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1、80道工程问题 1甲乙两个水管单独开,注满一池水,分别需要20小时, 16小时.丙水管单独开,排一池水要10小时,若水池没水,同时打开甲乙两水管,5小时后,再打开排水管丙,问水池注满还是要多少小时? 解: 1/20+1/169/80表示甲乙的工作效率 9/80545/80表示5 小时后进水量 1-45/8035/80表示还要的进水量 35/80(9/80-1/10 )35表示还要35小时注满 答:5小时后还要35小时就能将水池注满。 2修一条水渠,单独修,甲队需要20天完成,乙队需要 30天完成。如果两队合作,由于彼此施工有影响,他们的工作效率就要降低,甲队的工作效率是原来的五分之四,乙队工作
2、效率只有原来的十分之九。现在计划16天修完这条水渠,且要求两队合作的天数尽可能少,那么两队要合作几天? 解:由题意得,甲的工效为1/20,乙的工效为1/30 ,甲乙的合作工效为1/20*4/5+1/30*9/107/100,可知甲乙合作工效甲的工效乙的工效。 又因为,要求“两队合作的天数尽可能少”,所以应该让做的快的甲多做,16天内实在来不及的才应该让甲乙合作完成。只有这样才能“两队合作的天数尽可能少”。 设合作时间为 x 天,则甲独做时间为(16-x)天 1/20*(16-x )+7/100*x1 x10 答:甲乙最短合作10天 3一件工作,甲、乙合做需4小时完成,乙、丙合做需5小时完成。现
3、在先请甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成。乙单独做完这件工作要多少小时? 解: 由题意知,1/4表示甲乙合作 1小时的工作量,1/5表示乙丙合作 1小时的工作量 (1/4+1/5)2 9/10 表示甲做了 2小时、乙做了4小时、丙做了2小时的工作量。 根据“甲、丙合做2小时后,余下的乙还需做6小时完成”可知甲做2小时、乙做6小时、丙做2小时一共的工作量为1 。 所以19/101/10 表示乙做6-42小时的工作量。 1/1021/20 表示乙的工作效率。 11/2020 小时表示乙单独完成需要20小时。 答:乙单独完成需要20小时。 4一项工程,第一天甲做,第二天乙做,第三天甲做,第
4、四天乙做,这样交替轮流做,那么恰好用整数天完工;如果第一天乙做,第二天甲做,第三天乙做,第四天甲做,这样交替轮流做,那么完工时间要比前一种多半天。已知乙单独做这项工程需17天完成,甲单独做这项工程要多少天完成? 解:由题意可知 1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/甲1 1/乙+1/甲+1/乙+1/甲+1/乙+1/ 甲0.5 1 (1/甲表示甲的工作效率、1/乙表示乙的工作效率,最后结束必须如上所示,否则第二种做法就不比第一种多0.5天) 1/甲1/乙+1/甲0.5(因为前面的工作量都相等) 得到1/甲1/乙2 又因为1/乙1/17 所以1/甲2/17,甲等于172 8.5天 5师徒俩人加工同样
5、多的零件。当师傅完成了1/2 时,徒弟完成了120 个。当师傅完成了任务时,徒弟完成了4/5这批零件共有多少个? 答案为300 个 120( 4/52)300个 可以这样想:师傅第一次完成了1/2,第二次也是1/2 ,两次一共全部完工,那么徒弟第二次后共完成了4/5,可以推算出第一次完成了 4/5的一半是 2/5,刚好是120个。 6一批树苗,如果分给男女生栽,平均每人栽6棵;如果单份给女生栽,平均每人栽10 棵。单份给男生栽,平均每人栽几棵? 答案是15棵 算式:1(1/6-1/10)15 棵 7一个池上装有3 根水管。甲管为进水管,乙管为出水管,20 分钟可将满池水放完,丙管也是出水管,3
