正弦定理和余弦定理教案

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1、1正弦定理和余弦定理教案正弦定理和余弦定理教案第一课时第一课时 正弦定理正弦定理( (一一) ) 课题引入课题引入如图 11-1，固定ABC 的边 CB 及B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A思考：C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？显然，边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B(图 1.1-1)(二二) 探索新知探索新知在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图 1.1-2，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有

2、，又, si naAcsi nbBcsi n1cCc A则 b csi nsi nsi nabccABC从而在直角三角形 ABC 中， C a Bsi nsi nsi nabc ABC(图 1.1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（让学生进行讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图 1.1-3，当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函数的定义，有 CD=,则， C si nsi naBbAsi nsi nab AB同理可得， b asi nsi ncb CB从而 A D Bsi nsi nab ABsi nc C(图 1.1-

3、3)让学生思考：是否可以用其它方法证明这一等式？证明二：（等积法）在任意斜ABC 当中SABC=AbcBacCabsin21sin21sin21两边同除以即得：=abc21 Aa sinBb sinCc sin证明三：（外接圆法）如图所示，a bcOBCAD2 (R 为外接圆的半径)RCDDa Aa2sinsin同理 =2R，2RBb sinCc sin由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。证明四：（向量法） 过 A 作单位向量垂直于jAC由 + = AC CB AB两边同乘以单位向量 得 (+)=jjAC CB jAB则+=jAC jCB jAB|cos90+|cos(90C)

4、=| |cos(90A)jAC jCB jAB =AcCasinsinAa sinCc sin同理，若过 C 作垂直于得： = =jCBCc sinBb sinAa sinBb sinCc sin从而 si nsi nab ABsi nc C类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。 （让学生课后自己推导）从上面的研究过程，可得以下定理正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即si nsi nab ABsi nc C(三三) 理解定理理解定理(1) 正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数 k 使，；si na

5、kAsi nbkBsi nckC(2）等价于，si nsi nab ABsi nc Csi nsi nab ABsi nsi ncb CBsi na Asi nc C 从而知正弦定理的基本作用为：已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如；si n si nbAaB已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如。si nsi naABb一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形。3(四四) 例题剖析例题剖析例 1在中，已知，cm，解三角形。(课本ABC032.0A081.8B42.9ap3，例 1)解：根据三角形内角和定理，0180()CA B00

6、0180(32.081.8 )；066.2根据正弦定理，；00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA例 2在中，已知cm，cm，解三角形（角度精确ABC20a28b040A到，边长精确到 1cm） 。(课本 p4，例 4)01解：根据正弦定理，0sin28sin40sin0.8999.20bABa 因为，所以，或00B0180064B0116 .B(1) 当时，064B，00000180() 180(4064 ) 76CA B00sin20sin7630().sinsi

7、n40aCccmA(2) 当时，0116B，00000180() 180(40116 ) 24CA B00sin20sin2413().sinsin40aCccmA评述：例 1，例 2 都使用正弦定理来解三角形，在解三角形过程中都使用三角形内角和定理，可见，三角形内角和定理在解三角形中的重要应用。应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。( (五五) ) 课堂练习课堂练习第 5 页练习第 1(1)、2(1)题。(六六) 课时小结课时小结(让学生归纳总结让学生归纳总结)(1) 定理的表示形式：4；si nsi nab ABsi nc C0si nsi nsi nabck kAB

8、C 或，si nakAsi nbkBsi nckC(0)k(2) 正弦定理的应用范围：已知两角和任一边，求其它两边及一角；已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。第二课时第二课时 余弦定理余弦定理( (一一) ) 课题引入课题引入如图 1.1-4，在ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, C已知 a,b 和C，求边 c。 b a A c B (图 1.1-4)(二二) 探索新知探索新知联系已经学过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 如图 11-5，设，那么 c=a-bc

9、=a-b， CBa CAb ABc =cc=(a-b) (a-b) A2| |c=a a + b b -2a-2ab b c从而 C a B 2222coscababC同理可证 (图 11-5)2222cosabcbcA2222cosbacacB于是得到以下定理余弦定理余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍。即 2222cosabcbcA2222cosbacacB2222coscababC让学生思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由三边求出一角？（由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论：5222

10、cos2bcaAbc222 cos2acbBac222 cos2bacCba (三三) 理解定理理解定理从而知余弦定理及其推论的基本作用为：已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边；已知三角形的三条边就可以求出其它角。让学生思考：勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系，余弦定理则指出了一般三角形中三边平方之间的关系，如何看这两个定理之间的关系？（由学生总结）若ABC 中，C=，则，这时090cos0C222cab由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。(四四) 例题剖析例题剖析例 1 在ABC 中，已知 B=60 cm，C=34 cm，A=41，解三角形(角度

11、精确到 1，边长精确到 1 cm） 。(课本 P7 例 3)解：根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=602+342-26034cos413 600+1 156-4 0800.754 71 676.82，所以，a41 cm.由正弦定理得sinC=0.544 0.4141sin34sinaAc 41656. 034因为 C 不是三角形中最大的边，所以 C 是锐角.利用算器可得C33,B=180-(A+C)=180-(41+33)=106.例 2 在ABC 中，已知，解三角形。134.6acm87.8bcm161.7ccm解：由余弦定理的推论得：cos2222bcaAbc22287.81

12、61.7134.6 2 87.8 161.70.5543,6；056 20Acos2222cabBca222134.6161.787.8 2 134.6 161.70.8398,；032 53B0000180() 180(56 2032 53)CA B=.090 47评述：例 1 和例 2 是对余弦定理及其推论的运用，加深对定理及其推论的理解和运用。在利用余弦定理解三角形时，也要注意判断有两解的情况。( (五五) ) 课堂练习课堂练习第 8 页练习第 1(1)、2(1)题。 补充练习补充练习 在ABC 中，若，求角 A（答案：A=120 ）222abcbc0(六六) 课时小结课时小结(让学生归纳总结让学生归纳总结)(1) 余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；(2) 余弦定理的应用范围： 已知三边求三角； 已知两边及它们的夹角，求第三边。