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1、一阶电路的充放电时间常数 宋文玉(山东师范大学学报编辑部,250014 ,山东省济南市)摘 要 从电路方程推导出一阶电路充放电时间常数,并论证了的物理意义和几种计算方法.关键词 一阶电路 零输入响应 零状态响应 特征频率 时间常数 分类号 O453根据动态元件的伏安关系和电路的约束关系,可以对给定的一阶电路列写其动态方程式1.例如,对图1所示RC电路,由基尔霍夫电流定律KCL得iC+ iR= iS.(1)代入元件的伏安关系VA R,整理得dv dt+1 RCV ( t) =iS C(2)对于RL电路(图2) ,由基尔霍夫电压定律KVL得vL+ vR= vS.(3)代入元件伏安关系VAR ,整理
2、得di dt+R Li =vS L.(4)图 1 图 2 可以看出,(2)式给出的是RC电路中电容电压及其导数与电路参数、 激励源之间的动态第22卷 第1期 1996年1月曲阜师范大学学报 Journal of Qufu Normal UniversityVol. 22 No. 1 Jan. 1996收稿日期:19950109关系(RC电路动态方程) ,(4)式给出的是RL电路中电感电流及其导数与电路参数和激励源 之间的动态关系(RL电路动态方程)所决定.它们都是线性常系数一阶常微分方程,其一般表 示式为dy dt+y ( t) = f ( t) , t0.(5)由高等数学知识可知,一阶微分方
3、程的解等于该方程的特解与对应的齐次微分方程的通解之 和2,即y ( t) = yx ( t)+ yf ( t),(6)其中,yx ( t)=y(0)e-t是一衰减的指数函数,它与输入激励无关,仅取决于电路的初始状态y(0)和电路的结构,又称为输入激励为零时,由初始状态引起的响应(零输入响应) ;yf ( t)= t0e-( t-)f ()d是输入激励f ( t)的积分,与初始状态无关,仅仅由输入激励所引起的响应(零状态的响应)所决定.比较式(2)与式(5) ,得= 1/( RC),它是由电路参数所决定的.因为电路的零输入响应yx ( t)=y(0)e-t=y(0)e-t RC,是随时间衰减的指
4、数函数,其中指数项e-t= e-t RC必然是无量纲的.因此R和C的乘积具有时间的量纲 R C=欧姆 法拉=伏特 安培库仑 伏特=库仑 安培=秒.所以在电路理论中= 1/( RC) ;在RL电路中则=L/ R ,它们统称为一阶电路的充放电 时间常数. 从高等数学中可以得到,反映电路参数的时间常数实际上是一阶微分方程特征根S的 倒数的相反数( S= -RC) ,因此, S具有时间倒数或频率的量纲,称为电路的固有频率.在电路理论中,固有频率代表电路的固有性质,在RC和RL电路中固有频率都是负实数,表明电 路的零输入响应是按指数规律衰减的,而衰减的快慢由的大小所决定. 一阶电路的零输入响应是由电路初
5、始状态所引起的响应,或者说是由于在t= 0时刻电容 或电感贮能而引起的电路响应.由于电阻R的存在,在没有外施电源条件下( f( t)= 0) ,原有的 贮能必然要衰减到零.即在RC电路中,电容电压vc由初始值v(0)单调地衰减到零,其时间常数=RC;在RL电路中,电感电流由初始值i(0)单调地衰减到零,其时间常数=L/ R.还应 当指出,在RC和RL电路中各元件电压、 电流与状态变量vC、iL有的是受代数关系约束(如R) ,有的是受微分或积分关系约束(如C和L) ,而一个指数函数的导数或积分仍然是一个指 数函数,只是其系数不同而已.因此, RC、RL电路中其它各元件电压、 电流也是按指数规律衰
6、 减的,并且具有同样的时间常数,只是初始值各不相同而已.由yx ( t)=y(0)e-t/,将一阶电路的零输入响应随时间按指数规律衰减的变化趋势列表如下: 附 表t02345yx ( t)y(0)0. 368y(0)0. 135y(0)0. 050y(0)0. 018y(0)0. 007y(0)019第1期 宋文玉:一阶电路的充放电时间常数 由附表可以看出,在t=时, y( t)衰减到y(0)的0. 368倍.因此可得:时间常数为一阶 电路零输入响应中状态变量衰减为原来值的36. 8 %所需要的时间.当不知道电路中电阻、 电 容(或电感)的大小时,可用实验的方法测出电容电压或电感中电流随时间变
7、化的曲线,在初始 时刻( t= 0)做y(0)的切线,使其与y()时的值相交,相交点在时间轴上的投影即为该电路的时间常数3.在零输入状态下电路的响应曲线是按指数规律衰减的(图3) ,在零状态下电路的响应曲 线是按指数规律增长的(图4) .电路在y(0)(0)、f( t)(0)共同作用下的完全响应又分两种情况:当y()y(0)时表示电路变量y( t)在f( t)激励下,最终值大于初始值(图5) ,电路状态变 量仍按指数规律增长;当y()y(0)时电路的完全响应图6 y()21时,电路状态变量的变化曲线. 在RC电路中,对应相同的初始条件,C越大,贮存的能量越多( WC= (1/ 2)Cv20)
8、,而R越大,电路中电流越小( i=vC Re-t/) ,放电持续时间越长.因此,正比于RC乘积.在RL电路中,对应于相同的初始条件, L越大,贮存能量越多( WL= (1/ 2)Li2(0) ,而R越小,电阻消耗的功率越小(P=i2R) ,电阻上能量的变化越慢( P= dw/dt) ,放电时间越长,因此,在RL电 路中=L/ R.图7 电路状态变量的变化曲线在电路理论中,改变电路的时间常数,不仅可以延长或缩短电路的充放电时间,还可以组 成微分电路、 积分电路,以及耦合电路、 加速电路等.参考文献1 郭根生,宋文玉.一阶电路的完全响应.山西师大学报,1994 ,2 :292 同济大学数学研究室编
9、.高等数学(下) .北京:高等教育出版社,1980. 2513 邱关源主编.电路.北京:人民教育出版社,1984. 310THE NATURAL TIME CONSTANT OF A FIRST-ORDER CIRCUITSong Wenyu(Editorial Department of Journal , Shandong Teachers University , 250014 , Jinan , Shandong)Abstract The natural time constant of a first-order circuit from the equation of the circuit isgiven , and the physics meaning and several calculating methods ofare discussed.Key words first-order circuit zero-input response zero-state response natural frequen2cy time constant39第1期 宋文玉:一阶电路的充放电时间常数
