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1、直线的倾斜角与斜率直线的倾斜角与斜率多媒体教学设计方案多媒体教学设计方案学校：福建省晋江养正中学 姓名：姚培基 日期：2005 年 9 月 8 日 “直线的倾斜角和斜率直线的倾斜角和斜率”说课稿说课稿我说的课是高中第二册（上）第七章直线和圆的方程第一大节直线的倾斜角和斜率的 第一节课。 一、关于教学目标的确定 1、 教材的地位及作用 直线和圆的方程属于解析几何学的基础知识，直线的方程是研究两条直线位置关系的 基础，同时也是讨论圆的方程及其它圆锥曲线方程的基础。为进一步研究直线，建立了直 线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念。而作为直线方程的一个简单应用，介绍了简 单的线性规划问题。故本节课是
2、学好这一章内容的关键。 2、 教学目的的认识 据此并结合学生的认知基础，我认为本节课的教学目标应使学生 （1）了解“直线的方程”和“方程的直线”的概念； （2）理解直线的倾斜角和斜率的定义；掌握斜率公式，并会求直线的倾斜角和斜率. （3）通过直线倾斜角概念的引入和直线倾斜角与斜率关系的揭示，以提高学生分析、 比较、概括、化归的数学能力,使学生初步了解用代数方程研究几何问题的思路，培养学生 综合运用知识解决问题的能力。 （4）帮助学生进一步了解分类思想、数形结合思想，在教学中充分揭示“数”与“形” 的内在联系，体现数、形的统一美，激发学生学习数学的兴趣，对学生进行对立统一的辩 证唯物主义观点的教
3、育，培养学生勇于探索、勇于创新的精神。 二、重点、难点分析1、本节的重点是直线的倾斜角和斜率概念，及斜率公式直线的斜率是后继内容展开 的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲 线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率 公式是学好这一章的关键。2、本节的难点是对“直线的方程”和“方程的直线”的概念以及对斜率概念的理 解学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的 斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切这两个问题却并不容易接受。三、教法、学法指导1、本节课的教学任务有三大项：倾斜角的概念、斜率的概
4、念和斜率公式学生思维也 对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立。 相应的教学过程也有三个阶段：在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定 义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念。 本节的难点是对斜率概念的理解与过两点的直线的斜率公式的建立.学生认为倾斜角 就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样学生 还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗？再有，为什么要用倾斜角的正切定 义斜率？要解决这些问题，可引导学生联想工程问题中的“坡度”问题，以及三角函数的 定义。 在进行过两点的斜率公式推
5、导的教学中要注意公式的适用范围。在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出概念具两面性（满足纯粹性与完备性） ，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系。为将来学习 曲线方程做好准备。2、本节内容在教学中宜采用启发式，设计为启发、引导、探究、归纳总结的教学模式。 学生在积极思维的基础上，进行充分的讨论、争辩、交流、小结倾斜角如何定义、为什 么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式的建立，这三项教学任务都是在讨论、交流、归纳 中完成的在此过程中学生的思维和能力得到充分的发展。教师的任务是创设问题情境， 引发争论，组织交流，归纳总结。 四、关于教学程序的设计 （一）知识导入阶段
6、多媒体展示 ssbezier 变形曲线（培养学生的兴趣，让学生了解坐标法对数学发展起了 巨大作用，及坐标法在计算机技术中所具有的关键作用。 ） （二）知识探索阶段 （创设问题情景，展现概念形成过程） 1、直线的方程与方程的直线的定义 【问题 1】有了“一次函数的图象” ，为什么还要讲“方程的直线”？ 一次函数的图象是一条直线，它能表示平面上的所有的直线？不能，因为一次函数的 图象，与坐标平面上的直线的对应，是一种不完美的对应。坐标平面上，有些直线不能用 一次函数表示。 （如 x=2）那么该怎样修补？ （方程的解坐标直线的点，直线方程） 2、直线倾斜角定义 【问题 2】如何确定一条直线？ 两点确
