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1、由最小二乘配置分析极大验后估计和最小二乘估计的异同朱欢内蒙古科技大学 内蒙古包头市 014010摘要：本文主要先介绍极大验后估计，最小二乘估计，明白其的概念和特点，再介绍什么 是最小二乘配置，通过最小二乘配置分析极大验后估计和最小二乘估计的异同， 关键词：极大验后估计、最小二乘估计、最小二乘配置一、极大验后估计1. 极大验后估计概念和原理极大验后估计是以(x/ )=max 为准则的估计方法，这个准则的含义在直观上比较明fl显，它的含义是：给定了 L 的一组子样观测值 l 可以按一定的概率取的参数 X 的不同估计其中最佳估计的条件概率密度(x/ )应为最大值，一般用MA或MA（L）表示有极 Xf
2、l X X大验后估计得到的最佳估值，称之为极大验后估值，显然，MA应满足 X=0xlxf )/(ln XMAx次方程称为验后方程 因为(x/ )=fl)(),(2lxlf f)(ln),(ln)/(ln 2lxlflxff将上式对 x 求导，则有=xlxf )/(ln xlxf ),(ln由此可知，极大验后估计的准则式等价于max),(lxf2 极大验后估计特点由于极大验后估计考虑参数 X 的先验统计特性，因此，当参数的先验期望和先验x方差 DX已知时，极大验后估计改善了最小二乘估计，此时，极大验后估计值的误差 XMA方差要小于其最小二乘估值的误差方程。 XLS二、最小二乘估计1 最小二乘估计
3、概念和原理被估计量是 t 维未知的参数向量 X，观测向量为(n1),其观测误差向量为 ，观测L n 1方程L=BX+式中的秩 rk（B）=t，E（）=0，D()=,设 X 的估值为,则有 1nBD XV=B-L X所谓最小二乘估计，就是要求估计值使下列二次型达到最小值，即 x（）=VTPV=(B-L)TP(B-L)=min X X X其中是一个适当选取的对称正定常数阵，称为 X 的最小二乘估值，记为LSnnP X X最小二乘估计量的估计误差为 X=X-=X-(BTPB)-1BTP(BX+)=-(BTPB)-1BTP x X由此式按协方差传播律可得 X 的误差方差阵为D()=(BTPB)-1BT
4、PPB(BTPB)-1 xD将正定对称阵表示为=RTR(R 为可逆矩阵)，并令DDa=BTR-1 b=RPB(BTPB)-1 则得：ab=BTR-1RPB(BTPB)-1=E 且由“矩阵形”许瓦茨不等式可得：D()=bTb(ab)T(abT)-1(ab)= (abT)-1 x有时将 P 取为或时的估计称为马尔科夫估计，此时应将该式写为D1D120VTV=minP2、最小二乘估计性质（1）最小二乘估计是一种线性估计，即 X 的估计量LS是观测值的线性函数。 X（2）当观测误差的数学期望为 E()=0 时，因E(L)=BX 所以E(LS)= (BTPB)-1BTPE(L)= (BTPB)-1 BT
5、PBX=X X即LS具有无偏性。 X（3）当观测误差的方程阵为,而取 P=或 P=时LS误差方差阵达到最小DD1D120 X值。 （4）最小二乘估计不需要 X 的任何先验统计信息，当 X 是非随机量，或 X 虽然是随机量， 但完全不考虑其先验统计信息时，由观测方程协方差传播定律可知DL=D =D()DXLS x三、最小二乘配置模型分析最小二乘估和极大验后估计计异同1、最小二乘配置的模型若设重力异常的随即部分（信号），若在这 n 个点上得到了重力异常观测值， 1nX 1nL噪声（观测误差）为，则在这几个观测点上的重力异常值应为： 1 ng=L-=GY+X（1）g而对于未测点，若用 X表示这些点上
6、的信号，则应按下式内插他们的重力异常值g=+X （2）gPYGP式中的计算公式与得计算公式相似，可得观测公式GPL=GY+X+ （3） 用最小二乘配置法球重力异常，就是以（3）式为数学模型来确定信号 X，X和倾向参数Y的最佳估值,和，然后由（1） ， （2）式求得各重力异常最佳估值。在数学模XYX型（3）中，既包含有倾向参数 Y，又包含有信号 X。这种同时求定不考虑随机性的倾向参 数 Y 和具有随机性信号的最优估计值地方法，就是最小二乘配置法。2、分析二者不同在最小乘成配置的估计公式和最小二乘配置的估计公式的推导过程中（1）当0、时此时最小二乘配置的估计公式为DX0Dx-1BBBDDBDGTX
7、XTXTBY G DBDDBBDGXXTXTBLXL BLBDBDDBBDDBDLXTXXTXXTXXYGLX1LXX BLBDBDDBBDDBDXTXXTXXTXXYGL1（2）当,时，上两式为0Dx0 DX BLDBBDGDBBDGXTXTTXTLGY111BLDBBDBDLXTXTXXLX1BDDBBDBDDDXTXTXXX1此时极大验后滤波和推估公式当,时，上两式为0Dx0 DX BLDBBDBDLXTXTXXLX1BDDBBDBDDDXTXTXXX1和 BLDBBDBDLXTXTXXXLX1BDDBBDBDDDXXTXTXXXX 1此时可以看出二者在 X 和 X极其方差是完全相同的在
8、最小二乘配置中的数学模型中，既包含有倾向参数 Y,又包含有GYBXL 信号 X,它是一种同时求定不考虑随机性的倾向参数 Y 和具有随机性信号大的最优估值的方 法，当倾向参数 Y=0 时，既是最小二乘配置的模型。而在极大验后估计中具 BXL有随机参数向量，最后取参数 X 的最佳估计值的条件概率密度。由此可见最小二乘配X t 1置和极大验后估计在解求函数思想上时一致的，都是根据随机参数求函数极大值的过程。 在最小二乘配置中，最小二乘估计函数模型是最小二乘配置的特例，不需要求定向参数 Y，而只求函数最小值。他们都是利用最小二乘法来求函数最优值，而且在特定条件下， 最下二乘估计还可以由极大验后估计导出，所以他们之间有共同性。 参考文献 【1】崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰。广义测量平差。北京：测绘出版社，1982【2】崔希璋，於宗俦，陶本藻，刘大杰，于正林 广义测量平差（第二版）北京：测绘出 版社，1992 【3】武汉大学测绘学院测量平差学科组，误差理论与测量平差基础，武汉：武汉大学出版 社，2003 【4】于正林，於宗俦，测量平差原理。武汉：武汉测绘科技大学出版社，1990 【5】陶本藻。自由网平差与变形分析。北京：测绘出版社，1984