6、0分钟可将满池水放完。现在先打开甲管,当水池水刚溢出时,打开乙 ,丙两管用了18分钟放完,当打开甲管注满水是,再打开乙管,而不开丙管,多少分钟将水放完?答案45分钟。 1(1/20+1/30)12 表示乙丙合作将满池水放完需要的分钟数。 1/12*(18-12)1/12*61/2 表示乙丙合作将漫池水放完后,还多放了 6分钟的水,也就是甲18分钟进的水。 1/2181/36 表示甲每分钟进水 最后就是1(1/20-1/36)45分钟。 8某工程队需要在规定日期内完成,若由甲队去做,恰好如期完成,若乙队去做,要超过规定日期三天完成,若先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成,问规定日期为几
7、天? 答案为6天 解: 由“若乙队去做,要超过规定日期三天完成,若先由甲乙合作二天,再由乙队单独做,恰好如期完成, ”可知: 乙做3天的工作量甲2 天的工作量 即:甲乙的工作效率比是3:2 甲、乙分别做全部的的工作时间比是2:3 时间比的差是1份 实际时间的差是3天 所以3(3-2)26天,就是甲的时间,也就是规定日期 方程方法: 1/x+1/(x+2) 2+1/(x+2) (x-2)1 解得 x6 9两根同样长的蜡烛,点完一根粗蜡烛要2小时,而点完一根细蜡烛要1小时,一天晚上停电,小芳同时点燃了这两根蜡烛看书,若干分钟后来点了,小芳将两支蜡烛同时熄灭,发现粗蜡烛的长是细蜡烛的2倍,问:停电多
8、少分钟? 答案为40分钟。 解:设停电了 x 分钟 根据题意列方程 1-1/120*x(1-1/60*x)*2 解得 x40 二鸡兔同笼问题 1鸡与兔共100只,鸡的腿数比兔的腿数少28条, 问鸡与兔各有几只? 解: 4*100400 , 400-0400 假设都是兔子,一共有400 只兔子的脚,那么鸡的脚为 0只,鸡的脚比兔子的脚少400只。 400-28372 实际鸡的脚数比兔子的脚数只少 28只,相差372 只,这是为什么? 4+26 这是因为只要将一只兔子换成一只鸡,兔子的总脚数就会减少4只(从400 只变为396只) ,鸡的总脚数就会增加2只(从0 只到2只) ,它们的相差数就会少4
9、+26只(也就是原来的相差数是400-0 400 ,现在的相差数为396-2 394 ,相差数少了400-394 6) 372662 表示鸡的只数,也就是说因为假设中的100只兔子中有62只改为了鸡,所以脚的相差数从400改为28,一共改了372只 100-6238表示兔的只数 三数字数位问题 1把1至2005这2005个自然数依次写下来得到一个多位数123456789.2005,这个多位数除以9余数是多少? 解: 首先研究能被9整除的数的特点:如果各个数位上的数字之和能被9整除,那么这个数也能被9整除;如果各个位数字之和不能被9整除,那么得的余数就是这个数除以9得的余数。 解题:1+2+3+
10、4+5+6+7+8+9=45;45能被9整除 依次类推:11999这些数的个位上的数字之和可以被9整除 1019, 20299099这些数中十位上的数字都出现了10次,那么十位上的数字之和就是10+20+30+90=450 它有能被9整除 同样的道理,100900 百位上的数字之和为4500 同样被 9整除 也就是说1999这些连续的自然数的各个位上的数字之和可以被9整除; 同样的道理:10001999这些连续的自然数中百位、十位、个位 上的数字之和可以被9整除(这里千位上的“1”还没考虑,同时这里我们少200020012002200320042005 从10001999千位上一共999个“1
11、”的和是999,也能整除; 200020012002200320042005的各位数字之和是27,也刚好整除。 最后答案为余数为0。 2A 和 B 是小于100的两个非零的不同自然数。求 A+B 分之 A-B 的最小值. 解: (A-B)/(A+B) = (A+B - 2B)/(A+B) = 1 - 2 * B/(A+B) 前面的 1 不会变了,只需求后面的最小值,此时 (A-B)/(A+B) 最大。 对于 B / (A+B) 取最小时,(A+B)/B 取最大, 问题转化为求 (A+B)/B 的最大值。 (A+B)/B = 1 + A/B ,最大的可能性是 A/B = 99/1 (A+B)/B
