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1、相似三角形的性质出入相补原理与测量一周强化相似三角形的性质出入相补原理与测量一周强化一、一周知识概述一、一周知识概述(一)相似三角形的性质1、相似三角形的性质(1)：相似三角形的对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比其符号语言：如图ABCABC，ADBC，ADBC，ABCABC，BF=CF，BF=CF，ABCABC，BAE=CAE，BAE=CAE，温馨提示：三角形的高、中线、角平分线是三角形的重要线段，在涉及以上线段的证明或计算时，要注意运用相似三角形的性质定理(1)2、相似三角形的性质(2)：相似三角形的周长的比等于相似比如图，其符号语言：温馨提示：性质定理(1)与(2)可简
2、记为：相似三角形中一切对应线段及周长之比都等于相似比3、相似三角形的性质(3)：相似三角形的面积的比等于相似比的平方(二)出入相补原理与测量如：如图，P 是矩形 ABCD 的对角线 BD 上任意一点，过点 P 分别作两组对边的平行线 RR1、QQ1，则有由于面积割补相当于面积的增减，“出”意味着减少，“入”意味着增加所以上面的方法称为相补原理二、重点难点疑点突破二、重点难点疑点突破相似三角形的面积与相似比问题相似三角形的面积与相似比问题如图，ABCABC，且相似比为 k，AD、AD分别是对应高ABCABC，由此得出相似三角形面积的比等于相似比的平方学习时要注意：相似三角形面积的比等于相似比的平
3、方，即这一结果在解决有关相似三角形面积问题时，可以直接应用；“等高的三角形面积比等于底的比”、“等底的三角形面积比等于高的比”，这一结论不要与“相似三角形面积的比等于相似比的平方”混淆；利用相似三角形的性质解题时，应首先想到由相似三角形的定义得到的基本性质；对应角相等，对应边成比例；要注意综合运用相似三角形的判定与性质等进行解题三、解题方法技巧点拨三、解题方法技巧点拨1、相似三角形的对应线段与相似比例例 1、如图所示，D 是 BC 上一点，ABCDBA，E，F 分别是 AC，AD 的中点，且 AB=28，BC=36，求 BE:BF解析：BE，BF 分别是ABC，ABD 中 AC，AD 边上的中
4、线，而 AC，AD 又恰是相似三角形 ABC 和三角形 DBA 的一组对应边，因而考虑利用相似三角形对应中线的比等于相似比来解答因为ABCDBA，且 BC=36，AB=28，所以相似比又因为 BE，BF 分别是ABC，ABD 中 AC，AD 边上的中线，点拨点拨：利用相似三角形对应线段的比等于相似比的性质解决问题时，注意把相似三角形的对应元素确定准确例例 2、如图，一人拿着一支刻有厘米分划的小尺，他站在距电线杆约 30 米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上约有 12 个分划恰好遮住电线杆，已知臂长约60cm，求电线杆的高分析：在图上标出字母，题设中“30 米”是点 A 到电线杆 BC
5、的距离；臂长AN=60cm=0.6m，是点 A 到竖直小尺 DE 的距离，故可用相似三角形的性质(1)列方程解之解：作 AMBC 于 M，交 DE 于 N设电线杆高 BC=x 米，DEBC，ADEABC，解得 x=6(米)答：电线杆的高约 6 米点拨点拨：本题根据相似三角形的性质定理(1)相似三角形对应高的比等于相似比，得出比例式，列出方程求解2、相似三角形的周长与相似比例例 3、如果两个相似三角形的对应边的比为 4:5，它们的周长和为 72cm，求这两个三角形的周长分析：利用相似三角形的性质定理(2)设周长较小的三角形周长为 x cm，则周长较大的三角形周长为(72x)cm由解得 x=32，
