正态分布函数的有界化变换及其在粉碎建模中的应用

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1、理论与实践正态分布函数的有界化变换及其在 粉碎建模中的应用刘建远( 北京矿冶研究总院, 北京 100044)摘 要 正态分布是描述自然和社会现象时常用的一种分布函数形式。对数正态分布函数可用于描述颗粒系统的粒度分布。通过对自变量进行有界化变换能进一步拓宽正态分布函数的适用范围。本文介绍对正态分布函数进行有界化变换处理使之满足特定应用要求的方法, 以有上界的对数正态分布函数形式及其在粉碎建模中的应用为重点。 关键词 正态分布函数 粒度分布 粉碎数学模型 碎裂函数引 言矿物加工领域处理的物料是由大量固体颗粒组成的固体分散系统。颗粒群的粒度分布可定量描述颗粒系统的粒度组成, 是固体分散系统的一个重要

2、特性。在矿物加工的研究开发和生产实践中, 粒度分布是表征物料性质及评价生产过程时的一项重要内容。常用的粒度分布测量分析方法有传统的筛分法、 沉降法、 显微镜分析法以及近年来发展较快的激光衍射分析法等。采用各种测量方法获得的粒度组 成数据通常为一套离散的分布数据, 在实际应用时往往借助于列表法或各种图示法来直观地表示。粒度分布有多种形式的表达方法, 其中粒度分布函数的表达形式已得到越来越多的采用。粒度分布函数在形式上类似于概率论中的随机变量分布函数, 在理论分析时有现成的数学方法可以借用。另一方面, 它的函数图线在意义上与矿物工程领域沿用已久的负累积( 即筛下累积) 粒度特性曲线相一致, 具 有

3、很强的实用性。有时特定物料系统的粒度组成会呈现某些规律性, 在这些情况下尽可能地将粒度分布用一个合适的数学函数来逼近描述便很有意义, 因为这样可从原先个数较多的一套原始粒度分布数据中提取出为数不多的几个特征参数来表达这个分布, 从而有助于进行理论分析和数学建模处理。在建立固体物料粉碎数学模型和进行相关的模拟计算时, 用数学函 数来描述粒度分布的做法已被广泛地采用。对于破碎及磨矿作业给矿或产物的粒度分布, 实践中用得最多的数学函数有以幂函数形式为基本特征的高登- 舒曼( Gaudin -Schuhmann) 分布函数、 以指数函数 形式为基本特征的罗辛- 拉姆勒( Rosin -Rammler)

4、分布函数和对数正态分布函数。这三种函数的共同特点是它们均可用两个特征参数来完整地描述一个分布: 一个是位置参数( 也称粒度模数或特征粒度参 数) , 代表该分布的位置; 另一个是分散程度参数( 也称分布模数) , 表达该分布的分散程度大小。第一种分布函数的自变量取值范围有一个上界( 最大粒度) , 这个上界一般被定义为该分布的粒度模数, 当 粒度变量取这个值时分布函数值等于 1( 即 100%) ;而后两种分布函数的自变量取值范围没有上界, 理论上只有当粒度趋于无穷大时, 这两个分布函数的 值才等于 1。在进行粉碎的数学建模时, 一般采用选择函数和碎裂函数这两个概念来描述窄粒级物料的粉碎行为

5、1。选择函数定义为窄粒级物料经粉碎后离开该粒级( 进入所有更细粒级) 部分的质量分数, 碎裂函数则是这部分碎块的粒度分布函数。根据此定义碎裂函数的自变量( 粒度) 有一个上界, 这个上界即为 初始被碎粒级的粒度下界。因此在破碎磨矿的数学模型中, 高登- 舒曼分布函数形式得到了广泛应用 2, 3 , 尽管这个函数往往仅在有限的区间内与实测值有较好的拟合。在许多粉碎数学模型的研究和 应用中, 人们甚至预先假定这个分布函数形式的适用性而未进行任何实验验证。其实对于许多实际粉碎过程尤其是物料以颗粒床形式受载的粒间粉碎过 程, 用这个形式的分布函数表达碎裂函数时与实测值的拟合程度很有限。26 国 外 金

