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1、3.2 动量算符和角动量算符动量算符和角动量算符 1动量算符和本征方程 1动量算符和本征方程 1). 动量算符 当波函数表示为坐标x、y、z的函数时， 动量p和动量算符 h i相对应， 定义动量算符： p =hrrippzipyipxipzyx=hhh本征方程： pppprr=pppri=)(rh 3.2-1 各分量方程： pxpxpp=rpxppxi= h pypypp=rpyppyi= h pzpzpp=rpzppzi= h 它们的解是 )exp()(rpicrprr hr= 3.2-2 pv可取任意实数值，即动量算符的本征值pv组成连续谱，相应的本征函数为(3.2-1)式所表示的)(rp
2、vv，这正是自由粒子的 de Broglie 波的空间部分波函数。 2)动量算符本征函数的归一化 a理想的平面波的归一化问题 Q AAAeeArpirpipp*=rv hrv h =dAdAdpp22*趋于发散（此波函数不是平方可积，因而不能按这种方式归一化，否则，归一化因子 A 只能为零，这显然没有意义） 。 b归一化为函数 rpiprpipeAAerv hrv h=*上式中pr与pr有微小差别，是归一化为函数的关键。 dxdydzzppyppxppicdrrzxyyxxpp +=)()()(exp)()(2* hrr而 1= )(2)(expxxxxpppihh= )(2)(expyyyy
3、ppdyppihh= )(2)(expzzzzppdzppihh式中)(xxpp是以为宗量的xxpp函数，故有 )()2()()(32*ppcdrrpp= rrhrr 若 C 取()23 2h，则)(rpr归一化为函数 即 )()()(*ppdrrpp= rrrr 3.2-3 ()(2321)(rpiperrr h hr= 3.2-4 )(rpr不是归一化为 1，而是归一化为函数，是由于pr的本征值可以任意取值，动量本征值构成连续谱所致。 3） 箱归一化 有各边长均为 的箱子，建立以箱中心为原点的坐标系，箱中有自由微观粒子 l +=)(exp)(.zpypxpiccerxyxrpiphrrr
4、h 在箱的表面应满足周期性的边界条件 亦 += +)21(exp)21(expzpyplpiczpyplpiczyxzyxhh或 1exp=lpixh因 1)1sin()1cos(exp=+=lpilplpixxxhhh所以 2同理=LhLhLh, 2, 1, 02, 2, 1, 02, 2, 1, 02zzzyyyxxxnnlpnnlpnnlp于是得到分立值 =lnplnplnpz zy yx xhhh222相邻本征值 lpxh2= 0lim= xlp 相邻本征值的间隔与成反比， 当选取足够大时， 本征值的间隔可以任意小， 当lll时， 本征值谱就由分立谱变为连续谱。 归一化 1)()(32
5、222*=lcdeecdrrlrpirpilpp mrr hrr hmrr 所以 23= lc 即： =rpi lprr hexp12/3 3.2-5 箱归一化主要是加入边界条件使积分有限（2,2ll） 注：箱归一化方法仅对平面波适用，而归一化为函数方法对任何连续谱都适用。 2角动量算符 2角动量算符 1). 定义 在经典力学中，动量为p，对 O 点的位置矢量为rr的粒子，它绕 O 点的角动量是 prlrrr= 因而，量子力学中，角动量算符是 3=riprlrh2). 角动量的对易式 在直角坐标系中角动量算符的对易关系 角动量算符 xxyyzlrpi rl el el e= =+vvvvvvv
6、hz lv 在直角坐标中的三个分量可表示为 ()xzylypzpiyzzy= h ()yxzlzpxpizxxz= h ()zyxlxpypixyyx= h ,xyzl li l=h， （要求会证明） , yzxl li l=h , zxyl li l=hlli l=vvvh lli l=vvvh 是角动量算符的定义式。 ,llil=h 式中称为Levi-Civita符号，是一个三阶反对称张量，定义如下： 1231= = =其中, ,x y z =或1, 2,3证明： ,xlix=h或 ,lxix=h, ,x y z = ,plip=h或 ,lpip=h2 ,0ll=v在球坐标系中角动量算符的
