行测数学运算：基础公式

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1、行测数学运算：基础公式行测数学运算：基础公式一、基础公式 1.乘法分配律：（ab）c=acbc 2.幂次运算律：amanam+n；(am)n=amn；(ab)nanbn 3.平方差公式：a2b2=（ab）（ab） 4.完全平方公式：（ab）2=a22abb2 5.完全立方公式：（ab）3=a33a2b3ab2b3 6.立方和差公式：a3b3=（ab）（a2abb2） 【例 1】（安徽 2009-6）123456788123456790123456789123456789=（）。A. -1 B. 0 C. 1 D. 2 答案A 解析假设 a123456789，则原式(a1)(a1)a2a21a2

2、- 1。 注释本题还可以用到后面章节讲到的“尾数法”或者“整体消去法”。 【例 2】+782+22278 的值是（）。 A. 5000 B. 10000 C. 16001 D. 20000 答案B 解析22+78+22278=（22+78）2=10000 二、 约数倍数 1.本节往下研究整除、倍数、因数（约数）、余数及其相关特性时，仅限于在 整数范围内讨论（某些性质需要在正整数范围内讨论），往后不再重复说明。 2.如果存在整数 P，使整数 M、N 满足：M=PN，则称 N 能整除 M，M 能被 N 整 除。此时也称 M 为 N 的倍数，N 为 M 的因数（也称 N 是 M 的约数）。 【例】1

3、2=34 3 能整除 12，12 能被 3 整除，12 是 3 的倍数，3 是 12 的因数（约数） 3.能同时整除一组数中的每一个数的数，称为这组数的公因数。 4.能同时被一组数中每一个数整除的数，称为这组数的公倍数。 【例】12 能被 2 整除，也能被 3 整除 12 是 2 和 3 的公倍数 2 能整除 4，也能整除 12 2 是 4 和 12 的公因数 5. 一组数的所有公倍数中最小的正整数为这组数的最小公倍数。 6. 一组数的所有公因数中最大的正整数为这组数的最大公因数。 【例】24 和 36 的所有（正）公倍数包括 72、144、216 等，其中 72 为其最小 公倍数。24 和

4、36 的所有（正）公因数包括 1、2、3、4、6、12，其中 12 为其 最大公因数。 质因子法 质因子法是求最大公因数和最小公倍数的基本方法，请参照下面的例题。 【例】计算 48 和 60 的最大公因数和最小公倍数。 第一步：写出其标准分解式：48=2431； 60=223151第二步：补足其标准分解式：48=243150；60=223151第三步：对应因子取其中指数较小的一项并将结果相乘，即 24 和 22 中取 22；31 和 31 中取 31；50 和 51 中取 50。此时 223150=12 即为 48 和 60 的 最大公因数。第四步：对应因子取其中指数较大的一项并将结果相乘，即

5、 24 和 22 中取 24；31 和 31 中取 31；50 和 51 中取 51。此时 243151=240 即为 48 和 60 的 最小公倍数。 短除式法 短除式法是求最大公因数和最小公倍数的常用方法，两个数字的情形和多个数 字的情形会略有不同，请参照下面的例题。 【例】对两个数字的情形，如求 48 和 60 的最大公因数和最小公倍数，可以通 过下述短除式：当出现两个互质的数字时（第四步），即结束。 最大公因数=223=12（第四步左侧的三个数字的乘积） 最小公倍数=22345=240 （第四步左侧的三个数字与下边两个数字的乘 积） 【例】对三个数字的情形，如 60、72、90 （1）

6、如果求其最大公因数则可以通过下述短除式： 这三个数互质 （最大公因数为 1） 其最大公因数=23=6 注注意此时 10 与 12、12 与 15、10 与 15 均不互质（事实上 10 与 12、12 与 15、10 与 15 的最大公因数分别为 2、3、5），但 10、12、15 这三个数互质， 短除式即结束。 （2）如果求其最小公倍数则可以通过下述短除式： 这三个数两两互质 （最大公因数为 1） 其最小公倍数=23235121=360 注注意虽然 10、12、15 这三个数互质，但并不两两互质。此时为了求原数 组最小公倍数，可以先除以其中两个数的最大公因数（不能除尽的保留），直 至这些数两

7、两互质。这是求多个（超过两个）数的最小公倍数与最大公因数的 区别。 强化练习一 完成下表：在表格的左下部分填入对应两个数字的最大公约数，在表格的右上 部分填入对应两个数字的最小公倍数。（答案见本章最后） 426081359012014415016018042 2-603-814-355-906- 1207-1448-1509-16010-18011-强化练习二 完成下表：在下表的最下一行，填写上面对应三个数字的最小公倍数。（答案 见本章最后） 数字一 1518445412015016872 数字二 9271768014020063105 数字三 1235339616024014040 最小公倍

8、数【例 3】（山西 2009-102）有一种红砖，长 24 厘米、宽 12 厘米、高 5 厘米，问至少用多少块这种砖才能拼成一个实心的 正方体？（） A. 600 块 B. 1200 块 C. 1800 块 D. 2400 块答案B 解析显然，这个实心的正方体的边长应该同时为 24、12、5 的最小公倍数， 即 120，所以需要的块数为：120120120241251200。 【例 4】（北京应届 2009-14)如图，街道 ABC 在 B 处拐弯，在街道一侧等距离 安装路灯，要求 A、B、C 三处各装一盏路灯，这条街最少装多少路灯？（） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21答案C

