《高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题数列(学生版)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学备考冲刺之易错点点睛系列专题数列(学生版)（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、12999 数学网 12999 数学网 - 1 -数列数列 一、高考预测一、高考预测 数列是历年高考的重点与难点，以等差数列与等比数列为基础考查数列的性质及前 n 项 和的问题是数列中的中低档难度问题，一般只要熟悉等差数列与等比数列及其前 n 项和的性 质即可正确得出结果.等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考 中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列 的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等本讲内容在高考中多以选择题和填 空题的形式出现，属于中低档题解题时应从基础处着笔，首先要熟练掌握这两种基本数列 的相关性质及公式，然后
2、要熟悉它们的变形使用，善用技巧，减少运算量，既准又快地解决 问题.除此以外，数列与其他知识的综合考查也是高考中常考的内容，数列是一种特殊的函 数，它能与很多知识进行综合，如方程、函数、不等式、极限，数学归纳法（理）等为主要 综合对象，概率、向量、解析几何等为点缀.数列与其他知识的综合问题在高考中大多属于 中高档难度问题. 数列是新课程的必修内容，从课程定位上说，其考查难度不应该太大，数列试题倾向考 查基础是基本方向从课标区的高考试题看，试卷中的数列试题最多是一道选择题或者填空 题，一道解答题由此我们可以预测 2012 年的高考中，数列试题会以考查基本问题为主， 在数列的解答题中可能会出现与不等
3、式的综合、与函数导数的综合等，但难度会得到控制 二、知识导学二、知识导学 要点要点 1 1：有关等差数列的基本问题：有关等差数列的基本问题 1 1涉及等差数列的有关问题往往用等差数列的通项公式和求和公式“知三求二”解决 问题；要点向要点向 3 3：等差、等比数列综合问题：等差、等比数列综合问题 1.在解决等差数列或等比数列的相关问题时， “基本量法”是常用的方法，但有时灵活地运 用性质，可使运算简便，而一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。2数列求通项的常见类型与方法：公式法、由递推公式求通项，由nS求通项，累加法、累 乘法等 3.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、分组法
4、、倒序相加法等。 4解综合题的成败在于审清题目，弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质， 揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略 要点要点 4 4：可转化为等差、等比数列的求和问题：可转化为等差、等比数列的求和问题 某些递推数列可转化为等差、等比数列解决，其转化途径有：1 1凑配、消项变换如将递推公式1nnapaq（pq、为常数，q0，p1） 。通12999 数学网 12999 数学网 - 2 -过凑配变成1()11nnqqap app；或消常数转化为11()nnnnaap aa2 2取倒数法如将递推公式)(11 bakmaann n递推式，考虑函数倒数关系有)11
5、(11makannmk akann111令nnab1 则 nb可归为qpaann1型。3 3对数变换如将递推公式1pnnaca(0,0,0,1)nacpp取对数得1lglglgnnacpa4 4换元变换n nnqpaa1（其中 p，q 均为常数，)0) 1)(1(qppq（或1n nnaparq,其中 p，q, r 均为常数） 。一般地，要先在原递推公式两边同除以1nq，得：1 11nn nnaap qq qq 引入辅助数列 nb（其中nn nqab ） ，得：qbqpbnn11则转化为1nnbAaB的形式。 要点要点 5 5：数列求和的常用方法：1、直接由等差、等比数列的求和公式求和，注意对
6、公比1q的讨论. 2、错位相减法：主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即 等比数列求和公式的推导过程的推广. 3、分组转化法：把数列的每一项分成两项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. 4、裂项相消法：主要用于通项为分式的形式，通项拆成两项之差求和，正负项相消剩下首 尾若干项，注意一般情况下剩下正负项个数相同. 5、倒序相加法：把数列正着写和倒着写相加(即等差数列求和公式的推导过程的推广). 三、易错点点睛三、易错点点睛 命题角度 1 数列的概念数列的概念 1已知数列an满足 a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1,(n2)，则an的通项 an=
7、_. 考场错解考场错解 an=a1+2a2+3a3+(n-1)an-1，an-1=a1+2a2+3a3+(n-2)an-2，两式相减得 an-an-1=(n-1)an-1，an=nan-1.由此类推： an-1=(n-1)an-2，a2=2a1，由叠乘法可得 an=2! n12999 数学网 12999 数学网 - 3 - 专家把脉专家把脉 在求数列的通项公式时向前递推一项时应考虑 n 的范围当 n=1 时，a1=21 与已知 a1=1，矛盾3.已知数列an满足 a1=1，an=3n-1+an-1(n2) (1)求 a2，a3； (2)求通项 an的表达 式 考场错解考场错解 (1)a1=1，
