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1、1第五讲 等比数列 适用学科数学 适用年级高二 适用区域全国本讲时长90 分钟知识点等比数列的概念、 等比数列的通项公式与前n项和公式、等比 数列的常用性质教学目标通过实例，理解等比数列的概念；探索并掌握 比数列的通项公式与前 n 项和公式教学重难点理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式、前n项和公式 并能解决实际问题；理解等比中项的概念,掌握等比数列的性质正确理解等比数列的概念，灵活运用等比数列的性质解题教学过程一、知识讲解本节课主要知识点解析，中高考考点、易错点分析考点/易错点 1. 等比数列的概念如果一个数列从第二项起， 等于同一个常数)0(qq，这个数列叫做等比数列，常数q称为等比
2、数列的 考点/易错点 2通项公式与前n项和公式1项公式： ，1a为首项，q为公比 .22n项和公式：当1q时， 当1q时，.考点/易错点 3等比中项如果bGa,成等比数列，那么G叫做a与b的 .即：G是a与b的等差中项a，A，b成等差数列.考点/易错点 4等比数列的判定方法1义法：（Nn，0q是常数）是等比数列； na中项法： (Nn)且 是等比数列. na考点/易错点 5等比数列的常用性质1,在等比数列中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即 naL,32knknknnaaaa为等比数列，公比为 .2,),(Nmnqaamn mn3,若),(Nqpnmqpnm，则 ；4,若等比数列的前n项
3、和nS，则kS、kkSS2、kkSS23、kkSS34是 na数列.二、例题精析（例题的数量根据时间确定）【例题 1】 已知等比数列的某些项，求某项 【题干】 已知为等比数列，162, 262aa，则10a na3【例题 2】 已知前n项和nS及其某项，求项数.【题干】已知nS为等比数列前n项和，93nS，48na，公比2q，则项数 nan .已知四个实数，前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，首末两数之和为 37，中间两数之和为36，求这四个数.【例题 3】求等比数列前n项和【题干】已知nS为等比数列前n项和，13233331n naL，求nS na4【例题 4】证明数列是等比数列【题干】
4、已知数列和 nb满足：1a，432 1naann， na)213() 1(nabnn n，其中为实数，Nn. 对任意实数，证明数列不是等比数列； na 试判断数列 nb是否为等比数列，并证明你的结论【例题 5】等比数列的性质【题干】已知nS为等比数列前n项和，54nS，602nS，则nS3 . na【例题 6】等比数列与其它知识的综合【题干】设nS为数列的前n项和，已知21n nnbabS na证明：当2b 时，12nnan是等比数列；求 na的通项公式5注：例题要求：必须有答案、解析，精讲精析，突出方法和过程三、课堂运用【基础】1.设是公比为正数的等比数列，若16, 151aa，则数列前 7
5、 项的和为（ na na）. A63 .B64 .C127 .D1282.设等比数列na的公比2q ， 前 n 项和为nS，则42S a（ ）. A2 .B4 .C215.D2173.已知等比数列na满足122336aaaa，则7a （ ）. A64 .B81 .C128 .D24364.已知等比数列 na的前三项依次为1a，1a，4a，则na （ ）A342nB243nC1342nD1243n5.已知 na是等比数列，41252aa，则13221nnaaaaaaL=（ ）. A)41 (16n .B)21 (16n.C)41 (332n .D)21 (332n【巩固】1.(2009 广雅中学
6、)在等比数列中，已知910(0)aaa a，1920aab，则99100aa . 2.已知为等比数列，6, 3876321aaaaaa，求131211aaa的值. na73.如果将100,50,20依次加上同一个常数后组成一个等比数列，则这个等比数列的公比为 .4.已知nS为等比数列 na的前n项和，364,243, 362nSaa，则n ；5.已知等比数列中，36)2( , 04624aaaaan，则53aa . na【拔高】1.设nS为数列的前n项和，1aa，13nnnaS，*nN. na 设3nnnbS，求数列 nb的通项公式；8 若)(1Nnaann，求a的取值范围2.(2009 执信
7、中学)等差数列 na中，410a 且3610aaa，成等比数列，求数列 na前20 项的和20S3.(2009 金山中学)已知数列 na的前n项和为nS，1(1)3nnSanN；求1a，2a的值； 证明数列 na是等比数列，并求nS94.(2008 湖北)已知数列 na和 nb满足：1a，432 1naann，)213() 1(nabnn n，其中为实数，Nn. 对任意实数，证明数列不是等比数列； na 证明：当18，数列 nb是等比数列； 设nS为数列 nb的前n项和，是否存在实数，使得对任意正整数n，都有 12nS？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由.课程小结1等比数列的知识要点（可
