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1、2.2. 菲涅耳衍射菲涅耳衍射1、波长为 556nm 的单色平面波经过半径分别为2.5mm，5nm 的小12孔极点到观察点的距离为 60cm试分别汁算波面包含的菲涅耳半波带数解：根据菲涅耳圆孔衍射，合振幅的大小取决于波面上露出带的数目 k，其数值由下式确定，即：)11(02rRk+=由于 入 射 的 是 平 面 波 ， 故 R ，将 2.5mm ， 5nm ，12，代入上式，得：cm1056. 55=cm60r0759 .74601056. 55 . 0197 .18601056. 525. 0822821=kk2、波长563.3nm 的平行光投射在直径 d2.6mm 的圆孔。与圆孔相距1m
2、处放一屏幕试问：0r(1)屏幕上正对圆孔中心的 P 点是亮还是暗点 7(2)使 P 点变成与(1)相反的情况， 至少应把屏幕向前(或向后)移动多少距离?解：(1)P 点的亮暗取决于圆孔中包含的波带数是奇数还是偶数当平行光入射时，波带数为：310)103 .563() 3 . 1 ()2/(3620202 ）（=rd rk故 P 点为亮点(2)当 P 点向前移向圆孔时，相应的波带数增加，波带数增大到 4 时，P 点变成暗点此时，P 点至圆孔的距离为：mm750103.5634)3.1 (6220= kr则 P 点移动的距离为cmrr2575100r0=当 P 点向后移离圆孔时，波带数减少，减少为
3、 2 时，P 点也变成暗点，与此对应的 P 到圆孔的距离为：mm1500103 .5632) 3 . 1 (622 = kr则 P 点移动的距离为：cmrr50100150r0= 3、试证明：若是波带片的焦距、相应决定一个主焦点 F，则在3、ff5，7处尚有一系列次焦点ff题 3 图解：菲涅耳波带片有许多焦点，由于波带片是相对于某一点 F划分的，换言之对F而言相邻波带的程差为2但是对 F点的一个半波带对较近点将变为几个，波带片一个环带内所包含的半波带数也相应变多如果对某一考察点，波带片一个环带内含有 2j1 个，即奇数个半波带，其中的 2j 个因双双位相相反而抵消，但是仍有一个较小的半波带对考
4、察点的振幅有贡献而相邻两环带的有效小波带的光程差为：) 12(2)24(+=+jj为波长的整数倍，故考察点为一较弱的亮点，这就是波带片的次焦点。如图所示，设对某点，波带片一个环带内含有 2j1 个半波带，由几何jF关系得：（1）222 12) 12(+=+jkffjj由于：（2）fk=2 1故：4) 12() 12(2 2222+=+jkjkfffkfjjj由于 r，略去上式中的项，则：2) 12(+=jkfkfj即：（3）12 +=jffj式中 j 为整数，显然，j0 对应主焦距，当 j1、2、3时，可得对应的次焦距为：=7/5/3/ffffj、或者把式（2）代入式（3）得： kjfj2 1
5、 121 +=波带片的聚光特性与透镜十分相似，因此将把波带片称为菲涅耳透镜，它可用全息方法制取现广泛用于微波、宇航技术中。4、单色平面光波投射到一圆孔上，位于孔的对称轴线上的 P。点进行观察，圆孔恰好露出半个半波带试问 P。点的光强为自由传播时的光强的多少倍？题 4 图解：在自由传播中，波带将全部裸露，即：221k kaaA=中，则：0akk，21aAAk=42 1aI=当圆孔对于 P。点，恰好露出半个半波带时，其振幅矢量图中以表2/IA示，由图中几何关系可知：2)2()2(2 121212 2/12/aaaAII=+=故：1:2:2/1=II5、1) 已知波带片到光源的距离为 a，到观察点的