7、定一条直线还有其他方法吗？或者说如果只给出一点，要确定这条直线还 应增加什么条件？学生：思考、回忆，回答：这条直线的方向，或者说倾斜程度。 【问题 3】在坐标系中的一条直线，我们用怎样的角来刻画直线的方向呢？ 讨论之前我们可以设想这个角应该是怎样的呢？它不仅能解决我们的问题，同时还应 该是简单的、自然的。学生：展开讨论学生讨论过程中会有错误和不严谨之处，教师注意引导。通过讨论认为：应选择 角来刻画直线的方向根据三角函数的知识，表明一个方向 可以有无穷多个角，这里只需一个角即可（开始时可能有学生认为有四个角或两个角）， 当然用最小的正角从而得到直线倾斜角的概念。 【板书】定义：在平面直角坐标系中
8、，对于一条与 x 轴相交的直线，如果把 x 轴绕着交点按逆时针方向旋转到和直线重合时所转的最小正角记为，那么就叫做直线 的倾l 斜角。特别地，当 与 x 轴平行或重合时，规定倾斜角为 0。l由此定义，角的范围如何？ 0180或 0 （教师强调三点：（1） 轴的正方向，（2）最小正角，（3）分类思想） 3、 直线斜率的定义【问题 4】为什么要用倾斜角的正切定义斜率？而不用正弦、余弦或余切哪? 可联想到工程问题中的“坡度”，及三角函数的定义。 【板书】定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。记作 ，即 。tank；时，直线的斜率不存在当倾斜角 90）。，（）时，（当）时，
9、当018090;, 0)90,0kk强调定义域与值域的对应关系，及函数的单调性。tank 4、 直线过两点斜率公式的推导【问题 5】如果给定直线的倾斜角，我们当然可以根据斜率的定义 90tan 求出直线的斜率；如果给定直线上两点坐标，直线是确定的，倾斜角也是确定的，那么又怎么求出直线的斜率呢？ 即已知两点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，求直线P1P2的斜率。 思路分析：首先由学生提出思路，教师启发、引导， 运用正切定义，解决问题。 (1)正切函数定义是什么？（终边上任一点的纵坐标比横坐标） (2)角 是“标准位置”吗？（不是）(3)如何把角 放在“标准位置”？（平移向量，使P1与原点重
10、合，得到新向21pp量）(4)P 的坐标是多少？（x2-x1，y2-y1） op(5)直线的斜率是多少？； x1= x2？)(tan21 1212xxxxyyk(6)如果P1 和P2的顺序不同，结果还一样吗？（一样）还有没有其它推导方法？评价：注意公式中x1x2，即直线P1 P2不垂直x轴因此当直线P1P2不垂直x轴时，由已知直线上任意两点的坐标可以求得斜率，而不需要求出倾斜角。（三）知识应用阶段 例 1 是道斜率与倾斜角概念的辨析题，而例 2 已知直线的倾斜角求斜率，设计两道变式题，培养学生的发散思维能力，讨论因倾斜角的变化，对斜率的影响，加深同学对斜率与倾斜角对应关系的理解。例 3 是斜率
11、公式的应用突出本堂课的重点。例 1：关于直线的倾斜角和斜率，下列哪些说法是正确的： （1）任一条直线都有倾斜角，也都有斜率 （ ）； （2）直线的倾斜角越大，它的斜率就越大； （ ） （3）平行于 x 轴的直线的倾斜角是； （ ） 1800 或（4）两直线的倾斜角相等，它们的斜率也相等.（ ） （5）直线斜率的范围是(，). （ ） 辨析：上述说法中，（5）正确，其余均错误，原因是：（1）与 x 轴垂直的直线倾斜角为，但斜率不存在；（2）.举反例说明，12030，90120tan3（3）平行 x 轴的直线的倾斜角为；（4）.如果两直线的倾斜角都是3330tan090，斜率不存在 也就谈不上相等
12、。 说明：当直线和 x 轴平行或重合时，我们规定直线的倾斜角为 0；直线倾斜角的取值范围是；倾斜角是 90的直线没有斜率.。坐标平面内，每一条直线都有)180,0唯一的倾斜角，但不是每一条直线都有斜率。 例 2： 如图，直线的倾斜角30，直线，求、的斜率。 1l11l2l1l2l分析：对于直线的斜率，可通过计算直接获得，而直线的斜率则需要先求出倾1l030tan2l斜角，而根据平面几何知识， ，20 1290然后再求即可。2tan解：的斜率tantan30，1l1k133的倾斜角9030120，2l2l2l112xOy的斜率tan120tan（18060） 2l2ktan60。3评述：此题要求
13、学生掌握已知直线的倾斜角求斜率，其中涉及到三角函数的诱导公式 及特殊角正切值的确定。【变式 1】直线的倾斜角150，直线，求的斜率。1l11l2l2l【变式 2】已知直线的倾斜角，直线，求的斜率及倾斜角。1l11l2l2l的斜率；），求直线）（，（）和，（经过两点：已知直线例lRmmPPl212321解；的倾斜角并求出l：（1）当 m=2 时，直线 垂直于 x 轴，因此直线的斜率不存在； 221 xxl倾斜角；2（2）当 m2 时，直线,21 mkl的斜率当；时，21arctan, 02mkmff当；时，21arctan, 02mkmpp（四）小结本节须掌握三个概念：直线方程、倾斜角和斜率；两个关系：直线的方程与方程的直线、斜率与倾斜角；两个问题：求倾斜角问题，求斜率问题。（五）知识延伸拓展阶段三道思考题，在于拓宽学生的视野，斜率是联结数与形的纽带，借助斜率可以解许多类型的问题。 思考 1： ）三点共线；，（），（），（求证307211CBA证 1：； 2ACABkk证 2：； ACAB3证 3：； CBACAB证 4：设。，求出所成的比为分3), 0(00 yABCyC法 1 在同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这就是利用斜率可证三点共线的原因。 思考 2：已知两点M(2，3)、N(3，2)，