8、a2=3+1=4，a3=32+4=13 (2)由已知 an=3n-1+an-1，即 an-an-1=3n-1 即 an成等差数列，公差 d=3n-1故 an=1+(n- 1)3n-1 专家把脉专家把脉 (2)问中 an-an-1=3n-1，3n-1不是常数，它是一个变量，故不符合等差数列的 定义 对症下药对症下药 (1)a1=1，a2=4，a3=32+4=13 (2)由已知 an-an-1=3n-1，故 an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+ (a2-a1)+a1=3n-1+3n-2+3+1=213 n.4等差数列an中，a1+a2+a3=-24，a18+a19+a20=78，则此
9、数列前 20 项和等于 ( )A.160 B180 C. 200 D220 考场错解考场错解 由通项公式 an=a1+(n+1)d.将 a2,a3，a18，a19，a20都表示成 a1和 d.求 a1、d，再利用等差数列求和，选 C 专家把脉专家把脉 此方法同样可求得解但解法大繁，花费时间多，计算量大故而出错，应 运用数列的性质求解就简易得多 对症下药对症下药 B 由公式 m+n=2Pam+an=2ap?(只适用等差数列)即可求解由 a1+a2+a3=- 24，可得：3a2=-24 由 a18+a19+a20=78，可得：3a19=78 即 a2=-8，a19=26 又S20=2)(20201
10、aa =10(a2+a19)=180 2若an是等差数列，首项 a10，a2003+a20040，a2003a20040，则使前 n 项和 Sn0 成立的最大自然数 n 是 ( )A.4005 B4006 C.4007 D.4008 考场错解考场错解 a2004+a20030，即 2a1+2002d+2003d0，(a1+2002d)(a1+2003d)0即使 na1+2) 1( nn d0这样很难求出 a1，d.从而求出最大的自然数 n.故而判断 a20030，a20040 专家把脉专家把脉 此题运用等差数列前 n 项的性质及图象中应注意a20030，a20040，a2003+a20040，
11、a2003a20040，且an为等差数列 an表 示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且 a2003是绝对值最小的正数，a2004是绝对 值最大的负数(第一个负数)，且|a2003|a2004|在等差数列an中，a2003+a2004=a1+a40060，S4006=2)(400640061aa 0 使 Sn0 成立的最大自然数 n 是 4006 3设无穷等差数列an的前 n 项和为 Sn.()若首项 a1=23 ，公差 d=1，求满足 Sk2=(Sk)2 的正整数 k;()求所有的无穷等差数列an ；使得对于一切正整数中 k 都有 Sk2=(Sk)2成立 考场错解考场错解 (1)当
12、a1=23 ,d=1 时，Sn=21 n2+n，由 Sk2=(Sk)2得21 k4+k2=2 2 21 kk ，即 k=0 或 k=4 k0故 k=4()由对一切正整数 k 都有 Sk2=(Sk)2 成立 即 k2a1+2) 1(22kk d=(ka1+dkk 2) 1( )2即(a1-2 1a)k2-adk2(k-1)+2d k2(k2-1)-42d k2(k-1)2=0 对切正整数 k 恒成立故 0, 0, 01211ddaaa求 得 a1=0 或 1，d=0 等差数列 an=0,0,0, ，或 an=1，1，1， 专家把脉专家把脉 ()中解法定对一切正整数 k 都成立而不是一切实数故而考
13、虑取 k 的 特值也均成立 对症下药对症下药 ()当 a1=23 ,d=1 时，Sn=na1+.21 2) 1( 23 2) 1(2nnnnndnn 由 Sk2=(Sk)2,得21 k4+k2=(21 k2+k)2，即 k3) 141(k=0.又 k0，所以 k=4()设数列an的公差为 d，则在 Sk2=(Sk)2中分别取 k=1,2,得)2.()2122(2344) 1 ( ,.)(,)(211211224211 dadaaaSSSS即由（1）得 a1=0 或 a1=1. 当 a1=0 时，代入（2）得 d=0 或 d=6.若 a1=0,d=0,则 an=0,sn=0,从 而 Sk2=(S
14、k)2成立；若 a1=0,d=6,则 an=6(n-1),由 S3=18， （S3）2=324,S9=216 知 S9(S3)2，故 所得数列不符合题意.当 a1=1 时,代入(2)得 4+6b=(2+d)2解得 d=0 或 d=2.若 a1=1,d=0,则 an=1,Sn=n,从而 Sk2=(Sk)2成立；若 a1=1,d=2,则 an=2n-1,Sn=1+3+（2n-1）=n2,从而 Sk2=(Sk)2成立.综上,共有 3 个满足条件的无穷等差数列:an：an=0,即 0，0，0，；an:an=1,即 1，1，1，；an:an=2n-1,即 1，3，5，.4.已知数列an的各项都是正数,且满足:a0=1,an+1=21 an(4-an),nN.(1)证明 anan+12,nN.(2)求数列an的通项公式 an.12999 数学网 12999 数学网 - 5 -21 2(4-2),也即当 x=k+1 时 akak+12 成立，所以对一切 nN,有 akak+12(2)下面来求数列的通项：an+1=21 an(4-an)=21 -(an-2)2+4,所以 2（an+1-2）=-(an-2)2令 bn=an-2,则 bn=-21 2 1nb=-21 (-21 22nb)2=-21 (21
