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1、作 业一傅里叶变换的收敛问题一傅里叶变换的收敛问题: :既然傅立叶变换的引出是从周期信号的傅立叶级数表示出发，讨论周期趋于无穷大时的极限得来的，傅立叶变换的收敛问题就应该和傅立叶级数的收敛相一致。傅里叶级数的收敛性：满足狄利赫里条件的周期函数表示成的傅里叶级数都收敛。狄利赫里条件如下： 1.在任何周期内，x(t)须绝对可积；2.在任一有限区间中，x(t)只能取有限个最大值或最小值；3.在任何有限区间上，x(t)只能有有限个第一类间断点。下面举一个简单的例子是方波信号，对称方波的傅里叶展开: 0, 4/0, 4/)(xxxf mnmnxnxS112) 12sin()()()(limxfxSm m
2、 -3-2-1123-0.75-0.5-0.250.250.50.75f如上图所示如上图所示: :如果合成的波形所包含的谐波分量愈多时,除间断点附近外,它愈接近于原方波信号,在间断点附近,随着所含谐波次数的增高,合成波形的尖峰愈靠近间断点,但尖峰幅度并没有明显减小.可以类推,当谐波次数趋于无穷大时,在间断点处仍有约 9%的偏差,这种现象称为吉布斯现象。 二周期序列的傅里叶级数展开与傅里叶变换之间的问题二周期序列的傅里叶级数展开与傅里叶变换之间的问题: :周期序列的傅里叶级数周期序列的傅里叶级数: :当是周期为 N 的一个周期序( )x n列, ,r 为任意整数,这个周期序列不是绝对可和的,不%
3、( )()x nx nrN能用 Z 变换表示,那么它可以离散傅里叶级数表示,也就是说用周期为 N 的复指数序列来表示, ,其中1012( )()exp()Nkx nX KjknNN是 K 次谐波的系数,然后求出,它是()X K102()( )exp()NnX Kx njknN对的一个周期 x(n)作 Z 变换,然后将 Z 变换在 Z 平面单位圆( )x n上按等间隔角抽样而得到的。2 / N周期序列的傅里叶变换周期序列的傅里叶变换: :实际上是对有限长序列的傅里叶变换,如果把长度为 N 的有长限长序列 x(n)看成周期为 N 的序列的一个周期的话,把看成是 x(n)的以 N 为周期的周期延拓,
4、 ( )x n,此时周期序列的傅里叶变换,事( )( )( )Nx nx n Rn()()()NX KX K RK实上,对频域的周期序列可以看作是对有限长序列的()X K()X K周期延拓,而有限长序列可以看作是周期序列的主值()X K()X K序列.三频率分辨率的问题三频率分辨率的问题: :其实频率分辨率和分辨力都来源于外文 Resolution,它是表征图像细节的能力。只是由于翻译上的不同以及使用在不同的领域，才出现分辨力和分辨率两个不同的定义。在电视领域，包括现在的数字电视领域，一般都定义为分辨力，而在计算机界则把它定义为分辨率。在离散傅里叶变换中,对频率函数进行抽样,抽样间隔为,那么这
5、个就是频率分辨率,并由它可以知0F0F道时间函数的周期是多少,即: ,有这样一种关系, 001/FT,信号的最高频率分量与频率分辨力有着矛00/1/1/sFfNNTT盾关系,当增加时,时间的抽样间隔减小,抽样频率增加,信号hf长度 N 不变, 增加,频率分辨力就减小.当信号长度越长时,0F0TN 越大,分辨率就越好,一般来说,频率分辨力与信号实际长度成反比,信号越长,分辨力就越高。0T四四. .用用 MATLABMATLAB 的图示说明有效观察时间与补零后的的图示说明有效观察时间与补零后的 DFTDFT 之间的之间的关系以及与关系以及与 DTFTDTFT 之间的关系之间的关系: :程序:clc
6、clear%n=12 时的 DTFTN=12;n=0:11;xn=1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1;w=0:0.5:100*pi/100;X2=1+2*exp(-j*w)+3*exp(-2*j*w)+4*exp(-3*j*w)+5*exp(-4*j*w)+6*exp(-5*j*w)+6*exp(-6*j*w)+5*exp(-7*j*w)+4*exp(-8*j*w)+3*exp(-9*j*w)+2*exp(10*-j*w)+1*exp(-11*j*w)magx=abs(X2);subplot(311);plot(magx,r-);title(n=12 时的 DTFT)%n=12 时
7、的 DFTn=0:11;xn=1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1;X=dft(xn,12);magx=abs(X);subplot(312);stem(magx,b-);title(n=12 时的 DFT)%补零后 n=100 时的 DFTN=100;n=0:11;xn=1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1;xn=xn,zeros(1,88);X=dft(xn,100);magx=abs(X);subplot(313);plot(magx,g-);title(补零后 n=100 时的 DFT)由上图可以看出,DFT 是 DTFT 的抽样,补零后,使一个周期内的点数增加,抽样比以前更密,这样可以减小栅栏效应,频域抽样为 k*/N,N 增加,必然使样点间的距离更近,单位圆上的样2点更多,谱线也就更密,谱线变密后,原来看不到的谱分量就有可能看到了,如第三个图所示,当 N 增加到 100 时,谱密度比 N=10时更密,但补零后的分辨率并没有提高,补零不能增加数据的有效长度。
