理论力学—平面任意力系

《理论力学—平面任意力系》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学—平面任意力系（71页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第三章-平面任意力系 平面任意力系向作用面内一点的简化 平面任意力系的平衡条件和平衡方程 物体系统的平衡静定和超静定问题 平面简单桁架的内力计算1. 力的平移定理定理：可以把作用在刚体上点A 的力F平行移到任 一点B，但必须同时附加一个力偶，这个附加力偶的矩 等于原来的力F对新作用点B 的矩。力线平移定理的逆步骤，亦可把一个力和一个力 偶合成一个力。一、 平面任意力系向作用面内一点简化ABMABFF F F ABF提问：若刚体上有n个杂乱分布的力，现在要把这些力全部平移 到一个共同的作用点，会得到什么结果？力的平移定理揭示了力与力偶的关系：力 力+力偶 力平移的条件是附加一个力偶m，且m与d有

2、关，m=Fd 力的平移定理是力系简化的理论基础。说明：力的平移定理应用F（1 1）为什么钉子有时会折弯？）为什么钉子有时会折弯？FM F FMM（2 2）乒乓球为什么会旋转？）乒乓球为什么会旋转？ F F（3 3）船上人划浆）船上人划浆cFFcF2FF MOxyijOOxyF1F2FnF1F2FnMnM2M1MOFR2. 平面任意力系向一点简化-主矢与主矩.2. 平面任意力系向一点简化-主矢与主矩FR主矢，作用在简化中心，但与简化中心的位置无关MO 主矩，作用在该平面上，与简化中心的位置有关平面任意力系平面汇交力系+平面力偶系向一点简化其中: 平面汇交力系的合成结果为一个合力平面力偶系的合成结

3、果为一个合力偶原力系的“主矢”原力系对O点的“主矩”其中，主矢的大小和方向：2. 平面任意力系向一点简化-主矢与主矩主矩的大小：2. 平面任意力系向一点简化-主矢与主矩平面任意力系向作用面内任一点O 简化，可得一 个力和一个力偶。这个力称为原力系的主矢，作用线 通过简化中心O 。这个力偶的矩称为原力系对于点O 的主矩。主矢与简化中心的位置无关，主矩和简化中 心的位置有关。总结：平面任意力系向某点简化的结论如下3. 平面任意力系简化结果分析四种情况：（1） FR0，MO0 ; （2） FR 0，MO 0 ; （3） FR 0，MO0 ; （4） FR0，MO0 （1）平面任意力系简化为一个力偶的

4、情形原力系合成为合力偶。合力偶矩 M 等于原力系对简 化中心的主矩。此时主矩与简化中心的位置无关。F4F1F2F3ABCD四个力是否平衡？见P31FR0，MO0（2）平面任意力系简化为一个合力的情形合力矩定理如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力 系简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。如果主矢和主矩均不等于零，此时还可进一步简 化为一合力，但其作用线不过简化中心。如图：OOFRdFRFRFR MOFROO dOO3. 平面任意力系简化结果分析结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩 等于力系中各分力对同一点的矩的代数和。这就是平 面任意力系的合力矩定理。FRdOO从图中可以看出所以由

5、主矩的定义知：3. 平面任意力系简化结果分析例1 在长方形平板的O，A，B，C点上分别作用着有四个力：F1=1 kN，F2=2 kN，F3=F4=3 kN（如图），试求以上四个力构成的力系对O点的简化结果，以及该力系的最后合成结果。（对O点和对B点的简化结果，以此说明任意力系的简化结果中主矢与简化中心无关，而主矩是有关的，见书上思考题4-3）F F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC Cx xy y2m2m3m3m30306060求向O点简化结果解：解：建立如图坐标系xOy。F F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC Cx xy y2m2m3

