梁的应力与强度1

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1、 一、一、 工程实例工程实例5.3.1 5.3.1 平面弯曲的概念平面弯曲的概念 工程实例工程实例工程实例工程实例二、平面弯曲概念n受弯构件的轴线为平面曲线时的弯曲。梁在荷载作用下，横截面上一般都有弯矩和剪力，相应地在梁的横截面上有正应力和剪应力。 5.3.2 梁的正应力1 1、实验现象的观察和分析、实验现象的观察和分析1.1.变形现象变形现象（Deformation phenomenon )Deformation phenomenon )纵向线纵向线且靠近顶端的纵向线缩短，且靠近顶端的纵向线缩短，靠近底端的纵向线段伸长靠近底端的纵向线段伸长. .相对转过了一个角度，相对转过了一个角度，仍与变

2、形后的纵向弧线垂直仍与变形后的纵向弧线垂直. .各横向线仍保持为直线，各横向线仍保持为直线，各纵向线段弯成弧线，各纵向线段弯成弧线，横向线横向线2.2.提出假设提出假设平面假设：平面假设：梁的横截面在变形梁的横截面在变形 后仍为一平面，同时仍垂直后仍为一平面，同时仍垂直 于弯曲后的梁轴线；于弯曲后的梁轴线； 单向受力假设：单向受力假设：梁在变形后，梁在变形后， 同一层的纵向纤维长度的伸同一层的纵向纤维长度的伸 缩相同缩相同 推论：推论：必有一层变必有一层变 形前后长度不变的形前后长度不变的 纤维纤维中性层中性层中性轴中性轴 横截横截 面对称轴面对称轴中性轴横截面对称轴横截面对称轴中性层中性层d

3、x图（图（b b）yzxO应变分布规律：应变分布规律：直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比直梁纯弯曲时纵向纤维的应变与它到中性层的距离成正比. .图（图（a a）d dx x1 1、变形几何关系、变形几何关系图（图（c c）yzyx OObbybbOO3 3、正应力公式推导、正应力公式推导2 2、物理关系、物理关系所以所以MMyzOx直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴直梁纯弯曲时横截面上任意一点的正应力，与它到中性轴的距离成正比的距离成正比. .应力分布规律：应力分布规律：? ?待解决问题待解决问题中性轴的位置中性轴的位置中性层的曲率半径中性层的曲率半径r r?

4、? ?yzxOMd dA AzyddA A3 3、静力关系、静力关系横截面上内力系为垂直于横截横截面上内力系为垂直于横截 面的空间平行力系，面的空间平行力系，这一力系简化这一力系简化 得到三个内力分量得到三个内力分量. .FNMzMy内力与外力相平衡可得内力与外力相平衡可得（1 1）（2 2）（3 3）将应力表达式代入（将应力表达式代入（1 1）式，得）式，得将应力表达式代入（将应力表达式代入（2 2）式，得）式，得将应力表达式代入将应力表达式代入(3)(3)式，得式，得中性轴通过横截面形心中性轴通过横截面形心自然满足自然满足将将代入代入得到得到纯弯曲时横截面上正应力的计算公式纯弯曲时横截面上

5、正应力的计算公式: :MM为梁横截面上的弯矩；为梁横截面上的弯矩；y y为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；为梁横截面上任意一点到中性轴的距离；I Iz z为梁横截面对中性轴的为梁横截面对中性轴的惯性矩惯性矩. .讨论（1 1）应用公式时，一般将）应用公式时，一般将 MyMy 以绝对值代入以绝对值代入. . 根据梁根据梁变形的情况直接判断变形的情况直接判断 的正负号的正负号. . 以中性轴为界，梁以中性轴为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力变形后凸出边的应力为拉应力( ( 为正号为正号). ).凹入边的应力凹入边的应力为压应力为压应力（ 为负号为负号）；）； （2 2）最大正应力发生在横截面上离

