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1、有限元原理与应用主讲教师： 谢洪阳1本课程主要介绍有限单元法在固体力 学问题中的应用, 因此要用到弹性力学的 某些基本概念和基本方程。本章将简单介 绍这些概念和方程，作为学习有限单元法 的预备知识。第一章 弹性力学简介21-1 弹性力学的研究内容1. 研究内容材料力学: (内容) 杆件在外力或温度作用下的应力、变 形、材料的宏观力学性质、破坏准则等。(任务) 解决杆件的强度、刚度、稳定性问题。结构力学: (内容) 杆件系统（杆系结构）在外力或温度作 用下的应力、变形、位移等变化规律。 (任务) 解决杆系的强度、刚度、稳定性问题。弹性力学: (内容) 弹性体在外力或温度作用下的应力、变 形、位移
2、等分布规律。 (任务) 解决弹性体的强度、刚度、稳定性问题 。 第一章 弹性力学简介31-1 弹性力学的研究内容2. 弹性力学与材料力学、结构力学的区别(1) 研究对象材料力学: 杆件(直杆，小曲率杆)结构力学: 杆件系统或结构弹性力学: 一般弹性实体结构，三维弹性固体，板状 结构，杆件等。(2) 研究方法材料力学: 借助于直观和实验现象作一些假定，如平 面假设等，然后由静力学、几何关系、物理方程三方面进 行分析。 结构力学: 同材料力学方法。弹性力学: 仅由静力平衡、几何方程、物理方程三方 面分析，放弃了材料力学中的大部分假定。第一章 弹性力学简介41-1 弹性力学的研究内容2. 弹性力学与
3、材料力学、结构力学的区别(3) 数学理论基础材料力学与结构力学 : 研究对象是杆件或杆件系统，以平面假设确定横截 面变形。是一维数学问题，求解的基本方程是常微分方程。弹性力学:研究对象是完全弹性体。只能从微分单元体入手，是三维数学问题，综合分 析的结果是偏微分方程边值问题。第一章 弹性力学简介51-1 弹性力学的研究内容3. 材料力学与弹性力学结果比较如下图简支梁：结果如下图：弹性力学结果 材料力学结果从图中可以看出，当l h 时，误差是很小的。第一章 弹性力学简介6第一章 弹性力学简介1-1 弹性力学的研究内容7第一章 弹性力学简介1-1 弹性力学的研究内容弹性力学以微元体为研究对象，建立方
4、程求解，得到弹性 体变形的一般规律。所得结果更符合实际。81-1 弹性力学的研究内容4. 小结弹性力学是固体力学的一个分支，研究弹性体由于外 力作用或温度改变等原因而发生的应力、形变和位移。本章较为完整的表现了力学问题的数学建模过程，建 立了弹性力学的基本方程和边值条件，为进一步的数值方 法奠定了基础。弹性力学是学习塑性力学、断裂力学、有限元方法等 课程的基础。第一章 弹性力学简介91-2 弹性力学中的几个基本概念基本概念：完全弹性；体力；面力；应力；形变；位移(1) 完全弹性完全弹性是物体变形的一种理想模型，是指在一定温度条 件下，材料的应力和应变之间一一对应的关系。这种关系与时间 无关，也
5、与变形历史无关。(2) 体力弹性体内单位体积上所受的外力。X、Y、Z为体力矢量在坐标轴上的投影xyzO第一章 弹性力学简介101-2 弹性力学中的几个基本概念(3) 面力作用于物体表面单位面积上的外力。X、Y、Z为面力矢量在坐标轴上的投影xyzO第一章 弹性力学简介111-2 弹性力学中的几个基本概念(4) 应力内力：(1) 物体内部分子或原子间的相互作用力；(2) 由于外力作用引起的相互作用力。(1) P点的内力面分布集度(2) 应力矢量。S的方向为 的极限方向应力：由外力引起的在 P点的某一面上内力分布集度应力法向分量 正应力。应力切向分量 剪应力应力分量 P AQn (法线)第一章 弹性
