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1、25601020304050607080901800 2050 2300 2650 2800 3050 3300 3650 3800 4050高等数学习题参考资料 第十二章 数理统计 1 数理统计的基本概念 样本及其分布习 题1. 观察某医院新生女婴的体重, 取 170 名测得体重如下表, 作总体X的频数 直方图.2880244027003500360030803860320031003500 3180320033003020304034202900344030002620 2720348033203000312031803220316039402620 3120252030602620340
2、021602960298030003020 3760350030603160270035003080310028603500 3000252036603200314031003520364035002940 3620286033003800214030803420290042803400 2900298030002880340034003380382032402640 3020252024003420364027002700350034003240 3200280033002920290019803300326025403140 23003300400034003400270027002920
3、33003640 2620220031602700290031803400316024403100 2840310029803200310032603100316035403760 2540366028203140380018002800266036003220 3100278027602380350033003200340034603500 3740312032802560294028403400342034003400 3120282031002820388025003400354030003200 【解】 1. =x3116.4702. 测量 20 个零件, 其重量和频数列表如下:课后答
4、案网 w w w .k h d a w .c o m257零件重量185192195200202205206207210214218224227 频数2111311222121 将其按5 .228, 5 .183等分成 5 个区间, 列出分组统计表, 并作出频率直方图. 【解】3. 证明: 若随机变量服从)(2n分布, 则nE=, nD2=. 【解】 设随机变量n,21L相互独立, 且都服从标准正态分布) 1 , 0(N, 则它们的平方和22 22 1n+=L服从)(2n分布.()22 iiiEDE=101=,于是=E22 22 1nEEE+LnDini=1;2 iD=222)(iiEE 1)
5、(4224=iiiEEE dxexEx kk2221=dxexx k2 022=dxexkexx kx k220 0222 ) 1(222 +=dxexkx k2202 ) 1(2=dxexkkx k2402 )3)(1(2=,归纳计算得到 =是奇数是偶数kkkkkk Ek224)3)(1(13)3)(1(LL , 4=k,于是34=iE, 2 iD213=, nnD22 =.4. 设总体 X 服从参数为的Poisson分布, nXXX,21L为它的一个样本, 求XE和XD.【解】 = =niiniiEnnE1111; nDnnDniinii= =12 111;频率直方图051012345课后
6、答案网 w w w .k h d a w .c o m2585. 设nXXX,21L是取自总体 X 的一个样本, nX 是它的均值, 221SnnSn=,现又获得一个观察值1+nX, 证明(1) ()nnnnXXnXX+=+1111;(2)() +=+2 122 111 1nnnnXXnSnnS.【解】(1)()121111+=nnnXXXXnXL ()121111 1+=nnXnXXXnnnL111 1+=nnXnXnn()nnnXXnX+=+111;(2) 112 1+=+nSn()2 111+=niniXX +=+ +=112111 111ninniXnXnnXn() =+ +=ninn
7、niXnXnXXn12111 11 11211111 +nnXnnXnn n()()21 111 11+=+ =nnniniXXnXXn()2 132) 1(nnXXnn+11 +=n =ni 1()()()() +2 1212 ) 1(1 112nnnnniniXXnXXnXXXX()2 132) 1(nnXXnn+11 +=n =ni 1()() +2 122 ) 1(1nnniXXnXX()2 132) 1(nnXXnn+11 +=n() =niniXX12()2 13) 1(nnXXnn+()2 132) 1(nnXXnn+ +=+2 12)() 1(1 1nnnXXnSnn6. 设总
