单辉祖材力-3(第四章_扭转)

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1、第四章 扭 转4-1 扭转的概念圆杆各横截面绕杆的轴线作相对转动受力特点：圆截面直杆受到一对大小相等、转向相反、作用面 垂直于杆的轴线的外力偶作用变形特点：Me Me 工程中注意承受扭转的构件称为“轴”，实际构 件工作时除发生扭转变形外，还常伴随有弯曲、 拉压等其他变形形式。4-2 扭力偶矩计算 扭矩及扭矩图、传动轴的外力偶矩传动轴的转速 n ；某一轮上 所传递的功率 P (kW)作用在该轮上的外力偶矩Me。已知：求：一分钟内该轮所传递的功率等于其上外力偶矩所 作的功：Me1 Me2 Me3 n从动轮主动轮从动轮传动轮的转速n 、功率P 及其上的外力偶矩Me之 间的关系：(P 马力)(P kW

2、)或、扭矩及扭矩图圆轴受扭时其横截面上的内力偶矩称为扭矩， 用符号T表示。扭矩大小可利用截面法来确定 。11TTMe Me AB11BMe AMe 11x扭矩的符号规定按右手螺旋法则确定:扭矩矢量离开截面为正，指向截面为负。仿照轴力图的做法，可作扭矩图，表明沿杆 轴线各横截面上扭矩的变化情况。TTTTT (+)T (-)11TTMe Me AB11BMe AMe 11xMeT 图+例 一传动轴如图，转速n = 300r/min； 主动轮输 入的功率P1= 500kW，三个从动轮输出的功率分 别为： P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 试作轴的扭矩图。 首先必须计算

3、作用在各轮上的外力偶矩解 ： 221133M1 M2 M3 M4 ABCD分别计算各段的扭矩221133M1 M2 M3 M4 ABCDT111xM2AT2AM2 BM3 22xT333DM4 x扭矩图Tmax = 9.56 kNm 在CA段内M1 M2 M3 M4 ABCD4.78 9.566.37T 图(kNm)表面变形特点及分析：jA BD C一、圆轴扭转试验与假设4-3 圆轴扭转横截面上的应力（1）、相邻圆周线绕杆的轴线相对转动，但 圆周的大小、形状、间距都未变； （2）、纵向线倾斜了同一个角度 ，表面上 所有矩形均变成平行四边形。平面假设：变形后横截面仍保持平面，其形 状、大小与横截

4、面间的距离均不改变，而且 ，半径仍为直线。概言之，圆轴受扭转时其 横截面如同刚性平面一样绕杆的轴线转动。表面正方格子倾斜的角度 直角的改变量切应变j A BD C ABC D B1A1D1 C1 DD1C1 C横截面上没有正应力产生，只有切应力，方向 与圆周相切，即与半径垂直。Me Me dj DGGETTO1O2ababdxDArrdj DGGEO1O2DArrdxd二、横截面上的应力公式1、几何关系即相对扭转角沿杆长的变化率，对于给 定的横截面为常量dj DGGETTO1O2ababdxDArrdj DGGEO1O2DArrdxd剪切胡克定律：（在弹性范围内，切应力与 切应变成正比。2、物

5、理方面Od？横截面上各点的剪应力与点 到截面中心的间距成正比， 即剪应力沿截面的半径呈线 性分布。3、静力学方面称为横截面 的极惯性矩trdA trdA rrrO令得 TOd圆轴扭转时横截面上切应力计算公式：rtmaxtrtmaxT 1、T为横截面上的扭矩2、Ip为截面参数，取决于截 面形状与尺寸3、为所求点距圆心距离。发生在横截面周边上各点处。称为抗扭 截面系数最大切应力tmaxtmax令即OdrtrT三、最大扭转切应力同样适用于空心圆截面杆受扭的情形tmaxtmaxODdTrtr圆截面的极惯性矩Ip和扭转截面系数Wp实心圆截面：几何性质Odrrd空心圆截面：DdrrOd注意：对于空心圆截面

6、DdrrOd四、薄壁圆截面轴的扭转切应力式中： 代表圆管的平均半径， 代表壁厚。等直圆轴材料的许用切应力4-4 圆轴扭转强度条件与合理设计例1 实心等截面直轴，d=110mm，(1) 试求截面上距轴线40mm处的点的剪应力。(2) 若已知=40MPa，试校核轴的强度。解：内力分析由扭矩图得知T2=9.56kN.m危险横截面在AC段，Tmax=9.56kN.m应力计算 强度计算例 图示阶梯状圆轴，AB段直径 d1=120mm，BC 段直径 d2=100mm 。扭转力偶矩 MA=22 kNm， MB=36 kNm， MC=14 kNm。 材料的许用切应力 t = 80MPa ，试校核该轴的强度。解

7、： 1、求内力，作出轴的扭矩图 2214T图（kNm ）MA MBMC ACBBC段AB段2、计算轴横截面上的最大切应力并校核强度即该轴满足强度条件。2214T图（kNm ）例 实心圆截面轴和空心圆截面轴 (a = d2/D2 =0.8) 的材料、扭转力偶矩 Me 和长度l 均相同。试求在 两圆轴横截面上最大切应力相等的情况下，D2/d1 之比以及两轴的重量比。(a)Me Me d1lMe (b)Me lD2d2解 ：已知得两轴的重量比可见空心圆轴的自重比实心圆轴轻。讨论：为什么说空心圆轴比实心圆轴更适合于做受扭构 件？例 圆柱螺旋弹簧如图(簧杆斜度a d 。 试推导弹簧的应力 计算公式。解：