6、72x=40，即两个三角形的周长分别是 32cm、40cm点拨点拨：根据相似三角形的性质得到比例式(等量关系)，列出方程或方程组求解的方法，是解决几何计算问题的常用方法，本题也可设这两个三角形的周长为 4x cm、5x cm，列方程求解3、相似三角形的面积与相似比例例 4、如图，ABC 中，DEBC，BE 和 CD 相交于点 F，且 SEFC=3SEFD求 SADE:SABC分析：图中 DEBC，构成“A 型”与“X 型”两种“平行线型”相似三角形求 SADE:SABC，只要求出 DE:BC 即可点拨点拨：本题综合运用了“等高的三角形面积比等于底之比”，三角形一边平行线的性质、预备定理及相似三
7、角形的性质定理(3)等定理例例 5、已知如图，在梯形 ABCD 中，AB=5，CD=2，对角线 AC、BD 交于点 O，求COD、AOD、AOB 与BOC 的面积比解析：COD 与AOB 是相似三角形，可利用面积比等于相似比的平方而AOD 与COD 是等高不同底的三角形，其面积比等于它们底的比解：CDABAOBCODSCOD:SAOB=CD2:AB2=4:25又CO:OA=CD:AB=2:5SCOD:SAOD=2:5=4:10DO:OB=CD:AB=2:5SCOD:SBOC=2:5=4:10SCOD:SAOD:SAOB:SBOC=4:10:25:10点拨点拨：注意：(1)不是相似三角形的面积比
8、不能乱用相似比的平方(2)将 SCOD:SAOD的比 2:5 化为 4:10，目的是与前面的比统一4、出入相补原理问题例例 6、为了测量操场中的旗杆有多高，用一根标杆 PQ 试插在适当的地方，使点 Q 在AD 上，且使标杆 PQ 的顶端 P 的影子恰好和旗杆顶端 B 的影子 D 相重合设标杆PQ=2 米，旗杆的影长 AD=a 米，PQ 的影长 DQ=b 米，求旗杆 AB 的长分析：如果把旗杆 AB 和它的影子 AD 当作一个矩形的两边，那么光线 BD 就是矩形的一条对角线，于是已满足使用出入相补原理的条件解法一：如图，作辅助矩形 ABCD，过点 P 分别作矩形两边的平行线，设旗杆 AB=x，据
9、出入相补原理，有5、相似三角形性质的综合应用例例 7、(2006 年浙江省)如示意图，小华家(点 A 处)和公路(l)之间竖立着一块 35m 长且平行于公路的巨型广告牌(DE)广告牌挡住了小华的视线，请在图中画出视点 A 的盲区，并将盲区内的那段公路记为 BC一辆以 60km/h 匀速行驶的汽车经过公路 BC 段的时间是 3s，已知广告牌和公路的距离是 40m，求小华家到公路的距离(精确到 1m)分析：本题是一道与相似三角形有关的实际问题首先根据已知条件画出图形，作出 A到公路 L 的距离 AF，由已知得 DEBC，进而得到ADEABC，易求 BC 的长，再根据相似三角形的对应高的比等于相似比
10、，可求出小华家到公路的距离 AF解：画射线 AD，AE，分别交 l 于点 B，C过点 A 作 AFBC，垂足为点 F，AF 交 DE 于点 HDEBC，ADE=ABC，DAE=BACADEABC根据相似三角形对应高的比等于相似比的性质，可得由题意，得 DE=35，HF=40，解法 1：设 AF=x，则 AG=x40，所以例例 8、如图，矩形 PQMN 的顶点 P、N 分别在 AB、AC 上，QM 在 BC 边上若BC=a，高 AD=h，且 PN=2PQ，求矩形 PQMN 的周长分析：求矩形 PQMN 的周长，只要求出 PQ 即可，这由相似三角形性质定理(1)易求解：设 PQ=x，则 PN=2x
11、，设高 AD 与 PN 相交于点 E，PNBC，APNABC点拨点拨：本题是教材例题的变形在用相似三角形的性质解答时，一定要先由题设证明两个三角形相似在解由比例式得出的含有字母系数的方程时，要认真、细心例例 9、如图所示，在梯形 ABCD 中，ABCD，CE 是BCD 的平分线，CEAD，DE=2AE，CE 将梯形分成面积为 S1和 S2两部分，若 S1=1，求 S2解析：利用“角平垂，等腰归”的思想，将图形补全为一等腰三角形又由 ABCD，想到补出的小三角形与等腰三角形相似，故可利用相似三角形面积的比等于相似比的平方来解延长 CB，DA 相交于 F，设ABF 的面积为 S3由1=2，且 CEAD，得FCD 是等腰三角形，且 DE=EF，又由 DE=2AE，得 AE=AF由 ABDC，得ABFDCF，得点评点评：根据题目和图形的特征恰当地对图形进行割补，构造两个相似三角形是解决此类问题的关键