8、体X服从指数分布, 其密度函数是)0(a=0, 00,)(xxaexax 求样本均值X的分布.【解】设 =, 0, 0, 0)(xaexxax, ,相互独立, 计算+=的密度函数,( )zdxxzx=)()(dxaeaezxzaax= 0)(azazzzeadxea=202, )0(z.课后答案网 w w w .k h d a w .c o m259于是 )(21212+=, =0002222xxxeaax,现在归纳证明有 =000!)(1yyeynna yanynnnX,事实上若在nk =时成立, 则在1+= nk时, nnnnnn11 11+=+21+=, + =+0001 !)()1(1
9、1 xxexnn nna xxnannn, =+000)()1(2xxaexxna,于是当0z时,dxxzxz n= +)()()( 211dxexnn nnaznaznnnn )1(01111 !+ +=znannn eznna)1(11)!1() 1(+=;当0z时, 0)( 1= +z n, 因此有n的密度函数为 =000!)(1xxexnna xanxnnnX.7. 设总体X服从正态分布)400,80(N, 从总体中抽出一个容量为 100 的样本, 问样本均值与总体均值之差大于 3 的概率是多少?【解】 nNX2 ,)4 ,80(N=, )3|(|XP)3|80(|=XP=)3|(|1
10、XP )8377(1=+.,0,1 );()11 (1cxcxxcx 其中参数10=, 0,0, 0,);(222xxex xx 0，从中抽得样本nXXX,21L，求的极大似然估计量.【解】 令 =niiixXPL1)()( =nix ii ex1222 =niixnnexxx12 21221 L,)(lnL =niiniixnx12 2 11ln2ln , 02212 3=+= =niixnL ,得 =niixn121, 因此取 =niiXn121.8为了估计鱼塘里有多少条鱼，特从塘中捞出 1000 条鱼，标上记号后又放 回湖中，然后再捞出 150 条鱼，发现其中有 10 条鱼带有已给的记号
11、.问在湖中有多 少条鱼，才能使 150 条鱼中出现 10 条带有记号的鱼的概率为最大？【解】此题有多种解法, 下面用矩估计法解. 设湖中有记号的鱼的比例是Nr,其中捕出的s条鱼中有记号的是t条.服从超几何分布, 超几何分布的 数学期望NrsE=, 这是捕到的s条鱼中有记号的鱼的平均数, 现在捕一次, 出现t条有记号的鱼, 由矩估计法, 总体一阶原课后答案网 w w w .k h d a w .c o m263点矩等于样本一阶原点矩, 即tNrs=, 因此取整数得 =trsN.本题有1000=r,150=s, 10=t, 于是 15000101501000=N.湖中约有15000条鱼.9证明在样
12、本的一切线性组合中，X是总体期望值的无偏估计中最有效 的估计量.【解】 记 =niiXnX11, =niiiXaU1, 易证, 若U是无偏估计, 则 =niia11，此时= EXEU, = EXXE. 又 =niiDXnXD121DXn1=, 而DXaDXaDUniiniii = =1212, 211 = =niiaji njiniiaaa =uu, 因此否定假设. 零件平均长度不是 32.5mm3已知某半导体材料中一种微量元素的含量服从正态分布)108. 0,55. 4(2N （单位%），现测定了 9 种该材料产品，这种微量元素含量平均为(%)484. 4，如果 估计方差没有变化，可否认为现
13、在生产的材料该微量元素的平均含量为(%)55. 4？【解】 55. 4:00=H, ) 1 , 0(0NnXu=,484. 4=X, 9=n,108. 0=,3/108. 0|55. 4484. 4|/|0 0=nXu833. 1, 而96. 1833. 1|20=H;1675=x, 5/20015001675/0 0=nxu375. 4=,由于65. 105. 0=u, 而uu=375. 40, 因此拒绝假设,认为该种元件的寿命有显著提高.5按规定，每 100g 的罐头蕃茄中，维生素C的含量不得少于 21mg，现从 市场上的某种牌号的一批罐头中任意抽 16 个，测得维生素C的含量（mg）如下
14、：课后答案网 w w w .k h d a w .c o m2661622202321162522 1523131720291816 已知维生素C的含量服从正态分布，试检验这种罐头中维生素的含量是否合格，取 05. 0=.【解】 本题方差未知. 21:0H 16=n， 75.19=x,2222. 4=S，422. 42175.19/0=nSxt185. 1=，131. 2)15(021. 0=t，由于)15(131. 2185. 1025. 0tt=， 因此接受原假设. 置信区间)998.21,50.17(认为该批产品合格.6一台机床加工圆形零件，从产品中任抽 15 件测量零件的椭圆度，计算得22025. 0=S，若椭圆度服从正态分布，问该批产品椭圆度的总体方差与规定的0004. 02 0=有无明显差别？取05. 0=. 【解】0004. 0:2 02 0=H, 2 02 1:H.2 02 2) 1( Sn =0004. 0025. 0142=78.21=, = ) 115(2 05. 068.23,由于22
