自考-数量方法-6

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1、 第六章 假设检验 打印本页首先提一个问题，肯定一件事情容易还是否定一件事情容易？要肯定一件事情，如，一个人 说他从来没有骂过人，那么需要证明，你是证明他骂过人容易还是证明他没有骂过人容易呢？如 果要证明没有骂过人，那么必须出示他从小到大每一时刻的录音录相，所有熟悉的东西等等。还 要证明这些物证是完全的、真实的、没有间断的，这简直是不可能的，即使他找到一些证人，比 如，他的同学、家人和同事来证明，也只能够证明那些证人在场的某些片刻，他没有被听到骂 人。但是反过来，如果要证明这个人骂过人很容易只要有一事被抓住就足够了，所以说，肯定时 候很难，而否定却相对容易的多。这就是假设检验背后的基本原理。实

2、际上，可以看到假设检验 利用的是反证方法。假设检验是抽样推断的一项重要的内容，是利用样本的实际质量来检验事先 对总体某些数量特征所作的假设是否可信的一种方法，因此凡属于研究总体的数量方法是否按照 预先的规律性要求的问题都属于假设检验的讨论范围。 在这一章主要讨论的内容：假设检验的基本概念和步骤；参数检验；非参数检验等。 第一节 假设检验的基本概念 假设检验是预先对总体参数的取值作出假定，然后用样本数据来验证，作出接受还是拒绝原 来假设的结论。 当然由于样本的随机性，这种推断也同样有一定的风险。先提出假设，后加以论证，再决定 取舍是科学研究中常用的方法之一。 例如工业产品的质量管理就是应用了这一

3、方法。质量控制图假设在正常生产的情况下产品的 某一指标是围绕其平均值的上下微小变动，然后每隔一段时间抽验一定的产品样本，如果符合 假设的要求，就视为正常，继续生产。如果样本数据出现了变化，过高或过低，与原假设不符， 那就要停止生产，检查原因，以避免生产次品。 一、假设检验中的一些基本概念 （一）原假设和备择假设 假设一般包括两部分：原假设和备择假设。 原假设常用H0表示。原假设又称为虚拟假设或零假设，设立该假设的动机主要是企图利用人 们掌握的反映现实世界的数据来找出与现实之间的矛盾，从而否定这个假设。一般应用中，都是 以否定原假设为目标，如果否定不了，那就说明证据不足，无法否定原假设，但这不能

4、说明原假 设正确，就像一两次没有听过他骂人还远不能证明他从来没有骂过人一样。 备择假设，常用H1表示。即原假设被否定之后而采取的逻辑对立假设。备择假设应该按照实 际事件所代表的方向来决定，它通常是被认为可能比零假设更加符合数据所代表的现实。 检验结果显著意味着有理由拒绝零假设。因此假设检验也被称为显著性检验。 （二）检验统计量 有了两个假设，就要根据数据来对他们进行判断。数据的代表是作为其函数的统计量，对样 本数据进行加工并用来判断是否接受原假设的统计量称作检验统计量。 统计量最常用的是Z统计量、t统计量。 统计量的选择要根据研究的参数及其估计量的分布、抽样的方式、总体方差是否已知等多种 因素

5、来确定。 （三）接受域和拒绝域 假设检验根据检验统计量的具体结果来判断是否接受原假设，因此在原假设为真的情况下将 抽样所有可能结果组成的样本空间划分为两部分，一部分是原假设为真时允许范围内的变动，应 该接受原假设，称作接受域；另一部分是超出了一定的界限，当原假设为真时只有很小的概率出 现，因而当统计量的结果落入这一区域便应拒绝原假设，这一区域称作为拒绝域。接受域和拒绝 域之间的分割点通常称作临界值。 P166如图6.1。临界值如何确定的呢？显然与a有关。 （四）显著性水平 假设检验的基本原理是根据小概率原理。所谓小概率原理是指发生概率很小的事件在一次试 验中几乎是不可能的，根据这一原理作出是否

6、接受原假设。 如：有1000件产品，生产者声称只有1个次品，那么随机抽取一个作检验时，通常不会抽到 次品，因为抽中次品是千分之一的小概率，但如果在一次抽取中抽中了次品，显然就有理由怀疑 生产者的声称，认为1000个中只有一个次品的说法是假的。 例如：判断一件事情的真伪需要用事实说话，在统计方法中事实实际上来源于数据。假设某Page 1 of 14高等教育自学考试网上辅导数量方法2011- 3- 14http:/ 效，这个数据是否支持药厂的说法？也就是药厂认为它的药有效率是60%，而我们抽取了100个用 该药物的患者，发现有40名患者有效，问这个数据是否支持这个药厂的说法。 此实验是前面讲过的贝

7、努利实验。它服从于二项分布，n是100，P是0.6，这个药厂的观点就 是药是60%的成功，基于这一观点， 我们可以计算100名患者中小于或等于40名患者治疗有效的 概率，此概率为0.000042。结果说明，如果药厂结果判断正确，只有40名患者有效的事实是一个 小概率事件，也就是小于或等于40名患者有效的可能只有十万分之四多一点。而现在抽取的样本 正好属于这个范围。也就是说得到的结果与事实是相矛盾的。那么事实准确还是药厂准确？人们 一般不会认为药厂的说法可以接受。 在假设检验中，落入拒绝域就是个小概率事件，一旦落入拒绝域，就要拒绝原假设而接受备 择假设。那么应该确定多大的范围算作小概率呢？这要根

