，页取金刚石结构时为绝缘体？为什么有些元京的费米面不是球形的？等等。上述存在的问题说明，自由电子气体模型虽然是一个比较好的模型，但是具有局限性。究其原因，主要是模型本身过于简单。在自由电子气体模型的三个假设中，独立电子近似是一个非常好的近似它可以把多电子问题简化为单电子问题。在后面讨论的能带理论基本假设中，通常将其他电子财某一个电子的作用看做平均场，由于这种处理问题的方法与独立电子近似相同，因此独立电子近似与单电子近似往往并不加以严格区别，而对于输运现象，只有涉及具体的散射机制间题时，才翘出了弛豫时间近似。实际L，应该修政的是第一个假设，即自由电子近似。因为，如果考虑离子实系统对电子的作用，就可以使我们对金属及其整个回体性质的了解前进一大步。，应该修政的是第一个假设，即自由电子近似。因为，如果考虑离子实系统对电子的作用，就可以使我们对金属及其整个回体性质的了解前进一大步。