数学部分-第十三章 (二)推理与证明

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1、主页主页推理推理与证明合情推理证明演绎推理类比推理归纳推理三段论数学归纳法分析法反证法综合法 直接证明间接证明由因导果猜想大前提、小前提、结论验初值、证递推、结论反设、归谬、定论执果索因主页主页1.了解合情推理的含义义，能利用归纳归纳 和类类比等进进行简单简单 的推理，了解合情推理在数学发现发现 中的作用 2.了解演绎绎推理的重要性，掌握演绎绎推理的基本模式，并 能运用它们进们进 行一些简单简单 推理 3.了解合情推理和演绎绎推理之间间的联联系和差异一、合情推理与演绎推理二、直接证明与间接证明三、数学归纳法1.了解直接证证明的两种基本方法：分析法和综综合法；了解 分析法和综综合法的思考过过程、

2、特点 2.了解间间接证证明的一种基本方法反证证法；了解反证证法 的思考过过程、特点了解数学归纳归纳 法的原理，能用数学归纳归纳 法证证明一些 简单简单 的数学命题题.主页推理与证明是新课标增加的内容，旨在培养学 生的观察、猜测和创新的能力,自2007 年新课改第一 次高考以来,推理与证明一直是高考关注的对象,归纳 推理和类比推理的题目时常出现,且类比推理的题目 占多数,考查形式为填空题.主要以三种方式出现:1.以填空题形式考查合情推理(归纳与类比)2.以选择题形式考查信息给予题3.与数列等大题相结合，考查推理证明能力,难度 不大，但相当有新意，而且常考常新,能达到考查能 力的目的，应该引起我们

3、的重视.4.从近几年的考题分析，可以发现，使用分析法 、综合法证明的题目稍多一些，虽然反证法证题体现 的较少，但反证法是数学证明的重要方法主页从具体问 题出发观察、分析、 比较、联想归纳、类比提出猜想归纳推理类比推理1.合情推理主要包括_和_.合情推理的过程(1)归纳推理：由某类事物的_具有某些特 征,推出该类事物的_都具有这些特征的推理 ,或者由_概括出_的推理, 称为归 纳推理(简称归纳).简言之,归纳推理是由_到_、 由个别到_的推理. 归纳推理的基本模式:_,部分对象 全部对象 个别事实一般结论 部分整体 一般结论:_.dM，d也具有某属性a, b, cM且a, b,c具有某属性主页两

4、类对象 一类对象另一类对象特殊到特殊(2)类比推理：由_具有某些类似特征和其 中_的某些已知特征，推出_也具有 这些特征的推理称为类比推理(简称类比),简言之，类 比推理是由_的推理.(a, b, c, d与a, b, c, d相似或相同)类比推理的基本模式:A:具有属性a, b, c, d； B:_;具有属性a, b, c 结论:B具有属性d.主页从_的原理出发,推出某个_的结论, 我们把这种推理称为演绎推理. 简言之，演绎推理是由 _到_的推理.一般性一般特殊特殊情况下2.演绎推理：(1)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括： 大前提已知的一般原理； 小前提所研究的特殊情况； 结论根据一般

5、原理,对特殊情况做出的判断. (2)“三段论”可以表示为 大前提：M是P； 小前提：S是M； 结论：S是P. (3)数学问题的证明主要通过演绎推理来进行.主页3.直接证明(1)综合法定义：利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的_，最后推导出所要证明的结论_，这种证明方法叫做综合法.框图表示: (其中P表示已知条件、已有的定义、公理、定理等，Q表示要证明的结论).推理论证成立主页3.直接证明(2)分析法定义：从_出发，逐步寻求使它 成立的_，直至最后，把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义 、公理等)为止这种证明方法叫做分析法框图表示:要证明的结论充分

6、条件得到一个明显成立的条件主页内容综综合法分析法定义义利用已知条件和某些数学定义义 、公理、定理等，经过经过 一系列的 _ ,最后推导导出所要证证 明的结论结论 _.从要_出发发,逐 步寻寻求使它成立_, 直至最后，把要证证明的结论归结论归 结为结为 判定一个明显显成立的条件实质实质由因导导果执执果索因框图图 表示文字 语语言因为为所以 或由得要证证只需证证 即证证推理论证 成立证明的结论 充分条件主页4. 间接证明(1)反证法：假设原命题_, 经过正确的 推理,最后得出_,因此说明假设错误,从而证明 了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法不成立 矛盾(2)适宜使用反证法的情况: 结论以否定形

7、式出现；结论以 “至多,” ,“至少” 形式出现；唯一性、存在性问题;结论的反面比原结论更具体更容易研究的命题.用反证法在归谬中所导出的矛盾可以是与题设矛 盾,与假设矛盾,与已知定义、公理、定理矛盾，自 相矛盾等.反证法证题步骤:反设归谬存真.主页(1)归纳法由一系列有限的特殊事例得出_的 推理方法叫归纳法.根据推理过程中考查的对 象是涉及事物的全体或部分可分为_归 纳法和_归纳法.一般结论完全 不完全5数学归纳法(2)数学归纳法对某些与正整数有关的数学命题常采用下面的方法来证明 它们的正确性：先证明当n取第1个值n0时,命题成立；然后假 设当nk(kN*，kn0)时，命题成立；证明当nk1时