8、1、 求簧杆横截面上的内力分离体的平衡2、求簧杆横截面上的应力a) 与剪力相应的 切应力b)与扭矩相应的最大 扭转切应力max扭矩最大切应力发生在簧丝截 面内侧，其值为:当D d 时, 略去 剪力的影响和簧圈 曲率的影响:当D / d 10 时, 或计 算精度要求较高时,须 考虑剪力和簧圈曲率 的影响:4-5 等直圆轴扭转时的变形刚度条件、扭转时的变形 两个横截面的相对扭转角j扭转角沿杆长的变化率相距d x 的微段两端截面间 相对扭转角为Me Me jdj DTTO1O2ababdxDA等直圆杆仅两端截面受外力偶矩 Me 作用时称为等直圆杆的扭转刚度相距l 的两横截面间相对扭转角为Me Me

9、j(单位：rad)例 图示钢制实心圆截面轴，已知： M1=1592Nm, M2=955 Nm，M3=637 Nm， d =70mm， lAB=300mm ，lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C 相对于B的扭转角jCB。解： 1、 先用截面法求各段轴的扭矩：BA段 AC段M1M3 BACM2 dlABlAC2、 各段两端相对扭转角：jCAjABM1M3 BACM2 dlABlAC3、 横截面C相对于B的扭转角：jABjCAM1M3 BACM2 dlABlAC、刚度条件等直圆杆在扭转时的刚度条件：对于精密机器的轴对于一般的传动轴常用单位：/m例 由45号钢制成的某空心圆截面轴

10、，内、外直径之 比a = 0.5。已知材料的许用切应力t = 40MPa ，切 变模量G=80GPa 。轴的横截面上最大扭矩为Tmax= 9.56 kNm ，轴的许可单位长度扭转角 =0.3 /m 。试选择轴的直径。 解：1、按强度条件确定外直径D2、由刚度条件确定所需外直径D3、确定内外直径扭转超静定问题的解法，同样是综合考虑静力、 几何、物理三方面。其主要难点仍是由变形协调条件 建立补充方程。 例 两端固定的圆截面杆 AB ，在截面 C 处受一扭转 力偶矩 Me 作用如图。已知杆的扭转刚度为GIp，试 求杆两端的支反力偶矩。 解： 一次超静定 设想固定端B为 多余约束，解除后 加上相应的多

11、余未 知力偶矩MB，得基 本静定系。MeABab lCIIIMeMACABIIIxBM4-6 简单静不定轴变形协调条件：根据原超静定杆的约束情况，基 本静定系在B端的扭转角应等于零, 即补充方程为平衡方程：设固定端A的支反力偶为MA ,方向同MB按叠加原理： BB、BM分别为MB、Me引 起的在杆端B的扭转角。 线弹性时，物理关系(胡克定理)为代入上式 可解得 MA可平衡方程求得 。例 图示一长为l 的组合杆，由不同材料的实心圆截 面杆和空心圆截面杆套在一起而组成，内、外两杆 均在线弹性范围内工作，其扭转刚度分别为GaIpa和 GbIpb。当组合杆的两端面各自固结于刚性板上，并 在刚性板处受一

12、对扭转力偶矩Me作用时，试求分别 作用在内、外杆上的扭转力偶矩。 解：画出受力及变形简图写出独立平衡方程一次超静定问题 。 AB laMbMMeABMeeMrbarl变形协调条件：原杆两端各自与刚性板固结在一起 ，故内、外杆的扭转变形相同。即补充方程为代入物理关系(胡克定理)，与平衡方程联立，即 可求得Ma和Mb。并可进一步求得杆中切 应力如图（内、外两杆 材料不同），可见在两 杆交界处的切应力是不 同的。dDT1T1ttt2min1max2max214-7 等直非圆杆自由扭转时的应力和变形横向线变 成曲线平面假设不再 成立，可能产 生附加正应力横截面发生翘曲 不再保持为平面、等直非圆形截面杆

13、扭转时的变形特点非圆杆两种类型的扭转自由扭转(纯扭转)此时相邻两横截面的翘曲程度完全相同，无附加 正应力产生此时相邻两横截面的翘曲程度不同，横截面上有 附加正应力产生1、等直杆两端受外力偶作用，端面可自由翘曲时2、非等直杆扭转、扭矩沿杆长变化、或端面有约束 不能自由翘曲时约束扭转、矩形截面杆自由扭转时的应力和变形一般矩形截 面等直杆ttp时1、 tmax发生在横截面的长边 中点处；2、横截面周边各点的切应力 必定与周边相切，沿周边形 成与扭矩同向的顺流；3、四个角点处t =0 。思考： 存在第二、第三条规律的原因 是什么？矩形截面等直杆自由扭转时应力和变形的计算公式最大切应力（ 长边中点处）短边中点处 的切应力单位长度扭转 角：相当极惯性矩扭转截面系数其中a、b、 与 相关的因数狭长矩形截面杆自由扭转特点：1、沿长边各点的切应力值除靠角点附 近外，均接近相等；2、离短边稍远处，可认为切应力沿厚 度d 按直线规律变化。