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1、基于过程和生成的初中数学有效教学设计及思考基于过程和生成的初中数学有效教学设计及思考 问题提出：问题提出：全日制义务教育数学课程标准明确规定在七年级（上）阶段要学习“数与代数”中的有理数、 整式、方程， “空间与图形”中的图形的变化、展开与折叠、三种视图及平面图形得的认识（一）等知 识，探索数、形及实际问题中蕴含的关系和规律，发展数感、符号感，体会数学与现实生活中的联 系，增强应用意识，初步培养学生的空间想象能力，了解简单平面图形的性质，发展有条理的表达 和思考，提高利用数学知识解决问题的能力但由于对新课程理念理解不到位以及缺乏经验和能力， 课堂教学出现了形式化、低效化的现象，在课堂教学层面所
2、遭遇到的最大的挑战就是低效问题，提 升课堂教学的有效性变得非常紧迫本文结合初中数学教学过程，从课堂教学设计的角度探索如何 提高课堂教学的有效性 对策研究：对策研究： 一、有效教学设计的认识一、有效教学设计的认识1有效教学有效教学：主要是指通过教师在一段时间的教学之后，学生获得的具体进步或发展也就是说， 学生有无进步或发展是有没有效益的唯一指标教学有没有效益，并不是指教师有没有完成教学内 容或教学得认不认真，而是指学生有没有学到什么或学生学得好不好有效教学的核心是要促进学 生的真正成长，包括知识、能力和情感及创造力的培养，从而让学生身心得到全面健康发展2有效教学教学设计有效教学教学设计：教学设计
3、是教师为将要进行的教学勾画的图景、流程，反映了教师对自己未 来教学的一种认识和期望，教学设计在很大程度上决定了教学活动的成效有效教学设计会使每一 位学生都有最充分地运用自己的潜能去获得发展的机会，从而极大地影响他们数学学习的效果有 效教学取决于有效的教学设计二、有效教学设计中要关注学生数学知识的建构过程二、有效教学设计中要关注学生数学知识的建构过程 1关注数学概念的形成过程关注数学概念的形成过程 数学知识有些是生活实际问题中抽象出来的，有些是由于数学自身发展与需要产生的，在教学 过程中要关注知识的形成过程，通过创设合适的问题，让学生在原有知识基础上自主建构新的知识， 不能将数学知识的教和学变成
4、简单的告知和规定 概念是反映客观对象的一般的、本质属性的思维形式，是在感觉、知觉和观念诸过程的综合的 基础上产生的每个概念都有一定的内涵和外延：内涵指概念的所包含的一切对象的共同本质属性 的总和，而外延是指适合概念的一切对象的范围内涵与外延存在反比例关系律：内涵越大，外延 越小；反之内涵越小，外延越大 数学概念的形成是学生思维从特殊到一般的过程，数学概念的概括是使概念越来越趋向一般化 的思维活动 【案例 1】初中阶段函数概念的形成过程（1）函数概念的初步建构）函数概念的初步建构函数是“数与代数”中的重要内容，是学生比较难建立的一个抽象数学概念教材内容安排在八年 级（上）第五章，学生在第四章已经
5、对数量、位置的变化有了较多的认识和理解，并掌握了表示数 量变化关系的三种方法（表格、图形和数学式子） 函数概念的建构已经有了一定的基础，但学生对 变量以及对变量之间的关系还没有认识，需要在函数概念的教学中重点把握片段 1：函数问题 1：如何表示数量的变化？ 问题 2：观察某日的气温变化图你从中获得哪些信息？ 子问题：这天的 6 时、10 时和 14 时的气温分别为多少？任意 给出这天中的某一时刻，说出这一时刻的气温 这一天中，最高气温是多少？最低气温是多少？ 这一天中，什么时段的气温在逐渐升高？什么时段的气温在逐渐降低？ 从图中我们可以看到，随着时间 t（时）的变化，相应地气温 T（）也随之变