8、，命 题也成立，这种证明方法叫做_.数学归纳法主页(3) 用数学归纳法证明一个与正整数n有关的命题 时,其步骤为： _：证明当n取第一个值n0(n0N*) 时命题成立； _：假设nk (kN*, kn0)时命题 成立，证明当nk1时命题成立归纳结论:由得出结论归纳奠基归纳递推主页先归纳归纳 推理(依据特殊情形)猜想出一般结论结论 ,再用 数学归纳归纳 法证证明猜想结论结论 的正确性.一般地,数学研究 与发现发现 往往包括两个要素-发现结论发现结论 与证证明结论结论 (两 者通常交织织在一起),发现结论发现结论 往往通过过合情推理,结论结论 的正确性需要通过逻辑证过逻辑证 明来确认认. “归纳猜

9、想证明” 问题的证法数学归纳法的应用：对于由归纳法得到的某些与自然数有关的数 学 命 题, 我们常采用数学归纳法来证明它们的正确性: 1)恒等式 2)整除性 3)不等式计算、猜想、证明 4)不等式 5)几何方面 6)三角方面主页主页【例1】(2010山东)观察(x2)2x，(x4)4x3，(cos x)sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(x)( )Af(x) Bf(x) Cg(x) Dg(x)解: 由所给给函数及其导导数知,偶函数的导导函数为为奇函数.因此当f(x)是偶函数时时，其导导函数应为应为 奇函数，故g(x)g

10、(x)D题型一归纳推理【题后拓展】归纳推理的一般步骤是：(1)通过观察个别事物 发现某些相同的性质；(2)从已知的相同性质中推出一个明确 表述的一般性命题一般情况下，归纳的个别事物越多，越具 有代表性，推广的一般性结论也就越可靠主页【思维点拨】归纳总结时，看等号左边式子的变化规律，右 边结果的特点，根据以上规律写出第五个等式，注意行数、 项数及其变化规律是解答本题的关键主页【2】(2012江西) 观察下列各式：ab1, a2 b23，a3b34，a4b47，a5b511, ，则 a10b10( )A28 B76 C123 D199等式右面的数构成一个数列 1, 3, 4, 7, 11, , 即

11、 anan1an2 , a6b611718， a7b7181129， a8b8291847， a9b9472976， a10b107647123，故选C.C主页【3】（2009湖北）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成 各种形状来研究数，例如：他们研究过图1中的1，3，6，10，由于这些数能 够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地,称图2中的1 ，4，9，16这样的数成为正方形数.下列数中既是三角形 数又是正方形数的是( )A.289 B.1024 C.1225 D.1378C三角形数构成的数列通项 正方形数构成的数列通项 bn=n2.主页【4】考察下列一组不等式：23+53225+252,24+

12、54235+253,25+552352+2253,.将上述不等式在左右两端仍为两项和的情况下 加 以推广,使以上的不等式成为推广不等式的特例,则推广 的不等式可以是_.主页主页所以命题成立主页A A.M(45,14) B.M(45,24) C.M(46,14) D.M(46,15)【7】把偶数数列2n的各项从小到大依次排成如 图所示的三角形数表,记M(r, t) 表示该表中第r行的第t 个数,则表中的数2008对应于( )由1+2+3+n=1004，得因为4445=1980, 4546=2070.所以2008为第45行的数,又1004990=14.即2008为第14个数.主页【8】(2010浙

13、江)设n2，nN，(2x )n(3x )na0a1xa2x2anxn，将|ak|(0kn)的最小值记为Tn，则T20，T3 ，T40，T5 , Tn，其中Tn主页题型二类比推理1类比可以是形式上的类比，用于发现新的结论；也可 以是方法上的类比，用于寻找求解途径2常见的类比有平面空间；等差数列等比数列；实 数复数；向量数量积实数积等类比是一种合情推理， 结论不一定为真，需验证或证明3类比推理能有效地考查考生分析问题和解决问题的能 力，是高考中常考题型因此，在平时学习中要加强训练 主页【1】(2009浙江)设等差数列an的前n项和为Sn ,则 S4, S8S4, S12S8, S16S12成等差数

14、列.类比以上结论, 有：设等比数列bn的前n项积为Tn, 则此题是一个数列与类比推理结合的问题,既考查 了数列中等差数列和等比数列的知识,也考查了通过 已知条件进行类比推理的方法和能力.成等比数列.主页主页f(x)=sin x在区间(0,)上是凸 函数,且A, B, C(0,) ,主页题型主页主页【7】主页B主页主页C主页C 主页A 主页C主页合情推理包括归纳推理与类比推理： 归纳推 理是由特殊到一般，类比推理是由特殊到特殊. 证明包括直接证明和间接证明： 直接证明主 要有综合法、分析法等；间接证明主要是反证法.数学归纳法是一种完全归纳的证明方法,它适 用于与正整数有关的数学命题的证明.本节要注重三维空间与二维平面的类比(如三角形 与三棱锥、四边形与四棱柱、长度与面积、表面积与 体积等)、代数运算与向量的类比、等差数列与等比 数列的类比、椭圆与双曲线的类比等学好这一节, 不仅可以培养学生运用合情推理去猜测和发现一些新 的