材料力学力S03扭转

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1、第三章 扭转扭转的基本概念 用薄壁圆筒的扭转示例引出切应力、切应变 扭转问题的外力偶矩 扭转内力：扭矩和扭矩图 等直圆轴扭转的应力和强度条件 等直圆杆扭转变形，刚度条件 非圆截面杆扭转的概念第三章1扭转第一节 概述 扭转是杆件的基本变形之一。 1. 受力特点杆件受绕轴线旋转的力偶或力偶系的作用，这些力 偶的旋转平面都垂直于杆件的轴线。 2. 变形特点横截面绕轴线旋转，两横截面间产生相对角位移， 称扭转角，纵向线段变形为螺旋线，与变形前的夹角 称为剪切角。 第三章2扭转第二节 薄壁圆筒的扭转 1. 试验曲线纯剪切试验：薄壁圆管，纯扭转，长度为l，中面 半径为r0，厚度为。在实验中发现，材料在纯剪

2、切变 形过程中，也会呈现出弹性和强化的力学行为。对于 许多碳素钢材，在弹性和强化阶段之间还会出现明显 的屈服。 第三章3扭转2. 薄壁圆筒扭转切应力的简化计算在纯剪切实验中，纵、横截面 正应力皆为零。假设横截面切应力不沿 厚度方向变化。由切应力乘 以横截面积微元对圆心的合 矩等于外力偶，可得 第三章4扭转3. 切应变，剪切胡克定律剪切角即为切应变，圆管两端的相对扭转角为， 小变形时切应变为 在纯剪切试验的弹性阶段中的线弹性段，正比例 于T，于是切应变正比例于切应力，即 这个关系称剪切胡克定律。定律中的比例常数G称切变 模量，是材料的弹性系数。对于各向同性材料，E、 、G三个弹性系数之间存在下式

3、关系 第三章5扭转第三节 外力偶矩 扭矩和扭矩图 1. 扭转的外力偶矩功率等于力偶矩乘以角速度。Me的方向： 主动轮力矩与n方向一致，从动轮力矩与n方向相反。第三章6扭转2. 扭转内力纯扭转杆（轴）横截面上的内力称为扭矩。 扭矩标识：T 扭矩量纲： FL 扭矩常用单位 kN.m，N.m 对扭矩正方向的假定：第三章7扭转受扭杆件内力计算的例题例1： 如图杆件，已知M。 试绘制扭矩图。 注意： 图中各力偶都是外力偶； 各外力偶也可以用矢量表示：第三章8扭转受扭杆件内力计算的例题例1： 解： T1=M T2=2M T3=-2M 绘出扭矩图 最后总结规律： “左上右下” 自己证明。第三章9扭转受扭杆件

4、内力计算的例题例2： 如图杆件，已知m，试绘制扭矩图。第三章10扭转受扭杆件内力计算的例题例2： 解： 轴所受力系是连续分布的， 无须分段。默认坐标x轴起 点左端，沿轴线向右。 Me=ml/2 T=Me-mx=m(l/2-x) 该杆上的载荷力系关于杆中 截面对称。可以发现，T的 分布关于杆中截面是反对称 的。第三章11扭转受扭杆件内力计算的例题例3： 如图轴转速n=100r/min，输入功率PA=40kW，输出功 率PB=PC=20kW，试绘制扭矩图。 解： 1. 计算外力偶：第三章12扭转受扭杆件内力计算的例题例3：（续） 2. 绘制扭矩图： TBA=MB； TAC=-MC 分析： 该杆件上

5、的载荷力系关于杆件中截面A对称。可以发现 ，T的分布关于杆件中截面A是反对称的。而且在中截 面A上，TA=0。第三章13扭转第四节 等直圆轴扭转的应力 强度条件1. 横截面上的应力分布在分析圆截面杆件受扭转的应力分布时，可以 通过如下方法： 变形几何关系找到切应变在横截面上的分布规律 剪切胡克定律建立切应力分布与扭转变形的关系 内力场合成内力主矢、主矩切应力是扭矩在横截面上分布场的集度，由此 确定扭转变形的表达式，并最终确定切应力在横截面上 的分布公式。第三章14扭转1.1 变形几何关系通过实验知，圆截面杆发生扭转变形后：横截 面仍为平面，仍垂直于轴线，绕圆心刚体旋转；横截面 绕圆心的角位移为