6、化 问题 3：圆的面积随着半径的增大而增大如果用 r 表示圆的半径，S 表示圆的面积则 S 与 r 之间满图 17.1.1 足下列关系：S_利用这个关系式，试求出半径为 1 cm、1.5 cm、2 cm、2.6 cm、3.2 cm 时圆的面积，并将结果填入右表，由此可以看出，圆的半径越大，它的面积就_问题 4：上面的问题中气温与时间、面积与半径、 等量有什么特点？你能将它们进行分类吗？ 问题 5：你能给这些量下个定义?（常量与变量） 问题 6：你能刻画像气温与时间、面积与半径之间的关系吗？形成函数概念：一般地，如果在一个变化过程中，有两个变量，例如 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有惟
7、一的值与之对应，我们就说 x 是自变量，y 是因变量，此时也称 y 是 x 的函数 问题 7：上面的函数关系中，自变量有取值范围吗？ 思考：这里从具体的问题情境中建立常量和变量两个概念，在此基础上研究变量之间的关系，从具 体的变量关系中概括出函数概念的内涵：“对于变量 x 和 y，对于 x 的每一个值，y 都有惟一的值与之 对应”，从对应的角度建构函数的一般概念 “问题是数学的心脏”，通过设置“问题串”，在问题解决的 过程中初步完成函数概念的形成与建构 （2）通过具体函数加深函数概念的理解）通过具体函数加深函数概念的理解对函数概念的认识仅停留在内涵是不够的，需要通过函数外延的界定进一步加深对函
8、数的认 识在函数的外延中，有一次函数、反比例函数和二次函数等，对它们的研究有助于学生形成函数 的概念 片段 2：一次函数 问题 1：求下列变量 y 与变量 x 之间的函数关系式？ 正方形面积 y 与边长 x 之间的函数关系； 正方形周长 y 与边长 x 之间的函数关系； 长方形的长为常量 a 时，面积 y 与宽 x 之间的函数关系； 长方形面积为 2，长 y 与宽 x 之间的函数关系； 长方形的周长为 50，长 y 与宽 x 之间的函数关系问题 2：能否将 yx2，y4x，yax，y ，y252x 进行分类？分类的标准是什么？2x 问题 3：能否给像 y4x，yax，y252x 等函数起个名字
9、？如何下定义（揭示内涵）？ 问题 4：下列函数哪些是一次函数？哪些是正比例函数？说明你的理由y2x1；y4x；y2x21；y1x1 思考：这里从概念的外延入手，通过分类和比较，将一次函数的内涵从具体函数关系中抽象出来， 形成一次函数概念的内涵；再通过具体的函数关系式对一次函数概念的外延的进行界定，使学生在 从特殊到一般再到特殊的思维活动中逐步形成对一次函数概念内涵的认识 （3）重视研究函数方法的归纳）重视研究函数方法的归纳根据学生认知特点和课程标准的要求，初中教材分别在八年级（上） 、八年级（下）和九年级 （下）编排一次函数、反比例函数和二次函数等内容，分布比较松散，学生在学习过程中经历螺旋
10、式上升的过程，但不易形成较好的知识和方法系统，在学习过程中就需要整体把握方法，逐步体验 和积累学习函数的经验和能力，注重方法的归纳 初步形成方法和经验一次函数内容是学生在初步建构函数概念之后所学习的第一个具体函数，对一次函数的学习是为 今后学习函数积累经验的重要阶段，在教学过程中要特别关注一次函数的研究方法及提升 片段 3：一次函数的图象及性质 问题 1：观察某日的气温变化图观察该图，你能说出它的特点吗？ 气温变化图可以直观地表示出不同时间的气温，反映出气温变化的规律问题 2：你会画函数 y x2的图象吗？画函数的一般步骤有哪些？12问题 3：你能画函数 y ，y2x，y3x2 图象吗？1x
11、问题 4：观察你所画的函数的图象，你说出一次函数图象的特点吗？你根据这种特点比较简洁地画 出一次函数的图象吗？（两点决定一直线） 问题 5：画出下列函数图象，比较下列各对一次函数的图象有什么共同点，有什么不同点？y3x 与 y3x2；y x 与 y x2；y3x2 与 y x2121212 思考：能否从中发现一些规律？对于直线 ykxb(k、b 是常数，k0)，常数 k 和 b 的取值对于直线 的位置各有什么影响?对函数的性质有什么影响？问题 6：观察函数 y2x1，yx，y2x1，yx 的图象，思考当一个点在直线上从左向右 移动（自变量 x 从小到大）时，它的位置如何变化？这种变化与函数关系