6、距离为 b，波长为，求第 m 级菲涅耳带的半径。2) 若 ab10 米，求第一带的半径。04500A=解：1）)/(baabmrm+2）厘米15. 01=r6、1) 当平面波入射到波带片时，求第 m 级菲涅耳带的半径。2) 如上题所设 b10 米，求此时第一带的半径。04500A=1r解：1）abmrm2）厘米212. 01=r7、 对一半径为 a 的会聚球面波从凹面作菲涅耳带。 波面到观察点的距离为b，求第 m 级菲涅耳带半径的表达式。mr解：baabmrm/8、光源距波带片 3 米远，波带片在距其 2 米处给出光源的象。若将光源移向无穷远时，象在何处?解：在距离为 1.2 米处。9、若波带
7、片第五环的半径为 15 毫米，求波长为 500nm时波带片的焦距，求波带片第一环的半径。若波带片与屏之间充满折射率为 n(n1)的介质，问1r将发生什么现象？解：f90 厘米，0.672 毫米，象，即波带片轴上的极大值离开带片。1r10、若除第一带外将波带片全遮住，求波带片焦点处的光强 I，已知无波带片时光强为 I。 。解：04II=11、若除第一带的上半部外将波带片全遮住，求波带片焦点处的光强 I。已知无波带片时光强为 I。 。解：0II12、若圆屏完全遮住第一带，求圆屏衍射图象中心处的光强 I。己知无屏时光强为 I。 。解：0II13、在照相底片与强光源之间放一不透明的光滑球后，可对光源照
8、相。解释这一现象。球的直径 D40 毫米，球到光源的距离 a12 米，到象的距离 b18米，光源的尺寸 y7 毫米，求象的尺寸 y。若球表面布满许多杂乱的刻痕，其深度 h 约为 0.1 毫米，象会损环吗？可否用圆盘代替球？解：y=by/a=10.5 毫米，坡耳用题中所给的参量设计了实验，为使实验成功，须使刻痕不平的深度 h 满足的条件。当毫米1 . 0180=+ baab Dh米时，可用圆盘代替球。安格列尔曾设计了相应的实验。12y+baab Da14、折射率为 n(对被长)的玻璃圆盘遮住对观察点 P 而言的一个半菲涅耳带。问圆盘厚度为多少时，P 点的照度最强？解：，其中 m0，1，2，)1(
9、24/52 +=nmh15、将半圆盘形的不透明遮光板放在点光源 S 和观察点 A 之间，使O 点与 S和 A 点在一条直线 l(图 32)。遮光板包含不太多的奇数个菲涅耳半波带，问 A点的照度为多少？解：若，是依次由各菲涅耳整波带在 A 点所产生的场，则待求的1E2E3EA 点的场 E 是一级数：.)(21)(2121121+=+NNNNEEEEEEE其中 N 为偶数，当N 不大时，则头一括号部分近似为零，而后一括号部分近似为，因此：121+NE0)(211+NNEEEA 点的照度为极小值。16、点光源 S 和观察点 A 之间放圆盘，其中心与 S 和 A 点在一条直线上(图 52)，圆盘一半是
10、透明的，另半不透明。圆盘包含头三个菲涅耳带。圆盘透明部分的厚度为，其中 n 是该部分的折射率，N 是整数。试问；12 =nNl当 N 为奇数及偶数时，A 点的照度将是多少？解：在 A 点处，N 是偶数时，照度值为最小(E0)，N 为奇数时为最大，近似于一个中央空带。17、远离电滋波点源 S 放一无限大的理想反射平面屏AB（图 33） 。若从屏上切去以由 S 到屏面的垂足为圆心的圆盘 CD，并将此圆盘朝光源的方向移动 1/12个波长， 试用矢量图解法求得在点 S 处反射波的强度如何变化?若将 CD 朝相反方向移动同样距离， 结果又怎样变化？圆盘的面积为第一个菲涅耳带面积的三分之一。解：以矢量(图