6、 属 矿 选 矿 2007. 4 1 对数正态分布函数正态分布有着极其广泛的实际背景, 被认为是自然界和社会现象中最常见的一种分布。概率统计 学上的中心极限定理告诉我们, 当一个随机变量受到许多相互独立的随机因素之加和的影响时, 如果其中每项因素的影响都是均匀的、 微小的, 即没有一 项因素起到特别突出的作用, 则这个随机变量趋于服从正态分布。对于位置参数为 L、 分布参数为 R的正态分布, 其分布函数为:F(x) =Qx- f ( t)dtf (x) =1 2PRexp -( x - L )22R2式中: f (x ) - 为随机变量的分布密度函数。在实际进行正态分布函数值的计算时, 一般不

7、 是采用以上两式作积分计算, 而是首先用标准化变换:t =x - L R( 1)将这个一般的正态分布转换为位置参数为 0、分布参数为 1的标准正态分布(也称高斯分布) , 然后从标准正态分布数值表中查出相应的分布函数 值。 标准正态分布的分布密度函数为:f (t) =1 2Pexp -t22正态分布函数本身并不适于用来描述粒度分 布, 因为这里随机变量( 对应于粒度) 的定义域为负无穷大到正无穷大。通过取对数的方法可将自变量的变化区域限制在 0 至正无穷大范围( 当 x 趋于 0时 lnx 趋于负无穷大) , 从而可将分布函数的整个定 义域范围用于粒度分布描述。由于颗粒系统粒度大小的取值范围往

8、往是跨越数量级的, 分布曲线的粒度坐标轴( 横坐标轴) 更多的是用对数轴刻度来表示, 因此采用对数正态分布来表达也是直观和方便 的。从正态分布过渡到对数正态分布后, 中心极限定理所表述的许多相互独立的随机因素之加和的影响也就转化为许多相互独立的随机因素之乘积的影响。具有概率统计学意义是正态分布函数较其他经 验型逼近函数优越的地方。采用标准化变换的方法可将表达粒度分布的对数正态分布函数表示为:F(x) =Qx- f ( t)dtf (t) =1 2Pexp -t22t =ln x - ln L R=1 Rlnx LL= x50R=ln x84- ln x16 2=1 2lnx84 x16(2)式

9、中: x16、 x50和x84- 分别是分布函数取值为16%、50% 和 84% 时的x 值(粒度值)。 L和 R分别是位置参数和分布参数。 实际工作中判断一个颗粒系统是 否符合对数正态分布的简便方法是将粒度分析数据在专用的对数正态分布图纸(此图纸的纵坐标为正态分布概率坐标, 横坐标为对数坐标) 上作图, 若数据点排列为一直线, 则此颗粒系统符合对数正态分布。2 有上界的对数正态分布函数粉碎数学模型中的碎裂函数实质上是一种具有粒度上界的粒度分布函数。为了使对数正态函数能满足表达碎裂函数的目的, 首先以粒度上界值 xmax 为基准定义相对粒度变量:N=x xmax(3)并标记:L=x50 xma

10、x; N84=x84 xmax; N16=x16 xmax然后进行如下的有界化变换:G=N 1- N(4)并标记:G50=L 1- L; G84=N84 1- N84; G16=N16 1- N16当自变量 x 趋于粒度上界值 xmax时相对粒度 N便趋于 1, 而变换后的新变量 G则趋于无穷大。 将此变量 G作为对数正态分布函数的自变量, 即R=ln G84- ln G16 2=1 2lnG84 G16t =ln G- ln G50 R=1 RlnG G50f ( t) =1 2Pexp -t22F( x) =Qx- f (t)dt这样就得到一个对于原始自变量 x 而言有上界的对数正态分布。

11、 这个分布函数具有三个参数, 除了位置参数L和分布参数R外, 另一个参数为定义相对 粒度时用到的上界参数 xmax。 判断一个分布是否符合有上界的对数正态分布时, 可先由原始自变量27 2007. 4 国 外 金 属 矿 选 矿 x(粒度值) 和上界参数 xmax用(3) 和( 4) 式计算 G值, 再以 G值对分布函数值在对数正态分布纸上作图, 若数据点排列为一直线, 则此分布符合有上界的对数正态分布。 由于这里 G值的意义不太直观, 计算 各点 G值后再在对数正态分布纸上描点作图又比较麻烦, 我们可在对数正态分布纸上对横坐标轴进行改造, 让原来关于 G值的对数坐标刻度/ 退居幕后0, 换上