12、式中哪个量有关系？ 比较得到一次函数 ykxb 有下列性质：当 k0 时，y 随 x 的增大而增大，这时函数的图象从左 到右上升；当 k0 时，y 随 x 的增大而减少，这时函数的图象从左到右下降思考：对一次函数的研究过程，应该初步形成学习函数的方法：从具体问题中抽象出具体的函数 模型；建构具体函数概念（内涵的概括和外延的界定） ；研究函数的表示和性质（描点法得到函 数图象观察得到函数性质性质指导下画函数图象） ；利用函数模型解决实际问题（体现数学的 应用价值） 逐步归纳和提升方法与经验数学家波利亚说：“类比是伟大的引路人”类比是科学研究最普遍的方法，它是两个不同对象在 某些方面的类同之处，猜
13、测它们之间的相似之处，而做出某种判断的推理一次函数、反比例函数 及二次函数都是具体的函数，属于函数的外延，学习一次函数的过程和方法可以类比应用在其它函 数的学习过程中通过一次函数的学习，学生初步体会和积累了研究和学习具体函数的方法和经验， 在后面反比例函数和二次函数的学习中，可以按照已有的方法进行学习，形成研究问题的模型化策 略 片段 4：二次函数 问题 1：用长为 16 m 的篱笆围成长方形的生物园饲养兔子，求长方形面积 y 与一边长 x 之间的函 数关系式； 求正方形面积 y 与边长 x 之间的函数关系式； 长方形面积为 1，求长 y 与宽 x 之间的函数关系式； 长方形周长为 2，求长
14、y 与宽 x 之间的函数关系式 问题 2：在上面问题中的函数可以分成几类？哪些是我们学过的？对没有学过的函数有哪些特征？ 问题 3：什么叫二次函数？一般地，形如 yax2bxc(a、b、c 是常数，a0)的函数称为二次函数 问题 4：你应该如何学习二次函数？引导学生回顾学习一次函数、反比例函数的过程和方法，类比得到研究二次函数的方法：可以从二 次函数的图象入手，用描点法得到二次函数的图象；观察图象，数形结合，得到函数的性质；在函 数性质的指导下再次研究二次函数；通过实际问题的应用，体会二次函数是解决生活中有关问题的 有效模型 问题 5：请同学们用描点法画出函数的图象，并观察图象的特征 研究最简
15、单的二次函数 yx2的图象； 研究二次函数 y2x2的图象； 研究二次函数 y2x21 的图象； 研究二次函数 y2(x1)21 的图象； 研究二次函数 y2x24x3 的图象 问题 6：二次函数的性质如何？（对称性、开口方向、顶点与函数最值等）问题 7：请根据函数 yx22x2 的性质画出函数的图象(五点作图法) 思考：二次函数是继一次函数、反比例函数之后的又一重要的代数函数，是描述现实世界变量之间 关系的重要数学模型在教学过程中，可以从整体把握，让学生根据学习一次函数和反比例函数的 经验和方法，提出学习的内容和方法（函数的图象性质图象应用） 对比较复杂的二次函数图 象的研究，可以简单化、特殊化，再根据类比和推广得到解决问题的一般方法，从而得到二次函数 的图象 课堂教学中学生的学习可能是局部的、零散的，但使学生经历提出问题、研究问题、解决问题的过 程，使学生的学习从预先设计的程序中的被动角色转化为掌握方法、自我探究的主动学习者 在函数及具体函数的学习中，既需要整体形成学习方法，又要根据不同函数的性质确定不同函 数的特殊研究方向，为今后在高中学习指数、对数和幂函数做好方法和经验的积累 2关注法则规定合理性的理解关注法则规定合理性的理解数学概念、法则的规定，有些是数学内部的需要，可以用演绎的方法，有些则是合情推理的方式 得到直线（射线、线段）的表示看似规定，