12、 = 100 (A-B)/(A+B) 的最大值是: 98 / 100 3已知 A.B.C 都是非0 自然数,A/2 + B/4 + C/16的近似值市 6.4,那么它的准确值是多少? 答案为6.375或6.4375 因为 A/2 + B/4 + C/168A+4B+C/166.4 , 所以8A+4B+C102.4,由于 A、B 、C 为非0自然数,因此8A+4B+C 为一个整数,可能是102,也有可能是103 。 当是102 时,102/166.375 当是103 时,103/166.4375 4一个三位数的各位数字 之和是17.其中十位数字比个位数字大1.如果把这个三位数的百位数字与个位数字
13、对调,得到一个新的三位数 ,则新的三位数比原三位数大 198,求原数. 答案为476 解:设原数个位为 a,则十位为 a+1,百位为16-2a 根据题意列方程100a+10a+16-2a100(16-2a)-10a-a198 解得 a6,则 a+17 16-2a4 答:原数为476。 5一个两位数, 在它的前面写上3,所组成的三位数比原两位数的7倍多24,求原来的两位数. 答案为24 解:设该两位数为 a,则该三位数为300+a 7a+24 300+a a24 答:该两位数为24。 6把一个两位数的个位数字与十位数字交换后得到一个新数,它与原数相加, 和恰好是某自然数的平方,这个和是多少? 答
14、案为121 解:设原两位数为10a+b,则新两位数为 10b+a 它们的和就是10a+b+10b+a11(a+b) 因为这个和是一个平方数,可以确定 a+b11 因此这个和就是1111121 答:它们的和为121。 7一个六位数的末位数字是2,如果把2移到首位,原数就是新数的3倍,求原数. 答案为85714 解:设原六位数为 abcde2,则新六位数为2abcde(字母上无法加横线,请将整个看成一个六位数) 再设 abcde(五位数)为 x,则原六位数就是10x+2,新六位数就是200000+x 根据题意得, (200000+x)310x+2 解得 x85714 所以原数就是857142 答:
15、原数为857142 8有一个四位数, 个位数字与百位数字的和是12,十位数字与千位数字的和是9,如果个位数字与百位数字互换,千位数字与十位数字互换 ,新数就比原数增加 2376,求原数. 答案为3963 解:设原四位数为 abcd,则新数为 cdab,且 d+b12,a+c 9 根据“新数就比原数增加2376” 可知 abcd+2376=cdab,列竖式便于观察 abcd 2376 cdab 根据 d+b12,可知 d、b 可能是3、9 ;4、8;5、7 ;6 、6 。 再观察竖式中的个位,便可以知道只有当 d3,b 9;或 d8,b4时成立。 先取 d3,b 9代入竖式的百位,可以确定十位上有进位。 根据 a+c9,可知 a、c 可能是1、8;2 、7;3、6;4 、5。 再观察竖式中的十位,便可知只有当 c6,a3 时成立。 再代入竖式的千位,成立。 得到:abcd 3963 再取 d8,b 4代入竖式的十位,无法找到竖式的十位合适的数,所以不成立。 9有一个两位数, 如果用它去除以个位数字, 商为9 余数为6,如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和,则商为5余数为3,求这个两位数. 解:设这个两位数为 ab 10a+b 9b+6 10a+b 5(a+b )+3 化简得到一样:5a+4b3 由于 a、b 均为一位整数 得到 a3或7, b3或8 原数为