6、m3m30306060所以，主矢的大小1.求主矢 。2. 求主矩MO主矢的方向：主矢的方向：y yO OA AB BC Cx xMMO OF F1 1F F2 2F F3 3F F4 4O OA AB BC Cx xy y2m2m3m3m30306060最后合成结果最后合成结果由于主矢和主矩都不为零，所以最后合成结果是一个合力FR。如图所示。合力FR到O点的距离F FR RO OA AB BC Cx xy yMMO OF FR RO OA AB BC Cx xy yd d二、平面任意力系的平衡条件和平衡方程1. 平衡条件平面任意力系平衡的必要与充分条件是：力 系的主矢和对任一点的主矩都等于零。

7、即：2. 平衡方程即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中所有各 力在其作用面内两个任选的坐标轴上投影的代数和分 别等于零，所有各力对任一点之矩的代数和等于零。 上式称为平面任意力系的平衡方程。 由于所以二、平面任意力系的平衡条件和平衡方程(1) 二矩式其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。由后面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化 为过A、B两点的一合力或处于平衡。再加第一条件， 若AB连线不垂直于x 轴 (或y 轴），则力系必平衡。3. 平衡方程的其它形式(2) 三矩式其中A、B、C三点不能在同一条直线上。注意：以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。由前面两式知：力系不

8、可能简化为一力偶，只能简化为过A 、B两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为 过A、B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上 ，则力系必平衡。例2例2 求图示梁的支座反力。解：以梁为研究对象，受力如图。解之，得：AB CPabqmAB CPqmFBFAyFAx例3 ：简支梁受力如图，已知F300N, q=100N/m, 求A ,B处的约束反力。Fq ABCD2m2m4m解：简支梁受力如图所示：代入（1）式例4 已知：P=20kN, m=16kNm, q =20kN/m, a =0.8m。求： A、B的支反力。解：研究AB梁解得：例5 如图所示为一悬臂梁，A为固定端，设梁

9、上受强度为q的均布载荷作用，在自由端B受一集中力F和一力偶M作用，梁的跨度为l，求固定端A的约束力。A AB Bl lqF FMM2. 列平衡方程3. 解方程1. 取梁为研究对象，受力分析如图解：A AB Bl lqF FMMqA AB Bx xy yMMF FF FAyAyMMA Al lF FAxAx例3例6 悬臂吊车如图所示。横梁AB长l2.5 m，重量P1.2 kN，拉杆CB的倾角a30，质量不计，载荷Q7.5 kN。求图示位置a2 m时, 拉杆的拉力和铰链A的约束反力。例3解：取横梁AB为研究对象。ABEH PQFBFAyFAxaa从(3)式解出代入(1)式解出代入(2)式解出力的作

10、用线在同一平面且相互平行的力系称平面平行力系。平面平行力系作为平面任意力系的特殊情况，当它平衡时，也应满足平面任意力系的平衡方程，选如图的坐标，则Fx0自然满足。于是平面平行力系的平衡方程为：平面平行力系的平衡方程也可表示为二矩式：其中AB连线不能与各力的作用线平行。4. 平面平行力系的平衡方程F2F1F3Fn例7 已知：塔式起重机 P=700kN, W=200kN (最大起重量)，尺 寸如图。求：保证满载和空载时不致翻倒，平衡块Q=？ 当 Q=180kN时，求满载时轨道A、B给起重机轮子的反力？限制条件：解： 首先考虑满载时，起重机不向右翻倒的Q：空载时，W=0 由限制条件为：解得因此保证空

11、、满载均不倒，Q应满足如下关系：解得: 求当Q=180kN，满载W=200kN时，NA ,NB为多少？由平面平行力系的平衡方程可得： 解得：补充：平行力的合成与分解1.如图（a）所示的同向平行力。 两个同向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之和，合力作用线与分力平行，合力方向与两分力方向相同，合力作用点在两分力作用点的连线上，合力作用点到分力 作用点的距离与分力的大小成反比，如图 (a)，有： 2.如图（a）所示的反向平行力。 两个反向平行力的合力（R）的大小等于两分力大小之差，合力作用线仍与分力平行，合力方向与较大的分力方向相同，合力的作用点在两分力作用点连线的延长线上，在较大力的外侧，

