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1、2017/10/4,1,第3章 线性方程组,3.2 向量的线性相关性,3.3 向量组的极大无关组与秩,3.4 线性方程组解的结构,3.1 线性方程组的高斯消元法,2017/10/4,2,在自然科学、工程技术、经济管理等许多领域有大量的实际问题可归结为线性方程组，线性方程组的讨论是线性代数的核心问题之一。一般地，这样的线性方程组中未知量与方程的个数是可以不同的。方程组可能无解；也可能有唯一解或无穷多组解。对于这些问题的研究在理论上和应用上都具有重要意义。 在这一章，我们将讨论线性方程组有解的充要条件，解的性质和求解方法。为了在理论上深入地讨论上述问题，我们还需要引入向量的概念，研究向量间的线性关
2、系和有关性质。,2017/10/4,3,设n元线性方程组,3.1 线性方程组的高斯消元法 一、线性方程组的几个基本概念,2017/10/4,4,的形式，（3.2）式称为方程组的矩阵形式。,（3.2）,2017/10/4,5,设有两个元线性方程组()和()，如果方程组()的每一个解都是方程组() 的解，并且方程组()的每一个解都是方程组()的解，则称方程组()与()同解。,2017/10/4,6,先作三例，考察其规律。,二、用矩阵的初等变换解线性方程组 高斯消元法,例1 解线性方程组 （3.3）,解：分别把方程组(3.3)中第一个方程的 倍和 倍加到第二个方程和第三个方程上,消去这两个方程中的未
3、知量 ,得,2017/10/4,7,上面的第三个方程两边除以 ,得,交换第二、三个方程,得,2017/10/4,8,在上面的方程组中,把第二个方程的7倍加到第三个方程上,消去未知量 ,得到,方程组(3.4)与原方程组(3.3)同解.由方程组(3.4)的最后一个方程可得 再把 代入第二个方程，求得 最后，把 代入第一个方程，解得 所以原方程组(3.3)的解为：,2017/10/4,9,方程组 (3.4) 的特点是:自上而下的各个方程所含未知数的个数减少,这种形式的线性方程组,一般称为阶梯形方程组,由原方程组化为阶梯形方程组的过程,称为消元过程.,由阶梯形方程组自下而上逐次求得各未知量的过程,称为
4、回代过程.,2017/10/4,10,回代过程也可按下列方式来做：,将方程组（3.4)的第三个方程两边同除以（6），再将新的第三个方程的1倍和2倍分别加到（3.4)的第二个方程和第一个方程得,再将方程组（3.5)的第二个方程（3）倍加到（3.5)的第一个方程得方程组（3.3)的解为,2017/10/4,11,1. 交换两个方程的位置；2. 某个方程的两边同乘以一个非零的常数；3. 某一个方程的若干倍加到另一方程上.,称为线性方程组的初等变换(同解变换),在求解过程中，对方程组共施行了三种变换：,2017/10/4,12,仔细观察一下例1的求解过程，就会发现：对线性方程组作初等变换的过程，本质上
5、是对未知量的系数和常数项进行的，或者说是对由未知量的系数和常数项组成的矩阵进行的。,2017/10/4,13,线性方程组的初等变换对应着增广矩阵的初等行变换。对于例1，用矩阵的初等行变换解方程组的过程可以写成：,2017/10/4,14,由此得，方程组（3.3)的同解方程组是,利用矩阵的初等行变换,还可以把回代过程直接表示如下(接上面最后一个矩阵):,2017/10/4,15,由此可直接得到方程组（3.3）的解为：,注：不论线性方程组中未知量个数与方程个数是否相同，都可以用上面的矩阵的初等变换求解.,2017/10/4,16,解对方程组的增广矩阵施以初等行变换，使之化为阶梯形矩阵：,2017/
6、10/4,17,由最后的阶梯形矩阵，可得对应的阶梯形方程组,这是一个矛盾方程组，无解所以原方程组也无解.,2017/10/4,18,例解线性方程组,解对方程组的增广矩阵施以初等行变换，使之化为阶梯形矩阵：,2017/10/4,19,最后的阶梯形矩阵所对应的阶梯形方程组为,2017/10/4,20,其中，最后的一个方程已化为“”说明该方程是“多余”方程，不再写出这一阶梯形方程组还可以写成,2017/10/4,21,2017/10/4,22,由最后一个矩阵 ,可得,此式称为线性方程组的一般解,2017/10/4,23,由上面的例例可以看出：在用消元法解线性方程组时，我们只需对其增广矩阵施以初等行变
7、换，并把消元过程和回代过程合并在一起写出即可,解的情况有三种：线性方程组可能无解；也可能有解在有解的情形下，可能有唯一解；也可能有无穷多组解,2017/10/4,24,对于一般的线性方程组,(3.1),三、线性方程组解的判定定理,1、非齐次线性方程组解的判定,2017/10/4,25,为了求解，首先对其增广矩阵 施行初等行变换.,其增广矩阵记为,2017/10/4,26,2017/10/4,27,2017/10/4,28,不难看出，方程组(3.8)与原方程组(3.1)是同解的,它对应的阶梯形方程组为,2017/10/4,29,这样，我们只需讨论方程组(3.8)的解的情况,2. dr+1=0,于