6、力学简介121-2 弹性力学中的几个基本概念(5) 一点的应力状态 通过一点P 的各个面上应力状况的集合称为一点的应力状态。x面的应力：Y面的应力：Z面的应力：第一章 弹性力学简介131-2 弹性力学中的几个基本概念(5) 一点的应力状态用矩阵表示一点的应力状态为：其中只有个量独立：剪应力互等应力符号的意义：第1个下标 x 表示所在面的法线方向第2个下标 y 表示的方向.xyzO第一章 弹性力学简介141-2 弹性力学中的几个基本概念(6) 一点的形变形变 物体的形状改变；(1) 线段长度的改变。 用正应变度量。(2) 两线段间夹角的改变。 用剪应变度量。(剪应变两垂直线段夹角（直角）的改变量
7、)三个方向的正应变：三个平面内的剪应变：应变的正负：正应变：伸长时为正，缩短时为负；剪应变：以直角变小时为正，变大时为负；xyzOPBCA第一章 弹性力学简介15dxdyABCD ABCD“Bbaxy0图 1-5161-2 弹性力学中的几个基本概念(7) 一点的应变状态代表一点 P 的邻域内线段与线段间夹角的改变。表示成矩阵形式如下：与应力状态一样，只有6个量独立：注：应变无量纲 应变分量均为位置坐标的函数，即都是x,y,z的函数。PBCAxyzO第一章 弹性力学简介171-2 弹性力学中的几个基本概念(8) 位移一点的位移 矢量。单位为长度单位。u x方向的位移分量；位移分量： v y方向的
8、位移 分量；w z方向的位移 分量。(9) 弹性力学问题已知外力、物体的形状和大小(边界)、 材料特性(E、)、约束条件等，求解应力、 应变、位移分量。建立如下关系：(1) 静力关系：应力与体力、面力间的关系；(2) 几何关系：形变与位移间的关系；(3) 物理关系：形变与应力间的关系。xyzOwuvP第一章 弹性力学简介181-3 弹性力学中的基本假定1. 连续性假定整个物体的体积都被组成物体的介质充满，不留下任 何空隙。该假定在研究物体的宏观力学特性时，与工程实际吻 合较好；研究物体的微观力学性质时不适用。该假定的作用：使得、u 等量能表示成坐标的连续函数。保证极限 存在。第一章 弹性力学简
9、介191-3 弹性力学中的基本假定2. 线弹性假定假定物体完全服从虎克（Hooke）定律，应力与应变 间成线性比例关系（正负号变化也相同）。比例常数 弹性常数（E、）脆性材料 一直到破坏前，都可近似为线弹性的；塑性材料 比例阶段，可视为线弹性的。该假定的作用：使可使求解方程线性化。 3. 均匀性假定假定整个物体是由同一种材料组成 的，各部分材料性 质相同。作用如下：(1) 弹性常数（E、）不随位置坐标而变化；(2) 取微元体分析的结果可应用于整个物体。第一章 弹性力学简介201-3 弹性力学中的基本假定4. 各向同性假定假定物体内一点的弹性性质在所有各个方向都相同。该假定的作用：使弹性常数(E
10、、)不随坐标方向而变化；金属 上述假定符合较好；木材、岩石 上述假定不符合，称为各向异性材料；5.小变形假定假定位移和形变是微小的，即物体受力后物体内各点位 移远远小物体的原来的尺寸。即1，1。作用：使求解的方程线性化。(1) 建立方程时，可略去高阶微量。(2) 可用变形前的尺寸代替变形后的尺寸。第一章 弹性力学简介21假设物体处于自然状态，即在外界因素作用之前，物体 内部没有应力。弹性力学求解的应力仅仅是外力或温度改变而产生的。6. 无初始应力假设 第一章 弹性力学简介1-3 弹性力学中的基本假定22弹性力学的基本假设，主要包括弹性体的连续性、均匀性、 各向同性、完全弹性和小变形假设等。这些假设都是关于材料变形的宏观假设。弹性力学问题的讨论中，如果没有特别的提示，均采用基本 假设。这些基本假设被广泛的实验和工程实践证实是可行的。第一章 弹性力学简介1-3 弹性力学中的基本假定23