9、解析由于灯间的距离要相等，所以这个距离应该同时为 715 和 520 的约数， 而要求装灯的最小值，应该取 715 和 520 的最大公约数，即 65 为灯与灯的间距。 所以总灯数应该为：（715520）65120。 【例 5】（广西 2008-15）有一种长方形小纸板，长为 29 毫米，宽为 11 毫米。 现在用同样大小的这种小纸板拼合成一个正方形，问最少要多少块这样的小纸 板？（） A 197 块 B. 192 块 C. 319 块 D. 299 块 答案C 解析显然，这个正方体的边长应该同时为 29、11 的最小公倍数，即 319， 所以需要的块数为：3193191911319。 【例

10、6】(安徽 2008-11)三位采购员定期去某市场采购，小王每隔 9 天去一次， 大刘每隔 6 天去一次，老杨每隔 7 天去一次，三人星期二第一次在这里，下次 相会将在星期几？（） A. 星期一 B. 星期五 C. 星期二 D. 星期四 答案C 解析由题意，小王、大刘、老杨应该分别是每 10、7、8 天去一次市场，他 们下一次相会应该是在 N 天之后，而 N 应该是 10、7、8 的最小公倍数。显然， N 是 7 的倍数，所以下次相会仍然还会是在星期二。 【例 7】（天津 2008-14）小张数一篇文章的字数，两个两个数最后剩一个，三 个三个数最后剩一个，四个四个数最后剩一个，五个五个数最后剩

11、一个，六个 六个数最后剩一个，七个七个数最后剩一个，则这篇文章至少共有多少字？ （）A. 501 B 457 C 421 D 365 答案C 解析这篇文章的字数，如果去掉 1，那么肯定同时是 2、3、4、5、6、7 的 倍数，而这几个数的最小公倍数为 420，所以原文章至少是 421 个字。 注释本题同样可以通过代入排除得到最终答案。 核心提示 研究多个数字的最大公约数、最小公倍数是数学运算题常考的基础技能，我们 在后面的章节中还会遇到与上面例题类似的题型，这就要求各位考生一定要好 好掌握其内涵与求法。三、 整数特性 2、4、8 整除及余数判定基本法则 1.一个数能被 2（或 5）整除，当且仅

12、当其末一位数能被 2（或 5）整除； 2.一个数能被 4（或 25）整除，当且仅当其末两位数能被 4（或 25）整除； 3.一个数能被 8（或 125）整除，当且仅当其末三位数能被 8（或 125）整除； 4.一个数被 2（或 5）除得的余数，就是其末一位数被 2（或 5）除得的余数；5.一个数被 4（或 25）除得的余数，就是其末两位数被 4（或 25）除得的余数；6.一个数被 8（或 125）除得的余数，就是其末三位数被 8（或 125）除得的余 数。 【例】 1978 的末两位数字“78”不能被 4 整除 1978 不能被 4 整除 【例】 1972 的末两位数字“72”能被 4 整除

13、1972 能被 4 整除 【例】 1972 的末三位数字“972”不能被 8 整除 1972 不能被 8 整除 【例】 2008 的末三位数字“008”能被 8 整除 2008 能被 8 整除 【例】 25198316 的末三位数字“316”不能被 8 整除 25198316 不能被 8 整除 【例】 25198903 的末两位数字“03”除以“4”余 3 25198903 除以 4 余 3 【例】 198903 的末三位数字“903”除以“8”余 7 198903 除以 8 余 7 【例】 1975 的末两位数字“75”能被 25 整除 1975 能被 25 整除 【例】 1875 的末三位

14、数字“875”能被 125 整除 1875 能被 125 整除 【例】 8903 的末两位数字“03”除以“25”余 3 8903 除以 25 余 3 【例】 8903 的末三位数字“903”除以“125”余 28 8903 除以 125 余 283、9 整除及余数判定基本法则 1.一个数能被 3 整除，当且仅当其各位数字和能被 3 整除； 2.一个数能被 9 整除，当且仅当其各位数字和能被 9 整除； 3.一个数被 3 除得的余数，就是其各位数字和被 3 除得的余数； 4.一个数被 9 除得的余数，就是其各位数字和被 9 除得的余数。 【例】 1949 各位数字之和“1+9+4+9=23”不

15、能被 3 整除 1949 不能被 3 整除 【例】 1941 各位数字之和“1+9+4+1=15”能被 3 整除 1941 能被 3 整除 【例】 1941 各位数字之和“1+9+4+1=15”不能被 9 整除 1941 不能被 9 整除 【例】 1935 各位数字之和“1+9+3+5=18”能被 9 整除 1935 能被 9 整除 【例】 39130825198368 的各位数字之和为： 3+9+1+3+0+8+2+5+1+9+8+3+6+8=66 66 不能被 9 整除 这个数字不能被 9 整除66 除以 9 余 3 这个数字除以 9 余 3 【例】 52+47+284+183 的各位数字之和为：5+2+4+7+2+8+4+1+8+3=44 44 不能被 9 整除 这个和不能被 9 整除 44 除以 9 余 8 这个和除以 9 余 87 整除判定基本法则 1. 一个数是 7 的倍数，当且仅当其末一位的两倍，与剩下的数之差为 7 的倍数； 2. 一个数是 7 的倍数，当且仅当其末三位数，与剩下的数之差为 7 的倍数。 【例】 362 末一位“2”的两倍“224”，与剩下的“36”之差“32”不 能被 7 整除 362 不能被 7 整除 【例】 483 末一位“3”的两倍“326”，与剩下的“48”之差“42”能 被 7 整除 483 能被 7 整除 【例】 12