8、是方程组(3.8)有解. 其中后m-r个等式为“0=0”，表明原方程组(3.1)中相应的方程是多余的方程. 此时又可能出现两种情形：,2017/10/4,30,这一回代过程可以由相应的阶梯形矩阵自下而上逐次施以初等行变换，化为：,2017/10/4,31,2017/10/4,32,2017/10/4,33,（此为行最简阶梯形矩阵）,2017/10/4,34,2017/10/4,35,总结如下，对一般线性方程组，有下述结论：,线性方程组(3.1)的增广矩阵通过初等行变换可以化为阶梯形矩阵(3.7) ，对应的阶梯形方程组(3.8)与原方程组同解并且,2017/10/4,36,于是得下面的定理：,2
9、017/10/4,37,2017/10/4,38,下面考虑m个方程n个未知量的齐次线性方程组,2、齐次线性方程组解的判定,2017/10/4,39,2017/10/4,40,2017/10/4,41,2017/10/4,42,例4 当 为何值时,下面的线性方程组有解,并求出方程组的解.,解 对方程组的增广矩阵施以初等行变换,将其化为阶梯形矩阵,3、例,2017/10/4,43,2017/10/4,44,由此可得:,2017/10/4,45,例5 k 取何值时,线性方程组,解一 方程组的系数矩阵与增广矩阵分别为,(1),2017/10/4,46,由于,根据克莱姆法则,得到唯一解,2017/10/
10、4,47,(2),2017/10/4,48,2017/10/4,49,解二,2017/10/4,50,继续进行初等行变换，使其化为行最简阶梯形矩阵：,（*）,2017/10/4,51,得方程组的解为：,2017/10/4,52,以 -2 代替（*）中 k 的得，,2017/10/4,53,以 1 代替（*）中 k 的得，,2017/10/4,54,于是得到与原方程组同解的最简阶梯形方程组,例6 解线性方程组,解,这是齐次线性方程组，只需对系数矩阵进行初等行变换，使其化为行最简阶梯形矩阵.,2017/10/4,55,于是得方程组的一般解为,2017/10/4,56,例7 试确定 的值，使齐次线性
11、方程组,有非零解，并求出方程组的一般解.,解 对方程组的系数矩阵施以初等行变换，使其化为阶梯形矩阵：,2017/10/4,57,由上面的阶梯形矩阵可以看出：当,时，r(A) = 2 3,方程组有非零解.,2017/10/4,58,（1）当 时，继续对阶梯形矩阵（3.13）施以初等行变换，接（3.13）:,得方程组的一般解为：,（ c 为任意常数）,2017/10/4,59,（2）当 时，继续对阶梯形矩阵（3.13）施以初等行变换，接（3.13）:,得方程组的一般解为:,（c 为任意常数）,2017/10/4,60,利用定理3.2的推论2，先计算方程组的系数行列式：,于是当 时，D=0, 方程组
12、有非零解.然后分别就 的情形，求出方程组的一般解.,说明：本例是方程个数与未知量个数相同的齐次线性方程组，还可以利用行列式讨论解的情况.,2017/10/4,61,答案：错误.,思考题,对于非齐次线性方程组 ,把它的常数全变成0，得到的齐次线性方程组 称为它的导出组.,问题 判断分析：非齐次线性方程组 有唯一解的充要条件是它的导出组 只有零解？ 非齐次线性方程组 有无穷多解的充要条件是它的导出组 存在非零解？,2017/10/4,62,课堂练习,答案,2017/10/4,63,返回,返回,3.2 向量的线性相关性一、 向量的线性运算,几个基本概念：,列向量,行向量,n维向量：,2017/10/
13、4,64,向量的线性运算：,向量作为矩阵的特例，其线性运算的定义和运算律与一般矩阵完全相同。,基本单位向量组：,2017/10/4,65,定义,设,向量加法,向量数乘,2017/10/4,66,这两种运算满足以下八条运算规律:,满足以上8条性质的向量加法、数乘两种运算,称为向量的线性运算.,2017/10/4,67,解 由已知得：,2017/10/4,68,向量与方程组,方程组的向量形式,（3.14）,2017/10/4,69,一组同维的行向量(列向量),称为向量组.,向量与矩阵,显然,矩阵A既对应一个行向量组,又对应一 个列向量组:,其中,2017/10/4,70,二、 向量的线性组合,则称
14、向量 可以由向量组 线性表示(表出).,2017/10/4,71,(1),零向量是任意向量组的“线性组合”.,例2,线性表示 、线性组合的例：,2017/10/4,72,2017/10/4,73,2017/10/4,74,2017/10/4,75,解 考虑非齐次线性方程组,对方程组的增广矩阵进行初等行变换,得,2017/10/4,76,可见 ,方程组有唯一解:,2017/10/4,77,解 令矩阵,2017/10/4,78,对矩阵 进行初等行变换,得,2017/10/4,79,继续用初等行变换将矩阵化为行最简阶梯形矩阵,可得,2017/10/4,80,(c为任意常数),若令c =0，有,201
15、7/10/4,81,关于两组向量间的线性表示，有,2017/10/4,82,关于向量组之间的线性表出关系，通过下面的例子给出一个重要结论。,2017/10/4,83,2017/10/4,84,充分性上面的过程是可逆的。,2017/10/4,85,此例结论的重要性在于，它揭示了两个矩阵的积矩阵与因子矩阵的向量组之间的线性表出关系。,2017/10/4,86,课堂练习,答案,2017/10/4,87,则称 线性相关;否则称为线性无关.,即当且仅当 时上式才成立,则称 线性无关.,三、线性相关与线性无关,2017/10/4,88,对基本单位向量组 设,基本单位向量组线性无关.,因为，对向量组 ， 有 .,
