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1、2007 年上海市高中数学竞赛试卷(2007 年 3 月 25 日 星期日 上午 8:3010:30)【说明】解答本试卷不得使用计算器一、填空题(本题分一、填空题(本题分 60 分,前分,前 4 小题每小题小题每小题 7 分,后分,后 4 小题每小题小题每小题 8 分)分)1方程的实数解 _2有一条长度为 1 的线段,其端点在边长为 3 的正方形的四边上滑动,当EF绕着正方形的四边滑动一周时,EF的中点所形成的轨迹的长是_3复数数列满足,则它的前 2007 项的和为_4已知是大小为的二面角,为二面角内一定点,且到半平面 和的距离分别为和 6,分别是半平面,内的动点,则周长的最小值为_5已知平面
2、直角坐标系中点与点的对应法则 .若一段曲线在对应法则 下对应椭圆的一段弧,则这段曲线的方程是_6已知,计算:_7已知数列满足,则数列 nx的通项公式_8已知圆,过轴上的点存在的割线,使得,则点的横坐标的取值范围是_ 二、解答题二、解答题9(本题满分 14 分)对任意正整数,用表示满足不定方程的正整数对的个数,例如,满足的正整数对有三个,则求出使得的所有正整数 10(本题满分 14 分)已知关于的方程有 3 个正实根,求的最小值11(本题满分 16 分)已知抛物线,是过焦点的弦,如果与轴所成的角为,求BAFxyO12(本题满分 16 分)求满足如下条件的最小正整数,在圆的圆周上任取个点,则在个角
3、中,至少有 2007 个不超过2007 年上海市高中数学竞赛答案一、填空题一、填空题(本题满分 60 分,前 4 小题每小题 7 分,后 4 小题每小题 8 分) 1、 2、 3、 4、 5、 6、 7、 8、二、解答题二、解答题9(本题满分 14 分)对任意正整数n,用 nS表示满足不定方程nyx111 的正整数对yx,的个数,例如,满足2111yx的正整数对有6 , 3,4 , 4,3 , 6三个,则 . 32 S求出使得 2007nS的所有正整数n 解解 由知令,则等于正整数对的个数,从而 nS等于的正约数的个数.(3 分)设,其中为不同质数,且则正约数个数为(6 分)令,则或,或或满足
4、条件的或或或(14 分)(每个答案 2 分,共 8 分)10(本题满分 14 分)已知关于x的方程0462sinsin23xxx有 3 个正实根,求22sin3sin6cos2cos13sin4sin92u 的最大值解解 原方程为.因为原方程有三个正实根,所以关于的二次方程有两个正实根.(3 分)故(6 分)(10 分)当时,等号成立.(14 分)11(本题满分 16 分)已知抛物线022ppxy,AB是过焦点F的弦,如果AB与x轴所成的角为,求AOB解解 以 F 为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,则抛物线方程为(这里为级角).作 AM 轴,其中 M、N 为垂足.于是(8 分)又.(12 分
5、)于是.(16 分)【另解】当时,AB 的方程可写为,即.这个结果对也成立.(4 分)将它代入抛物线方程,得FOABxMNPBAFxyOQ(8 分)过 A、B 分别作轴的垂线 AP、BQ.连 AO、BO,则(12 分)(16 分)12(本题满分 16 分)求满足如下条件的最小正整数n,在圆O的圆周上任取n个点nAAA,21 ,则在2 nC个角njiOAAji1中,至少有 2007 个不超过o120解解 首先,当时,如图,设 AB 是O 的直径,在点 A 和 B 的附近分别取 45 个点.此时只有个角不超过 120,所以不满足题意.(4 分)当时,下面证明至少有 2007 个角不超过.对圆周上的 91 个点,若则连.这样就得到一个圆.设圆中条边,当时,圆G中没有三角形.若l=0,则有个角不超过o120,命题得证.(8 分)若l1,不妨设 A1、A2之间有边相连,因为圆中没有三角形,所以对于点,它至多于 A1、A2中的一个有边相连,所以,其中表示从 A 处引出的边数.,而对圆G中每一条边的两个顶点,都有.于是上式对每一条边求和可得(12 分)由柯西不等式,所以ABO所以 91 个顶点中,至少有个点对,它们之间没有边相连,从而对应的顶点所对应的角不超过 120.综上所述,的最小值为 91.(16 分)