6、扭转角；半径仍为直线段且长度不变 。这一规律称为圆截面杆扭转变形的平面假设。 第三章15扭转1.2 切应变分布 根据平面假设进行几何分析，得 第三章16扭转1.3 切应力分布 应用物理关系：1.4 静力学关系极惯性矩扭转变形率GIp称为圆截面杆的扭转刚度 扭转切应力第三章17扭转1.5 最大切应力 最大切应力：抗扭系数：实心圆截面：圆管截面：圆截面杆的扭转刚度：GIp第三章18扭转2. 斜截面应力2.1 纯剪切纯扭轴的平面微单元体上无正应力，仅有切应力， 这种应力状态称纯剪切。 2.2 切应力互等定理在两个相互垂直的截面或表面上，与两平面交线相 垂直的切应力分量数值相等，且同时指向或背离交线。

7、 可以证明，该定理适用于各种其它的应力状态。 第三章19扭转2.3 斜截面应力用斜截面截微单元体，应用平衡条件可以求出：此结果可以解释脆性材料的扭转破坏现象，因斜截 面最大拉应力而破坏。第三章20扭转3. 切应力强度条件等直圆轴扭转的强度条件为：强度分析应遵循如下步骤： 受力分析，确定外力偶； 内力分析，确定危险截面； 应用强度条件进行校核、合理最大载荷估算或几何 尺寸设计。第三章21扭转习题 P84, 3-2 P85, 3-5第三章22扭转圆截面杆件受扭强度分析例题例4： 如图轴，已知转速n=200r/min，输入功率PA=100kW， 输出功率PB=70kW， PC=30kW， D1=0.

8、08m， d1=0.06m， d2=0.05m，=80MPa，试校核轴的强度。第三章23扭转圆截面杆件受扭强度分析例题例4： 解： 1. 计算外力偶：2. 绘制扭矩图：第三章24扭转圆截面杆件受扭强度分析例题例4：（续） 3. 强度校核： BA段AC段结论：满足强度条件。第三章25扭转圆截面杆件受扭应力分析例题例5： 图中所示轴段的扭矩为T，直径 为d，材料的切变模量为G，试 求图中P点的应力。 解：P点位于轴的纵截面上，根据圆轴受扭的变形规律 ，没有正应力。（为什么？） 根据切应力互等定理，纵截面上P点切应力应该等 于横截面上P点切应力。即 第三章26扭转圆截面杆件受扭应力分析例题例6： 如

9、图空心圆截面的轴，扭矩为T，外径为D，内径为 d， 试按照圆截面轴的公式和薄壁圆截面轴的公式分别计算 其最大切应力，并分析在r0/=5、10、15、20和25时的 计算误差。第三章27扭转圆截面杆件受扭应力分析例题例6： 解： 圆轴公式 薄管公式比较第三章28扭转圆截面杆件受扭应力分析例题例6： （续） 计算结果：r0/510152025e-8.18% -4.52% -3.12% -2.38% -1.92%第三章29扭转第五节 等直圆杆扭转变形 刚度条件1. 扭转变形在线弹性和小变形的前提下，根据上节导出的 扭转变形率计算公式，圆轴微段的扭转变形为当扭矩、切变模量和极惯性矩是x的函数时，相对

10、扭转角（弧度）应积分计算当扭矩、切变模量和极惯性矩都与x无关时，相对 扭转角可直接计算第三章30扭转分段等直圆杆扭转变形将轴分为n段，若每段Ti、Gi和Ipi都与x无关，li 为各段长度，i=1,2,n；则总相对扭转角可按代数和 计算 例如对于图示轴，三段各长l，左段抗扭刚度 2GIp；中、右段抗扭刚度GIp；总相对扭转角为第三章31扭转2. 扭转刚度刚度条件指变形不应超过规定的范围。轴的设计中 常限制扭转变形率不得超过规定值，规定值按照单位 （/m）给出，所得刚度条件为：规定值可查有关规范，通常 ，对于一般的传动轴 ，可取0.51（/m），对于精密机器和仪器中的轴，以 及飞机上使用的轴，要小

11、于0.5/m，按照设计的要求具 体而定。第三章32扭转3. 扭转强度、刚度设计时应注意的问题为了节省材料又获得较大的强度和刚度，可以 选用管形截面。在面积不变的条件下增大极惯性矩Ip， 可以不增加重量而提高抗扭强度系数Wp和刚度系数GIp 。但在应用中切莫将轴的壁厚设计过薄，过薄的 轴壁在承受大扭矩时不能保持稳定。台阶圆轴的台阶处要有过渡圆角，可以极大地 缓解应力集中问题。应力集中严重 应力集中不严重第三章33扭转扭转强度、刚度设计时应注意问题示例面积相同的圆环形截面的抗扭强度系数Wp和刚 度系数GIp明显高于实心截面。第三章34扭转三、扭转强度、刚度设计时应注意的问题为了节省材料又获得较大的