8、类比等差数列学习）10（1）掌握等比数列定义q（常数） （nN） ，同样是证明一个数列是等比数列的nn aa1依据，也可由 anan2来判断；2 1na（2）等比数列的通项公式为 ana1qn1；（3）对于 G 是 a、b 的等差中项，则 G2ab，G；ab（4）特别要注意等比数列前 n 项和公式应分为 q1 与 q1 两类，当 q1 时，Snna1，当 q1 时，Sn，Sn。qqan 1)1 (1 qqaan 112等比数列的判定方法定义法：对于数列，若，则数列是等比数列； na)0(1qqaann na等比中项：对于数列，若，则数列是等比数列。 na2 12nnnaaa na3等比数列的性
9、质等比数列任意两项间的关系：如果是等比数列的第项，是等差数列的第nanma项，且，公比为，则有；mnm qmn mnqaa对于等比数列，若，则，也就是： navumnvumnaaaa，如图所示：。LL23121nnnaaaaaa44448444476444344421Lnnaanaannaaaaaa112,12321若数列是等比数列，是其前 n 项的和，那么， nanS*Nk kSkkSS2 成等比数列。kkSS23如下图所示：44444444444844444444444764434421L4434421L444344421LkkkkkSSSkkSSkkkaaaaaaaa3232k31221
10、S321课后作业【基础】111.(2009 年广东卷文)已知等比数列na的公比为正数，且3a9a=22 5a，2a=1，则1a= A. 21B. 22C. 2 D.2 2.已知等比数列 na，1231237,8aaaa a a，则na _3.在等比数列 na中，若394,1aa，则6a _ 4.在等比数列 na中，5615160 ,aaa aaab，则2526aa_125.已知数列 na是等比数列，且210,30mmSS，则3mS=_【巩固】1.已知等比数列 na中，21a ，则其前 3 项的和3S的取值范围是 .2.已知nS为等比数列前n项和，0na，80nS，65602nS，前n项中的数值
11、 na最大的项为 54，求100S.3.（2009 浙江理）设等比数列na的公比1 2q ，前n项和为nS，则44S a 134.（2009 全国卷文）设等比数列na的前 n 项和为ns。若3614, 1ssa，则4a= 5.数列an的前 n 项和为 Sn，若 a1=1，an+1 =3Sn（n 1） ，则 a6=（A）3 44 （B）3 44+1（C）44（D）44+1【拔高】1如图 31，在边长为 l 的等边ABC 中，圆 O1为ABC 的内切圆，圆 O2与圆 O1外 切，且与 AB，BC 相切，圆 On+1与圆 On外切，且与 AB、BC 相切，如此无限继续下去. 记圆 On的面积为 an
12、（nN*） ，证明an是等比数列；2.已知 na等比数列，324202,3aaa，求 na的通项公式。图 3114设等比数列 na的公比为0q q ，它的前 n 项和为 40，前 2n 项和为 3280，且前n 项和中最大项为 27，求数列的第 2n 项。设等比数列 na的公比1q ，前 n 项和为nS，已知3422,5aSS，求 na的通项公式。3.数列na为等差数列，na为正整数，其前n项和为nS，数列 nb为等比数列，且113,1ab，数列 nab是公比为 64 的等比数列，2264b S .（1）求,nna b；（2）求证121113 4nSSSL.154、某企业在第 1 年初购买一台
13、价值为 120 万元的设备 M，M 的价值在使用过程中逐年减少， 从第 2 年到第 6 年，每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元；从第 7 年开始，每年初 M 的价 值为上年初的 75%（I）求第 n 年初 M 的价值na的表达式；（II）设12,n naaaAnL若nA大于 80 万元，则 M 继续使用，否则须在第 n 年初对 M 更新，证明：须在第 9 年初对 M 更新5 （1）设首项为正数的等比数列，它的前 n 项和为 80，前 2n 项和为 6560，且前 n 项 中数值最大的项为 54，求此数列的首项和公比 q。（2）在和之间插入 n 个正数，使这个数依次成等比数列，求所插入的n11n2nn 个数之积。（3）设等比数列an的各项均为正数，项数是偶数，它的所有项的和等于偶数项和的 4 倍，且第二项与第四项的积是第 3 项与第 4 项和的 9 倍，问数列lgan的前多少项和最 大？(lg2=0 3,lg3=0.4)16课后评价表：课后评价表： 一 出勤情况 准时（ ） 迟到（ ） 旷课（ ）_二 课上表现情况 优（ ） 良（ ） 差（ ）_
