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1、第二篇 材料力学 第14章 压杆稳定 v 第14章 压 杆 稳 定 14.1压杆稳定的概念 v 在前面几章中讨论了杆件的强度和刚度问题。在工程实际中，杆件 除了由于强度、刚度不够而不能正常工作外，还有一种破坏形式就 是失稳。什么叫失稳呢？在实际结构中，对于受压的细长直杆，在 轴向压力并不太大的情况下，杆横截面上的应力远小于压缩强度极 限，会突然发生弯曲而丧失其工作能力。因此，细长杆受压时，其 轴线不能维持原有直线形式的平衡状态而突然变弯这一现象称为丧 失稳定，或称失稳。杆件失稳不仅使压杆本身失去了承载能力，而 且对整个结构会因局部构件的失稳而导致整个结构的破坏。因此， 对于轴向受压杆件，除应考
2、虑强度与刚度问题外，还应考虑其稳定 性问题。所谓稳定性指的是平衡状态的稳定性，亦即物体保持其当 前平衡状态的能力。v 如图14.1所示，两端铰支的细长压杆，当受到轴向压力时，如果 是所用材料、几何形状等无缺陷的理想直杆，则杆受力后仍将保持 直线形状。当轴向压力较小时，如果给杆一个侧向干扰使其稍微弯 曲，则当干扰去掉后，杆仍会恢复原来的直线形状，说明压杆处于 稳定的平衡状态(如图14.1(a)所示)。当轴向压力达到某一值时， 加干扰力杆件变弯，而撤除干扰力后，杆件在微弯状态下平衡，不 再恢复到原来的直线状态(如图14.1(b)所示)，说明压杆处于不稳 定的平衡状态，或称失稳。当轴向压力继续增加并
3、超过一定值时， 压杆会产生显著的弯曲变形甚至破坏。称这个使杆在微弯状态下平 衡的轴向荷载为临界荷载，简称为临界力，并用 表示。它是压杆 保持直线平衡时能承受的最大压力。对于一个具体的压杆(材料、 尺寸、约束等情况均已确定)来说，临界力 是一个确定的数值。 压杆的临界状态是一种随遇平衡状态，因此，根据杆件所受的实际 压力是小于、大于该压杆的临界力，就能判定该压杆所处的平衡状 态是稳定的还是不稳定的。图14.1 压杆的稳定性v 工程实际中许多受压构件都要考虑其稳定性，例如千斤顶的丝杆， 自卸载重车的液压活塞杆、连杆以及桁架结构中的受压杆等。 v 解决压杆稳定问题的关键是确定其临界力。如果将压杆的工
4、作压力 控制在由临界力所确定的许用范围内，则压杆不致失稳。下面研究 如何确定压杆的临界力。14.2 理想压杆临界力的计算v 14.2 理想压杆临界力的计算 v 所谓理想压杆指的是中心受压直杆。因为对于实际的压杆，导致其 弯曲的因素有很多，比如，压杆材料本身存在的不均匀性，压杆在 制造时其轴线不可避免地会存在初曲率，作用在压杆上外力的合力 作用线也不可能毫无偏差地与杆轴线相重合等。这些因素都可能使 压杆在外力作用下除发生轴向压缩变形外，还发生附加的弯曲变形 。但在对压杆的承载能力进行理论研究时，通常将压杆抽象为由均 质材料制成的中心受压直杆的力学模型，即理想压杆。因此“失稳” 临界力的概念都是针
5、对这一力学模型而言的。 v 14.2.1 两端铰支细长压杆的临界力v 现以两端铰支，长度为 的等截面细长中心受压(如图14.2(a)所 示)为例，推导其临界力的计算公式。假设压杆在临界力作用下轴 线呈微弯状态维持平衡 (如图14.2(b)。 此时，压杆任意 x截面沿 y方向的 挠度为 该截面上的弯矩为v 图14.2 两端铰支的压杆v (a) v 弯矩的正、负号按第11章中的规定，挠度 以沿y 轴正值方向为 正。 v 将弯矩方程 代入式(14-1b)，可得挠曲线的近似微分方程 为 v (b) v 其中， I为压杆横截面的最小形心主惯性矩。 v 将上式两端均除以 EI，并令 v (c) v 则式(
6、b)可写成如下形式v (d) v 式(d)为二阶常系数线性微分方程，其通解为 v (e) v 式中 A、 B 和 K三个待定常数可用挠曲线的边界条件确定。 v 边界条件： v 当 时x=0， w=0，代入式(e)，得 。式(e)为 v (f) v 当 时x=l， w=0 ，代入式(f)，得 v (g) v 满足式(g)的条件是 A=0，或者 。若 A=0 ，由式 (f)可见 w=0 ，与题意(轴线呈微弯状态)不符。因此，只有v (h) v ( ) v 其最小非零解是 n=1的解 (i) v 即得 v （14-1) v 式(14-1)即两端铰支等截面细长中心受压直杆临界力 的计算公 式。由于式(
7、14-1)最早是由欧拉( L.Enlen)导出的，所以称为欧 拉公式。 v 将式(i)代入式(f)得 v (j)v 将边界条件 ， ( 为挠曲线中点挠度)代入式(j)，v 得 v v 将上式代入式(j)可得挠曲线方程为 v v (k) v 即挠曲线为半波正弦曲线。14.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的 临界力v 14.2.2 一端固定、一端自由细长压杆的临界力 v 如图14.3所示，一下端固定、上端自由并在自 由端受轴向压力作用的等直细长压杆。杆长为 l， 在临界力作用下，杆失稳时假定可能在xy 平面内 维持微弯状态下的平衡，其弯曲刚度为 EI， 现推导其临界力。v 图14.3 一端固定，
8、一端自由的压杆v 根据杆端约束情况，杆在临界力 作用下的挠曲线形状如图14.3 所示，最大挠度 发生在杆的自由端。由临界力引起的杆任意 x 截面上的弯矩为 v (a) v 式中， w为 x截面处杆的挠度。将式(a)代入杆的挠曲线近似微分 方程，即得 v (b) v 上v 式两端均除以 EI，并令 ，经整理得 v v (c)上式为二阶常系数非齐次微分方程，其通解为 v (d) v 其一阶导数为 v (e) v 上式中的 A、 B、 K可由挠曲线的边界条件确定。v 当 x=0时,w=0， 有 。 v 当 x=0时,w=0 ，有 A=0。 v 将 A、B 值代入式(d)得 v (f) v 再将边界条
9、件 ， 代入式(f)，即得 v (g) v 由此得 v (h) v 从而得 v (i)v 其最小非零解为 n=1 的解，即 。于是该压杆临界力 的 欧拉公式为 v (9-2) v 将 代入式(f)，即得此压杆的挠曲线方程为 v v 式中， 为杆自由端的微小挠度，其值不定。14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力v 14.2.3 两端固定的细长压杆的临界力 v 如图14.4(a)所示，两端固定的压杆，当轴向力达到临界力 时 ，杆处于微弯平衡状态。由于对称性，可设杆两端的约束力偶矩均 为 M，则杆的受力情况如图14.4(a)所示。将杆从 x截面截开， 并考虑下半部分的静力平衡(如图14.4(b)所示)，可得到 x截面 处的弯矩为 v (a) v 代入挠曲线近似微分方程，得 v (b)v 图14.4 两端固定的压杆 两边