6、中性轴最远的点处）最大正应力发生在横截面上离中性轴最远的点处. .则公式改写为则公式改写为引用记号引用记号抗弯截面系数抗弯截面系数zy（3 3）对于中性轴不是对称轴的横截面）对于中性轴不是对称轴的横截面M应分别以横截面上受拉和受压部分距中性应分别以横截面上受拉和受压部分距中性轴最远的距离轴最远的距离 和和 直接代入公式直接代入公式2 2）组合截面）组合截面1 1）简单截面抗弯截面系数）简单截面抗弯截面系数矩形截面矩形截面实心圆截面实心圆截面空心圆截面空心圆截面bhz yzdyzDdy1 1、矩形截面梁上的切应力、矩形截面梁上的切应力5.3.3 5.3.3 梁的切应力梁的切应力（1 1）两个假设

7、）两个假设（a a）切应力与剪力平行；切应力与剪力平行；（b b）切应力沿截面宽度均匀分布，即沿截面同一高度的）切应力沿截面宽度均匀分布，即沿截面同一高度的切应力相等（距中性轴等距离处切应力相等）切应力相等（距中性轴等距离处切应力相等）. .q(x)F1F2z maxmaxb矩型截面的宽度矩型截面的宽度. .yz整个横截面对中性轴的惯性矩整个横截面对中性轴的惯性矩. .距中性轴为距中性轴为y y的横线以外部分横的横线以外部分横截面面积对中性轴的截面面积对中性轴的静矩（面积矩）静矩（面积矩）. .（2 2）切应力沿截面高度的变化规律）切应力沿截面高度的变化规律 沿截面高度的变化由静矩沿截面高度的

8、变化由静矩 与与y y之间的关系确定之间的关系确定. .y1nBmAxyzOyA1B1m1可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化可见，切应力沿截面高度按抛物线规律变化. .z maxmaxy y=h h/2/2（即在横截面上距中性轴最远处）（即在横截面上距中性轴最远处） =0=0y=y=0 0（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值（即在中性轴上各点处），切应力达到最大值式中，式中，A=bhA=bh为矩形截面的面积为矩形截面的面积. .z截面静矩的计算方法截面静矩的计算方法A A为截面面积为截面面积为截面的形心坐标为截面的形心坐标A A1 12 2、工字形截面梁的切应力、工字形截面梁的切应力研

9、究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为研究方法与矩形截面同，切应力的计算公式亦为Hoyxbzhd d 腹板的厚度腹板的厚度Ozydxy 距中性轴为距中性轴为y y的横线以外部分的横截的横线以外部分的横截 面面积面面积A A对中性轴的静矩对中性轴的静矩. . minminozy maxmax maxmax（a a）腹板上的切应力沿腹板高度按二）腹板上的切应力沿腹板高度按二次抛物线规律变化；次抛物线规律变化；（b b）最大切应力也在中性轴上）最大切应力也在中性轴上. .这也是这也是整个横截面上的最大切应力整个横截面上的最大切应力. .假设求应力的点到中性轴的距离为假设求应力的点到中性轴的距离为y

10、 y. . minmin maxmax式中式中: :中性轴任一边的半个横截面面积对中性轴任一边的半个横截面面积对 中性轴的静矩中性轴的静矩. .ydzO假设：假设：（a a）沿宽度）沿宽度k k- -kk上各点处的切应力上各点处的切应力 均汇交于均汇交于O O 点；点；（b b）各点处切应力沿）各点处切应力沿y y方向的分量沿方向的分量沿宽度相等宽度相等. .在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切在截面边缘上各点的切应力的方向与圆周相切. . 3 3、圆形截面梁上的最大切应力、圆形截面梁上的最大切应力Ozy maxmax最大切应力发生在中性轴上最大切应力发生在中性轴上ydzO式中式中为圆截面