12、与各 G值相对应的相对粒度N值的坐标刻度, 从而得到较为实用方便的关于这种分布的专用图纸(见图1) , 使用时可直接以相对粒度N值对分布函数值作图4 。图 1 有上界的对数正态粒度分布专用图纸图 2 窄粒级颗粒床粒间粉碎时碎裂函数的测定值在专用图纸上的描绘结果试验研究发现, 有上界的对数正态分布函数非常适合于用来描述以颗粒床形式受载为特征的粒间粉碎的碎裂函数 4, 5。图 2 是对三种窄粒级( 分别是3200/ 4000 Lm、 800/ 1000 Lm 和 200/ 250 Lm) 石英颗粒床进行不同强度的粒间粉碎压载后碎裂函数的测定值在专用图纸上的描绘结果, 从中可以看出各 套测量数据具有

13、很好的线性拟合程度。窄粒级颗粒床粒间粉碎试验结果表明, 施载强度( 比能耗) 不变时, 随着被碎粒级粒度的减小, 碎裂函数的位置参数 L值增大, 分布参数 R 减小; 固定被碎粒级大小时,随着施载强度的增加, 碎裂函数的位置参数 L值减小, 分布参数 R增大6 。图 3 高压辊磨机粉碎模型中各窄粒级的碎裂函数图 3 表示将有上界的对数正态分布函数用于 描述高压辊磨机粉碎模型中的碎裂函数时在粒级0 1 063/ 0 1080mm 和粒级 16/ 20mm 之间所有 R10粒级( 筛比为1010) 的碎裂函数绘制于半对数坐标图( 粒度横坐标轴为对数轴, 分布函数纵坐标为线性 轴) 中的结果7 。可

14、以看出, 中间粒级的碎裂函数不如粗粒级和细粒级的碎裂函数那么陡, 即中间粒级碎裂函数的分散程度更大, 这与宽粒级颗粒床受载时中间粒级与粗粒级和细粒级相比较有更大的能量吸收、 从而有更显著粉碎效应的规律相一致。在一 般的粉碎数学建模时常用到的一个假设是不同粒级的碎裂函数具有/ 自相似性0, 即可用唯一的一条以相对粒度表示的碎裂函数曲线来代表所有粒级的碎裂函数。若这个假设成立, 则在半对数坐标图中所有粒级的碎裂函数曲线就应有完全一致的形状。从 图 3 中可见, 这个假设在宽粒级颗粒床粒间粉碎的情况下并不适用: 在较宽的粒度区间内, 不同粒级的碎裂函数曲线的走向是变化的; 实际上只有当被碎粒级粒度大

15、小相差不大、 而且所考察的碎裂函数粒 度分布的区间也不太宽时, 这个简化假设才是勉强可以接受的。采用有上界的对数正态分布来逼近描述碎裂函数时, 由于上界参数总是固定为各个被碎粒级的粒度下界值, 实际可变的拟合参数仍只有两 个, 即位置参数 L和分布参数 R。通过变化这两个参数, 可以使粒度和施载强度对碎裂函数的影响得28 国 外 金 属 矿 选 矿 2007. 4 到很好的表达, 突破了采用自相似性假设的局限, 使数学模型和模拟计算结果更加接近原型的实际情况。3 有上界和下界的对数正态分布函数实际的颗粒物料系统有时不仅具有一个粒度上界, 而且还有一个粒度下界。例如, 一个闭路粉碎回 路中分级作

16、业的返砂在分级效率较高时可以认为是一个以分级粒度为下界、 给料最大粒度为上界的颗粒系统。通过对自变量进行适当的变换, 对数正态函数也能用于表达这类物料的粒度分布。首先仍以 粒度上界值 xmax为基准定义相对粒度变量:N= xx xmax 并标记L=x50 xmax; N84=x84 xmax; N16=x16 xmax; Nmin=xmin xmax 然后进行与粒度下界值 xmin有关的有界化变 换:G=N- Nmin 1- N( 5)并标记G50=L- Nmin 1- L; G84=N84- Nmin 1- N84; G16=N16- Nmin 1- N16当自变量 x 趋于粒度上界值xmax时相对粒度 N 趋于 1, 变换后的新变量 G趋于无穷大; 当自变量 x趋于粒度下界值 xmin时相对粒度 N趋于Nmin/ Nmax, 变换后的新变量 G趋于 0, ln G趋于负无穷大。 将此变 量 G作