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1、第五节 数系的扩充与复数的引入1.复数的有关概念(1)定义：形如a+bi(a,bR)的数叫做复数，其中_是a，_是b.(2)分类：复数a+bi(a,bR)实数(b=_)虚数(b0)纯虚数(a=_)非纯虚数(a0)实部虚部00(3)复数相等：a+bi=c+di_(a,b,c,dR).(4)共轭复数：a+bi与c+di共轭_(a,b,c,dR).(5)复数的模：向量 的长度叫做复数z=a+bi的模，记作_或_，即|z|=|a+bi|= _(a,bR).|z|a+bi|2.复数的运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则：设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,dR),则加法：z1+z2=(a+b
2、i)+(c+di)= _;减法：z1-z2=(a+bi)-(c+di)= _;乘法：z1z2=(a+bi)(c+di)= _;除法：= _(c+di0).(a+c)+(b+d)i(a-c)+(b-d)i(ac-bd)+(ad+bc)i(2)复数加法的运算定律.复数的加法满足交换律、结合律，即对任何z1，z2，z3C，都有z1+z2=_,(z1+z2)+z3= _.3.复数的几何意义(1)复平面的概念：建立_来表示复数的平面.(2)实轴、虚轴：在复平面内,x轴叫做_,y轴叫做_，实轴上的点都表示_；除了原点外，虚轴上的点都表示_.z2+z1z1+(z2+z3)直角坐标系实轴虚轴实数纯虚数(3)复
3、数的几何表示：复数z=a+bi 复平面内的点_ 平面向量_.一一对应Z(a,b)一一对应判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”).(1)方程x2+x+1=0没有解.( )(2)复数z=a+bi(a,bR)中，虚部为bi.( )(3)复数中有相等复数的概念，因此复数可以比较大小.( )(4)原点是实轴与虚轴的交点.( )(5)复数的模实质上就是复平面内复数对应的点到原点的距离，也就是复数对应的向量的模.( )【解析】(1)错误.在实数范围内，方程x2+x+1=0没有实数解；但在复数范围内，此方程有解，且解为 .故不正确.(2)错误.根据复数的概念，在复数z=a+bi中，虚部应为b.故不正确
4、.(3)错误.只有当两个复数都为实数时，它们才能比较大小，其他情况不能比较大小.故不正确.(4)正确.原点在实轴上，也在虚轴上.故正确.(5)正确.根据复数的几何意义可知此结论正确.答案：(1) (2) (3) (4) (5)1.已知aR，若(1ai)(32i)为纯虚数，则a=_.【解析】(1ai)(32i)(32a)(23a)i为纯虚数，故 得a .答案:- 2.复数 (i是虚数单位)的实部是_.【解析】 实部为答案: 3.若a，bR，i为虚数单位，且(ai)ibi，则a=_,b=_.【解析】由(ai)ibi，得：1aibi，根据复数相等得：a1，b1.答案:1 -14.已知i为虚数单位，则
5、复数 对应的点位于第_象限.【解析】故复数对应的点为( )，位于第三象限.答案:三5.已知复数z112i，z21i，z332i，它们所对应的点分别为A，B，C，若 (O为原点)，则xy=_.【解析】由得(3,-2)=x(-1,2)+y(1,-1)， 解得 故xy5.答案：56.设z1是复数，z2z1i (其中 表示z1的共轭复数)，已知z2的实部是1，则z2的虚部为_.【解析】设z1xyi(x，yR)，则z2xyii(xyi)(xy)(yx)i，故有xy1，则yx1.答案：1考向 1 复数的概念【典例1】(1)(2012江西高考改编)若复数z=1+i(i为虚数单位), 是z的共轭复数，则z2+
6、 的虚部为_.(2)(2012湖南高考)已知复数z=(3+i)2(i为虚数单位)，则|z|=_.(3)(2013无锡模拟)已知a，bR,i是虚数单位，若(a+2i)i=b+i,则a+b的值是_.【思路点拨】 【规范解答】(1)因为z=1+i，所以 =1-i， =(1+i)2+(1-i)2=2i-2i=0，故虚部为0.答案：0(2)由条件得z=(3+i)2=9+6i-1=8+6i,|z|=答案：10(3)(a+2i)i=b+i，即ai-2=b+i, a+b=-1.答案：-1【互动探究】本例题(1)的条件不变，则 的实部是_.【解析】由例(1)的解题过程可得 ，故实部是0.答案：0【拓展提升】解答
7、复数概念题的两个关注点(1)复数的分类及对应点的位置问题都可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，确定出实部、虚部即可.(2)复数zabi(a，bR)的模|z| ，实际上就是指复平面上的点Z到原点O的距离；|z1z2|的几何意义是复平面上的点Z1,Z2两点间的距离.【变式备选】(1)若复数 (aR，i为虚数单位)是纯虚数，则实数a=_.【解析】复数 是纯虚数, a=-6.答案：-6(2)已知aR，复数z12ai，z212i，若 为纯虚数，则复数 的虚部为_.【解析】 为纯虚数， a1, 故 的虚部为1.答案：1考向 2 复数的几何意义【典例2】(1)在复平面内，向