11、 106)表示所有菲涅耳波带产生的振动。以矢量表示第OCOA一带的三分之一产生的振动。矢量是孔 CD(图 33)外围屏上反射波产生的振AC动。若忽略每转一周螺旋半径的减少，这三个矢量构成等边三角形。当圆盘向波源移动了l 2 时，被圆盘反射的反射波的周相增加了 22123，而其振动用与相等而方向相反的矢景来表示，全部反射波在点 S 处的强度变AC为零。当圆盘 CD 沿反方向移动时，振动的位相减少了3，并且矢量转OAOA到的位置。由矢量和的迭加，可求得合振动。用这种方法求出：点SOCOCAC处的振幅增大到倍，而强度增大到三倍。318、在上题的装置中，今圆盘面积是中心菲涅耳带面积的半。为使反射波在
12、S 点的强度仍然不变，将圆盘朝离开源的方向所应移动的最小距离是多少?解：8/3=h19、若圆孔(例如虹膜光阑)半径由一个带的半径增加到两个带的半径，则P点(P 为光阑所成光源的象)的照度几乎降为零。这一事实如何与通过光阑的光通量增大为原值的两倍相符合?解：能量重新分布，并且在象平面上某些点的光通量密度增加，而另一些点的光通量密度减少，通过象平面的整个光通量增加一倍。20、单色点光源与圆形光阑的距离为 a，而屏在光阑的另一侧相距为 b。若由光源向光阑平面作垂线通过光阑中心，问光阑半径 r 具有哪些值时，在屏上所观察到的衍射环中心将是暗的?半径具有哪些值时，中心是亮的？解：。若 m 是偶数时，环中
13、心是暗的，若 m 是奇数时，环中bamr/1/1+=心是亮的。21、单色平行光束入射到具有虹膜光阑的长焦距的会聚透镜上、距透镜为 a处置一屏用以观察衍射环。若透镜焦距为 f，问光阑半径 r 为多大时，环的中心是暗的？r 又为多大时，中心是亮的？解：。若m 是偶数时，环中心是暗的，若m 是奇数时，环中afmr/1/1=心是亮的。22、为得到光源与屏相距很远时衍射图象的照片，BK阿尔卡捷夫采用模拟的方法，用缩小的相似模型代替位于光路上的实际障碍物。需要获得直径 D50 厘米圆盘衍射图象的照片，点光源位于圆盘轴线上距其 A25 千米处，屏远离圆盘 B50 千米(屏面垂直于圆盘的轴线)。为此目的用缩小
14、到直径 d1 厘米的模型代替圆盘。需要得到相似而又缩小 n50 倍的衍射图象，问光源与模型的距离 a 及模型和屏的距离 b 应为多少？解：mnBbmnAa20/10/22=；23、图 34 画出种观察干涉条纹的装置简图。透镜被切成相等的两半和1L，彼此沿着光轴移开个相当大的距离。光源 S 置于光铀上。通过半透镜2L1L的光束与通过半透镜的光束相交于段，在此段上两束光发生干涉。若在2LSS 那里放置屏或(最好)用显微镜进行观察，就会看到干涉环。问这些环的中心是亮的还是暗的?解：环中心是暗的。24、不透明的屏上有一圆孔，单色平行光束垂直射到屏上，若孔含有一个菲涅耳带，孔后轴上某点的光强为 I。 。
15、若孔的半径减小到原值的 a13，用矢量图解法求同一点的光强。解：若 r 是孔的半径，则由孔边缘和中心所发出光线之间的光程差为，其中 L 是孔中心到观察点的距离。设开始时，而后，Lr2/2 1rr=)1(1arr=式中是菲涅耳中央带的半径。此时，相应的位相差为，且。由1r2)1(a=矢量图 (图 111)可见：在所研究的那两种情况下，振幅和 A 的关系为0A，)2/sin(0AA=而强度的关系为。当 a13 时)2/(sin2 0II=02 041. 0)9/2(sinIII=25、为了在凹球面镜上制成反射波带片，可去掉镜上菲涅耳环状波带的反射镀层。若光源和观察点都在镜轴上而且距镜顶点分别为 a、b，同时、bRa，其中 R 是镜表面的曲率半径，试求第 m 波带的半径。armmr解：由图112可见：。求出平方根并忽略 x 的二阶小量 ，mrxaSM222)(+=就得到。同样，其次，。第xaraSMm+2/2xbrbSMm+2/2Rrxm2/2m 个波带的半径满足条件。将相应的量代入，得2)()(mASSASMSM=+到：Rbamrm2112+=若考虑到在一般近似下， 不在镜面而在由镜面所反射的会聚波表面上划分菲涅耳带
