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1、习题四习题四 随机变量的数字特征随机变量的数字特征 一、填空题一、填空题 1.若随机变量.若随机变量 X 服从区间服从区间a,b的均匀分布，则 Eb的均匀分布，则 EX=_, D=_, DX=_ =_ 2.若随机变量2.若随机变量 X 服从参数为服从参数为的泊松分布，且已知的泊松分布，且已知 E(X-1)( X-2)=1,则,则=_ =_ 3.设随机变量3.设随机变量X服从正态分布服从正态分布N (,2)，)，k,b为常数，则有E(为常数，则有E(kX+b)=_ )=_ D( D(kX+b)=)=_ 4.若随机变量4.若随机变量 X 服从二项分布服从二项分布 B(n,p)，且，且 EX=6，D
2、X=3.6，则，则 n=_, =_, p=_ =_ 5. 设 随 机 变 量5. 设 随 机 变 量 X1,X2,X3互 相 独 立 , 且互 相 独 立 , 且 X1U(0,6),X2N(0,),X223P(3), 记记 Y= X1-2X2+3X3，则，则E(Y)=_,D（Y）=_. 6*.设设X与的联合分布律为：与的联合分布律为： 则则Y X与与Y的联合相关系数的联合相关系数 Y X 1 0 1 XY=_ 0 0.07 0.18 0.15 1 0.08 0.32 0.20 7. 设随机变量设随机变量 X 在区间在区间-1,2上服从均匀分布，则随机变量上服从均匀分布，则随机变量 1, 0,Y
3、= 若X0 若X=0-1 若X= 。 二、选择题二、选择题 1.设随机变量设随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为f（x） =0.10.1000xexx， 则， 则 E （2X+1） = 【 】 A 1.2 B 41 C 21 D 20 2. 设设X是随机变量，是随机变量，EX=1，DX=3，则，则E3(X2+2)= 【 】 A 18 B 9 C 30 D 36 3.设设X是随机变量，是随机变量，EX=，DX=2，则对任意常数，则对任意常数C，必有，必有 【 】 A E(X-C)2=EX2-C2 B E(X-C)2=E(X-)2C E(X-C)2E(X-)2 D E(X-C)2E(X-
4、)223 4设随机变量4设随机变量 X 的密度函数为的密度函数为21( )()(1)f xxx= +1)独立同分布独立同分布,且其方差为且其方差为20,令令11ni iYn=X,则【则【 】 2 2 1122 11( ) Cov(, ).( )(, ).(2)1( )()()().AX YBX Yn nnCXYDXYnn=+=CovD. D 三、计算三、计算 1. 设随机变量设随机变量X1服从服从1 2=的指数分布，的指数分布，X2的概率分布密度函数的概率分布密度函数 20( ) 00x cxexf x x= ， 求（求（1）E X1，D X1 （2）求）求c及及E X124 2. 已知随机变
5、量已知随机变量 X 的概率密度函数为的概率密度函数为222 20( )00xaxexf xa x = ，求随机变量，求随机变量Y=1 X的数学期望的数学期望 3. 某工程队完成某种工程的天数某工程队完成某种工程的天数 X 是一随机变量，具有分布律是一随机变量，具有分布律 X 10 11 12 13 14 p 0.2 0.3 0.3 0.1 0.1 所得利润（以元计算）为所得利润（以元计算）为 Y=1000（12X） ，求（） ，求（1）EX （2）EY 4*. 已知随机变量已知随机变量(,X Y)的分布率的分布率 Y X 1 3 5 求求 E（X2Y） 2 0.10 0.20 0.10 4 0
6、.15 0.30 0.15 25 5*.设二维随机变量（设二维随机变量（X，Y）的联合密度函数为）的联合密度函数为01( , )0Axxf x y= 其它y求（求（1）A （2）EX，EY （3）XY Y X 1 3 6.已知随机变量已知随机变量 X 和和 Y的联合分布为的联合分布为 试求试求 Z=()sin2XY+的数学期望和的数学期望和 0 1 0.10 0.15 0.25 0.20 方差。方差。 2 0.15 0.15 7.某商场对某种商品的销售情况作了统计， 知顾客对该商品的日需求量7.某商场对某种商品的销售情况作了统计， 知顾客对该商品的日需求量X服从正态分布服从正态分布 N(，2)
7、，且日平均销售量为，且日平均销售量为=40(件件)，销售机会在，销售机会在 30 到到 50 件之间的概率为件之间的概率为 0.5。 若进货不足，则每件利润损失为。 若进货不足，则每件利润损失为 70 元；若进货量过大，则因资金积压，每件损失元；若进货量过大，则因资金积压，每件损失 100 元。求日最优进货量。元。求日最优进货量。 26 8 8* *设A，B是二随机事件；随机变量 设A，B是二随机事件；随机变量 111,1,XYA=，若A出现，若B出现，若 不出现若B不出现试证明：随机变量 X 和 Y 不相关的充分必要条件是 A 与 B 相互独立。 试证明：随机变量 X 和 Y 不相关的充分必
8、要条件是 A 与 B 相互独立。 9 9* *设二维随机变量(X,Y)的密度函数为设二维随机变量(X,Y)的密度函数为121( , )( , )( , )2f x yg x ygx y=+,其中和都是二维正态密度函数， 且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为,其中和都是二维正态密度函数， 且它们对应的二维随机变量的相关系数分别为1( , )g x y2( , )gx y1 3和和1 3， 它们的边缘密度函数使对应的随机变量的数学期望都是零， 方差都是 1。 ， 它们的边缘密度函数使对应的随机变量的数学期望都是零， 方差都是 1。 (1) 求随机变量(1) 求随机变量 X 和和 Y 密度函数密
9、度函数12( )( )f xfy和，及，及 X 和和 Y 的相关系数（可直接利用二维正态密度的性质） 。 的相关系数（可直接利用二维正态密度的性质） 。 (2) (2) X 和和 Y 是否独立？为什么？ 是否独立？为什么？ 27 1010* *对于任意二事件对于任意二事件A和和B, ,0P(A)1,0P(B)1,()( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )P ABP A P BP A P B P A P B= 称作事件 A 和 B 的相关系数。 称作事件 A 和 B 的相关系数。 (1)(1) 证明事件 A 和 B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零； 证明事件 A 和 B 独立的充分必要条件是其相关系数等于零； (2) 利用随机变量的相关系数的基本性质，证明利用随机变量的相关系数的基本性质，证明|1。 1111* *.设A,B为随机事件,且.设A,B为随机事件,且111( ),(|),(|),432P AP B AP A B=令 令 1,1, 0,0,ABXYAB=发生， 发生， 不发生，不发生，求 (1) 二维随机变量求 (1) 二维随机变量(X,Y)的概率分布; 的概率分布; (2) (2) X与与Y的相关系数的相关系数XY; (3) Z=X2+Y2的概率分布.的概率分布. 28