12、强度和刚度时，切 莫将轴的壁厚设计过薄，过薄的轴壁在承受大扭矩时不 能保持稳定。第三章35扭转圆截面杆件受扭综合应用例题例7： 钻杆的受力如图，M=600N.m，泥浆的平均 阻力矩为m=10N.m/m。D=0.08m，d=0.07m ，a=2m，l=60m； =60MPa，G=80GPa 。钻杆由柴油机驱动，输入力矩Me，转速 n=60r/min。试进行强度校核，选择柴油机 的功率P，并计算钻杆两端的相对扭转角 AC。 第三章36扭转圆截面杆件受扭综合应用例题例7： 解： (1) 内力分析： 危险截面在AB段，最大扭矩 Me= Tmax= M+ml=1200N.m。 扭矩方程为第三章37扭转圆

13、截面杆件受扭综合应用例题例7： （续） 解： (2) 强度校核：符合强度要求。第三章38扭转圆截面杆件受扭综合应用例题例7： （续） (3) 选择柴油机的功率：(4) 计算相对扭转角：第三章39扭转圆截面杆件受扭综合应用例题例8： 阶梯圆截面轴，材料为45#钢， AB段直径d，BC段外径 D，内径d，=d/D=0.8，材料=40MPa，G=80GPa。 功率PA=1kW，PB=4kW，PC=3kW，转速n=200r/min， =1.5/m。 试分别按照强度、刚度条件设计直径d和D。第三章40扭转圆截面杆件受扭综合应用例题例8： （续） 解： (1) 内力分析： 将轴简化为力学模型， 计算外力矩

14、 (2) 按照强度条件设计直径： AB段第三章41扭转圆截面杆件受扭综合应用例题例8： （续） 解： (2) 按照强度条件设计直径： BC段综合考虑两段要求，应该取D0.03138m，d0.02510m 。 第三章42扭转圆截面杆件受扭综合应用例题例8： （续） (3) 按照刚度条件设计直径： AB段BC段综合考虑两段要求，应该取D0.03296m，d0.02636m 。 第三章43扭转第七节 非圆截面杆扭转的概念矩形截面杆在受扭时横截面发生翘曲，平面假 设不成立。在自由扭转时，任横截面的翘曲自由发生，在 横截面上仍然无正应力，只有切应力。在约束扭转时，强制横截面的翘曲不发生，在 横截面上将产

15、生附加正应力，同时有切应力存在。根据切应力互等定理，在横截面的边界上，切 应力方向与边界相切，在横截面边界角点上，切应力 为零。 第三章44扭转矩形截面杆的扭转切应力和变形按照弹性理论解，横截 面最大切应力max出现于长边中 点；次大切应力1出现于短边中 点扭转变形率和相对扭转角的 计算公式为上三式中的系数、和用长、短边长比m=h/b列入P74 表3-1中。第三章45扭转习题 P87, 3-16 P88, 3-23第三章46扭转第六节 等直圆杆扭转应变能纯剪切微单元体内贮存的弹性应变能密度为切应力 在切应变上所做的功在线性弹性阶段 受扭杆件内的弹性应变能为弹性应变能密度在杆件体积 上的积分第三

16、章47扭转示例 圆柱形密圈螺旋弹簧的变形弹簧圈平均直径为D，弹 簧钢丝直径为d，有效圈数为n ，螺旋角为（5），钢丝 材料的切变模量为G。设弹簧 在受压力F 时变形量为。首先分析弹簧丝中的内力 。当螺旋角不大时，可以认为 钢丝横截面上只有扭矩T 和剪 力FS， 第三章48扭转示例弹簧丝横截面的应力：在 D/d10时，可以认为钢丝横截面 上只有扭矩引起的扭转切应力 在考虑剪力FS的作用时，可 以认为钢丝横截面上的剪切切应 力是均匀分布的。根据叠加原理 可得第三章49扭转示例分析弹簧的变形时，略去剪力对变形的影响， 注意外力功等于弹簧的应变能，对于线性弹性的弹簧， 可以得到弹簧的刚度是产生单位变形所需的力， 即F=C第三章50扭转*第八节 开口和闭口薄壁截面杆自由扭转 的概念开口薄壁截面杆自由扭转将截面分为若干狭长矩形，以各矩形具有相同 扭转角为变形协调条件，求