7、对易关系 注意到笛卡尔尔坐标x、y、和球极坐标z、r之间的关系： cossinrx =，sinsinry =，zcosr= 42222zyxr+=，rz=cos，xytg= 将两边分别对2222zyxr+=x、y、求偏导，得zxr ，yr ，zr 将rz=cos两边分别对x、y、求偏导，得zx，y，z再将xytg=两边分别对x、y、求偏导，得zx，y，z利用这些关系式可以求得，zyx ，再代入可以求得 (sincos)xlictg=+h、 (cossin)ylictg= h zli= h 22 211(sin)sinsinl= +vhxl、只与, 有关，与 r 无关，而且只与 有关。 ylzl
8、 zl222222 2 zyx+= 222222 2sin1)(sinsin1)(1 + + =rrrrrr或 22 2 222rpl r = vhh2222rpl r= 2vhh其中),1(rripr+=h)(12 222 rrrrpr =h，可称为径向动量算符径向动量算符。 rp 角动量升降阶算符 (I) 定义 5 xyllil+=+， xyllil= 显然有如下性质 l+ +l=， ll+ +=这两个算符不是厄密算符。 (II) 对易关系 ,zl ll= h， ，2,0ll=v22 zzl llll+ =+vh22 zzl llll +=vh 在球坐标中的表示 2L注：在进行平方运算时（
9、例如：其中有xxxLLL2=等的作用，考虑后面所有含的项） 令 )(sincos()cos(sin+=+=iiyxectgieiictgiictgiLiLLhhh)( +=+=+ii yxectgieiLiLLh()()()(2222 zZxyyxyxyxyxLiiLLLLLLiLLLiLLiLLLh=+=+=+见p88 zyxLiLL,h=所以 + =+=+222222 sin1sinsin1 hhzzLLLLL 3.2-8 （1） 本征值方程的求解 2L),(),(22YYLh= 3.2-9 将算符代入得 2L),(),(sin1sinsin1222YY= + 3.2-10 ),(Y是算符
10、的本征函数，属于本征值的。注：解见梁昆淼 45 节 2L2h6令 )()(),(=Y 代入 3.2-10 )()()(sin)()(sinsin)(222=+ 两端同除)()(整理 ( )( )2 22 sin1)(sin)(sin= + 则得到 =+=+)(0)()()(0)()sin()(sinsin12 2222IImddIm dd dd由（II） L2, 1, 021)(=meim 由（I）作变量代换 令 )()(sin1cos22p=而 dd dd dd ddsin= 所以 0)(1)()1 (22 2= + pm ddp dd缔合勒让得方程 这是二阶微分方程，有两个线性无关的解，从
11、推算中可以知道，除非常数取特殊值，否则这两个解在n=时要等于无限大，这不符合要求，但当) 1(+=ll，l为正整数，或为零，而且lm 那么其中一个解就有限了，这样的解是符合要求的。 是 )(m lBp= lllml = , 1, 2, 1, 0 LL这里是边带的勒让德（Legendre）函数 )(cosm lp7)()1 ()(22lmmm m lpddp= 其中 ) 1(! 21)(2=llldd lp 于是 =lmYYlmepNYmlm mlimm llmm lm LL21),() 1(),(210)(cos) 1(),(* )()(归一化系数 4)!() 12()!(mllmlNlm+=
12、 例：时，写出01=ml),(),(10YYlm= Q cos221) 1(! 21)(2=dd lpl cos)()(0 1=lpp 43 411210=+=N cos43),(10=Y 为 ),(2),(),(10222YYYLhh= 结论 1有共同的本征态zLL,2),(lmY 2在本征态下的角动量， 一定，m可取2) 1(h+ll2ll()12+l值，即有()12+l本征函数，对应一个l有度简并 (12+l)参考书：梁昆淼 p296303勒让得方程的级数解 p331338勒让得方程的一般表示，微分表示式的正交关系，模（归一化）母函数 递推关系。 p345356 关于缔合勒让得方程 83. 逆算符逆算符 (1).