12、它到两分力作用点的距离与两 分力大小成反比，如图 (b)，有：三、 物体系的平衡静定和超静定问题1.静定问题2.（静不定问题）超静定问题3.如何判断？如何求解？回忆各类平衡力系中独立静平衡方程的数目在静力学中求解物体系统的平衡问题时，若 未知量的数目不超过独立平衡方程数目，则由 刚体静力学理论，可把全部未知量求出，这类问题称为静定问题。若未知量的数目多于独立 平衡方程数目，则全部未知量用刚体静力学理 论无法求出，这类问题称为静不定问题或超静 定问题。而总未知量数与总独立平衡方程数之 差称为静不定次数。三、 物体系的平衡静定和超静定问题静不定问题在强度力学（材力,结力,弹力）中用位移 谐调条件来

13、求解,但在静力学中关键在于研究对象的选取。静定（未知数三个） 静不定（未知数四个）判断各图的超静定次数以上讨论的都是单个物体的平衡问题。下面就来介绍有关物体 系的平衡问题。由若干个物体通过约束所组成的系统称为物体系统，简称物系 。外界物体作用于系统的力称该系统的外力。系统内各物体间相 互作用的力称该系统的内力。当整个系统平衡时，系统内每个物体都平衡。反之，系统中每 个物体都平衡，则系统必然平衡。而对于物体系统的平衡问题， 其要点在于如何正确选择研究对象，一旦确定了研究对象，则计 算步骤与单个物体的计算步骤完全一样。因此，当研究物体系统的平衡时，研究对象可以是整体，也可 以是局部，也可以是单个物

14、体。 三、 物体系的平衡静定和超静定问题下面举例讲解如何正确选择研究对象的问题。系统平衡局部必平衡FAFB例8图示的人字形折梯放在光滑地面上。重P800N的人站在梯子 AC边的中点H，C是铰链，已知ACBC2m；ADEB0.5m， 梯子的自重不计。求地面A、B两处的约束反力和绳DE的拉力。 DHAPCEBPDHACEB7575yx解： （1）先取梯子整体为 研究对象。受力图及坐 标系如图所示。 由MA（F）0 , 得：FB（AC+BC）cos75P AC cos7520解得 FB200N 由 Fy0 ，FA +FBP0 ；解得 FA600NFB（2）为求绳子的拉力，取其所作用的杆BC为研究对象

15、。受力图如图所示。 CEBFEFCyFCx由 MC（F）0，得：FBBCcos75FE EC sin750解得 FE=71.5N FD=71.5N12kNFCFByFBxq=3kN/ m12kNA BCD6m2m 2m 2mBC2m 2mFBYFBx FDq=3kN/mFAA2m6mDB例9 求图示结构的支座反力。（1）受力分析，画物体系统的受 力图和关键构件的受力图；由 MB = 0 ：（2）选择BC 杆为研究对象：由 Fy = 0 ：由 Fx = 0 ：FDq=3kN/mFAA2m6mDBFBYFBx由 Fy = 0 ：由 MA = 0 ：（3）选择AB杆为研究对象：注意作用与反作用关系，所以：例6例10: 求图示多跨静定梁的支座反力。解：先以CD为研究对象，受力如图。再以整体为研究对象，受力如图。CBq22FAD13FCxFCyFDqFFAxFAyFDFBq解得CDCBAD例4例11 组合结构如图所示，求支座反力和各杆的内力。解：先以整体为研究对象，受力如图。解之得：aaabDACEFBq123DACEFBq123FDFAxFAyF1F2F3Cxy45例4再以铰链C为研究对象，受力如图，建立如图坐标。aaabDACEFBq123