8、量 对应的复数是2i，向量对应的复数是13i，则向量 对应的复数是_.(2)(2013常州模拟)在复平面内，复数 对应的点位于第_象限.(3)已知f(x)=x2,i是虚数单位，则在复平面内复数对应的点在第_象限.【思路点拨】(1)根据复数加法的几何意义求解.(2)先把复数化为a+bi的形式，再判断对应的点所在的象限.(3)求出复数 再判断对应的点所在的象限.【规范解答】(1)向量 对应的复数是2i，则 对应的复数是2i， 对应的复数是(13i)(2i)34i.答案：-3-4i(2)z对应的点位于第四象限.答案:四(3) 故复数对应的点是( )，在第一象限.答案：一【拓展提升】复数几何意义的理解
9、及应用(1)理解：复数z、复平面上的点Z及向量 相互联系，即zabi(a，bR) Z(a，b) .(2)应用：由于复数、点、向量之间建立了一一对应的关系，因此可把复数、向量与解析几何联系在一起，解题时可运用数形结合的方法，使问题的解决更加直观化.【变式训练】(1)已知i是虚数单位，则复数z=i+2i2+3i3所对应的点落在第_象限.【解析】z=i+2i2+3i3=i-2-3i=-2-2i，对应的点是(-2,-2)，即落在第三象限.答案：三(2)已知复数 的对应点在复平面的第二、四象限的角平分线上，则实数a=_.【解析】已知复数由题意知a+1=-1，解得a=-2.答案：2考向 3 复数代数形式的
10、四则运算 【典例3】(1)(2012辽宁高考改编)复数(2)(2012安徽高考改编)复数z满足(z-i)i=2+i，则z=_.(3)若z=cos+isin(i为虚数单位且0)，则使z2=1成立的值是_.【思路点拨】(1)将复数进行分母实数化，根据复数代数形式的四则运算法则计算.(2)将等式化简，根据复数代数形式的四则运算法则进行计算.(3)先求出z2，再根据条件得到关于的三角函数关系式，验证求解即可.【规范解答】(1)答案： (2)(z-i)i =2+i z= 答案：1-i(3)z2=(cos+isin)2=cos2+isin 2=1,cos2=1,sin 2=0,=k,kZ.又0,= .答案
11、： 【拓展提升】1.复数四则运算的解答策略复数的加法、减法、乘法运算可以类比多项式的运算，除法关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，注意要把i的幂写成最简形式.2.几个常用结论(1)(1i)2=2i; (2)-b+ai=i(a+bi).(3)i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0,nN*.【变式训练】(1)(2012天津高考改编)i是虚数单位，复数【解析】答案：2-i(2)复数z1i， 为z的共轭复数，则z z1_.【解析】依题意得z z1(1i)(1i)(1i)1i.答案：-i【创新体验】复数中的新定义问题 【典例】(20
12、13广州模拟)在实数集R中，我们定义的大小关系“”为全体实数排了一个“序”.类似地，我们在复数集C上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“”.定义如下：对于任意两个复数z1=a1+b1i，z2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2R)，z1z2当且仅当“a1a2”或“a1=a2且b1b2”.按上述定义的关系“”，给出如下四个命题：若z1z2，则|z1|z2|； 若z1z2，z2z3，则z1z3；若z1z2，则对于任意zC，z1+zz2+z；对于复数z0，若z1z2，则zz1zz2.其中真命题的序号为_.【思路点拨】【规范解答】对于复数z1=2+i,z2=1-3i显然满足z1z2，但|z1|=
13、,|z2|= ，不满足|z1|z2|，故不正确；设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z3=a3+b3i，由z1z2,z2z3可得“a1a3”或“a1=a3且b1b3”，故正确；设z1=a1+b1i,z2=a2+b2i,z=a+bi，由z1z2可得“a1a2”或“a1=a2且b1b2”.显然有“a1+aa2+a”或“a1+a=a2+a且b1+bb2+b”，从而z1+zz2+z.故正确；对于复数z1=2+i,z2=1-3i显然满足z1z2，令z=1+i，则zz1=(1+i)(2+i)=1+3i，zz2=(1+i)(1-3i)=4-2i,显然不满足zz1zz2，故错误.综上正确.答案：【思考点
14、评】1.方法感悟：本题体现了类比方法的运用，即通过类比的方式，给出了复数中与实数类似的结论，借以考查阅读理解和应用新知识解决问题的能力.这种类比的方法在数学中可以帮助我们得到一些新的结论.2.技巧提升：利用复数与实数的类比来命题是一个新的考查方向，主要以给出新概念或新运算为主，用来考查学生的阅读理解、应用新知识解决问题的能力.从实质上看，此类问题考查的还是基础知识和基本技能，解题的关键是抓住新概念或新运算的特征，对所给的新信息进行分析，并且将所给信息与所学 知识相结合. 1.(2013淮安模拟)设复数 (i为虚数单位)，则复数z的虚部是_.【解析】z的虚部是-1.答案：-12.(2013徐州模拟)已知i为虚数单位，则复数 的模等于_.【解析】答案：13.(2013南京模拟)已知复数z1=1-i,z2=2+i,那么z1z2的值是_.【解析】z