11、的面积为圆截面的面积. .4 4、圆环形截面梁、圆环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁图示为一段薄壁环形截面梁. .环壁厚度为环壁厚度为 ，环的平均半径为，环的平均半径为r r0 0，由于由于 r r0 0 故可假设故可假设（a a）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；）横截面上切应力的大小沿壁厚无变化；（b b）切应力的方向与圆周相切）切应力的方向与圆周相切. .zyr0式中式中 A A=2=2 r r0 0 为环形截面的面积为环形截面的面积横截面上最大的切应力发生中性轴横截面上最大的切应力发生中性轴上，其值为上，其值为zyr0 maxmax1 1、正应力强度条件、正应力强度条件 梁内的最大工作

12、应力不超过材料的许用应力梁内的最大工作应力不超过材料的许用应力. .5.3.45.3.4 梁的强度计算2 2、切应力强度条件、切应力强度条件3 3、强度条件的应用、强度条件的应用（2 2）设计截面）设计截面（3 3）确定许可载荷）确定许可载荷（1 1） 强度校核强度校核对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的对于铸铁等脆性材料制成的梁，由于材料的且梁横截面的且梁横截面的中性轴中性轴一般也不是对称轴，所以梁的一般也不是对称轴，所以梁的（两者有时并不发生在同一横截面上）（两者有时并不发生在同一横截面上）要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力要求分别不超过材料的许用拉应力和许用压应力需要校核切应力

13、的几种特殊情况需要校核切应力的几种特殊情况（1 1）梁的跨度较短，）梁的跨度较短，MM 较小，而较小，而F FS S较大时较大时 , ,要校核切应力；要校核切应力；（2 2）铆接或焊接的组合截面）铆接或焊接的组合截面, ,其腹板的厚其腹板的厚度与高度比小于型钢度与高度比小于型钢 的相应比值时，要校核切应力；的相应比值时，要校核切应力；（3 3）各向异性材料各向异性材料( (如木材如木材) )的抗剪能力较差，的抗剪能力较差， 要校核切应力要校核切应力. .例题例题1 1 螺栓压板夹紧装置如图所示螺栓压板夹紧装置如图所示. .已知板长已知板长3 3a a150mm150mm，压板，压板材料的弯曲许

14、用应力材料的弯曲许用应力 140MP.140MP.试计算压板传给工件的最大允试计算压板传给工件的最大允许压紧力许压紧力F F. .ACBFa2a203014FRAFRB+ +Fa解：（解：（1 1）作出弯矩图的最大弯）作出弯矩图的最大弯矩为矩为FaFa；（2 2）求惯性矩，抗弯截面系数）求惯性矩，抗弯截面系数（3 3）求许可载荷）求许可载荷4 4、弯曲强度计算步骤、弯曲强度计算步骤80y1y22020120z例题例题2 T2 T形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示形截面铸铁梁的荷载和截面尺寸如图所示. . 铸铁的许用铸铁的许用拉应力为拉应力为 t t = 30MPa = 30MPa ，许用压应

15、力为许用压应力为 c c =160MPa. =160MPa. 已知截面已知截面对形心轴对形心轴z z的惯性矩为的惯性矩为 I Iz z =763cm=763cm4 4 ， y y1 1 =52mm=52mm，校核梁的强度校核梁的强度. .F1=9kNF2=4kNA CBD1m1m1mFRAFRBF1=9kNF2=4kNACBD1m1m1m- +4kN.m2.5kN.m解：解：最大正弯矩在截面最大正弯矩在截面C C上上最大负弯矩在截面最大负弯矩在截面B B上上B B截面截面C C截面截面80y1y22020120zF例题例题3 3 一简易起重设备如图所示一简易起重设备如图所示. .起起重量重量( (包含电葫芦自重包含电葫芦自重) )F F = 30 kN. = 30 kN. 跨跨长长l l = 5 m. = 5 m. 吊车大梁吊车大梁ABAB由由20a20a工字钢工字钢制成制成. .其许用弯曲正应力其许用弯曲正应力 =170MPa,=170MPa,许用弯曲切应力许用弯曲切应力 = 10