8、据不同的研究问题来确定，有的选择 0.05，有的选择0.01等，通常用a表示，显然，a愈小愈不容易推翻原假设。 显著性水平是在进行假设检验时事先确定一个可允许的作为判断界限的小概率标准。 检验中，依据显著性水平大小把概率划分为二个区间，小于给定标准的概率区间称为拒绝区 间，大于这个标准则为接受区间。 （五）双侧检验与单侧检验 1.双侧检验指当我们所关心的问题是指标过大和过小都不符合要求，因此都需要加以检 验，这时检验的拒绝域位于图形的两侧。如要检验样本平均数和总体平均数，或样本比例与总体 比例有没有显著差异而不问差异的方向是正差或负差时，所采用的一种统计检验方法，这时检验 的拒绝域是两侧。如图

9、6.1，当显著性水平为a时，两边的拒绝域发生的概率各为a/2。 2.单侧检验是指当我们的所要检验的是样本所取的总体其参数值是大于或小于某个特定值 时，所选择使用的一种单方面检验方法。 在实际问题中有些现象的指标要求愈低愈好，例如产品次品率。当超过某一临界点就要拒绝 原假设，这就是单侧的假设检验，其拒绝域在图形的右侧，称作右侧检验。另外一些指标值则是 愈高愈好，如灯管的使用寿命，药物的有效成分等。当低于某一临界值就要拒绝原假设，这时拒 绝域在图形的左侧，称作左侧检验。 图6.2 （六）假设检验中的两类错误 从假设检验的原理与规则可以看到，它是根据小概率原理来判断的，因此有可能会判断错 误，因为在

10、假设为真的情况下，很可能有些样本统计量的估计值会落入小概率的拒绝域内而按决 策规则加以拒绝。另外在原假设非真的情况下也有可能有一些统计量的估计值落入接受域的范围 之内而接受原假设。因此把这些情况归结为两类错误。 当我们把真实的原假设当成假的加以拒绝，称为第一类错误，也称弃真错误、错误，犯第 一类错误的概率就是显著性水平；当我们把不真实的原假设当作真的加以接受，称为第二类错 误，也称取伪错误、错误，犯第二类错误的概率是不确定的。在检验决策时，我们当然希望所 有真实的原假设都能做到接受，所有不真实的原假设都被拒绝，做到既降低犯第一类错误的可能 性，也减少犯第二类错误的概率水平，但事实上这两类错误是

11、一对矛盾，因此，在样本容量不变 的情况下，要想同时减少两类错误是不可能的，只有通过扩大样本容量办法才能同时减少犯两类 错误的可能性。 假设检验的可能结果可见表6.1。 也称为生产者风险：在生产者将产品售给消费者时，通常要进行产品的质量检验，原假设 总是产品是合格的，但是检验时生产者总是担心把合格品检验为不合格品，也就是第一类错误 ，所以也称为生产者风险。 也称为消费者风险：在消费者一方总恐怕把不合格品检验不出来而当作合格品接受，因而 也称为消费者风险。 二、假设检验的一般步骤 Page 2 of 14高等教育自学考试网上辅导数量方法2011- 3- 14http:/ 第二步：确定检验统计量及其

12、分布，并依据样本信息计算检验统计量的实际值。 假设检验是根据检验统计量的具体结果落入接受域还是拒绝域而定。这就要确定什么是检验 统计量及该统计量服从什么分布。 第三步：选择检验的显著性水平。不同显著水平对检验结果有影响（见图6.4），拒绝域是 与显著性水平相关的。 图6.4 显著性水平的大小影响假设检验的结果 第四步：确定决策规则。拒绝或没有拒绝原假设的决策是建立在由样本数据来进行统计检验 并将其与假设的抽样分布比较。抽样分布被分成两个部分，拒绝域和非拒绝域。如果原假设是真 实的，那么统计检验不可能落入拒绝域。因此，如果统计检验落入了拒绝域，我们拒绝原假设； 否则，我们不能拒绝它。 第五步：将

13、实际求得的检验统计量取值与临界值进行比较，做出拒绝或接受原假设的决策。 如果超过临界值拒绝原假设，小于临界值则不能拒绝原假设。 第二节 参数的假设检验 一、单个总体的均值检验 总体平均数的假设检验就是通过抽样平均数与原检验总体平均数的对比，来判断所要检验的 总体平均数与原平均数是否发生显著性差异。 一种情况是检验某一客观现象已知服从正态分布，方差为2，但均值未知，现从中抽取一个 样本欲检验其总体均值是否等于某个均值0。 另一种情况是检验某一样本是否抽自一个均值为0，方差为2的总体。 （一）已知总体为正态分布且方差已知 1.检验统计量 p170公式6.1 2.例题分析：p170例6.1 【例6.

14、1】一个生产宇航飞行器的工厂需要经常购置一种耐高温的零件，要求抗热的平均温 度是1250,在过去，供货者提供的产品都符合要求，并从大量的数据获知零件抗热的标准差是 150，在最近的一批进货中随机测试了100个零件，其平均的抗热为1200，能否接受这批产 品？工厂希望对实际产品符合要求而错误地加以拒绝的风险为0.05（即a=0.05）。 解：检验的步骤如下： （1）建立假设。由于检验的目的是希望产品零件抗热的均值高于1250，而把低于1250 的加以拒绝，因此是一个单侧的假设检验问题。 （2）这个检验中适当的检验统计量是： （3）根据工厂的要求，显著性水平a=0.05，在这里是指当=1250时而

15、被拒绝的概率为a。 （4）根据单侧检验a=0.05时，Z统计量拒绝域的临界值为。 （5）计算统计量的数值 因为，表明这一批产品零件的抗高温性能低于1250而不符合要求，因此不能接受这批产品。 （二）未知总体分布及总体方差，大样本 1.检验总体均值的统计量 p171公式6.2 2.例题分析： p171例6.2 【例6.2】有一空调机的零件需用打孔机打孔，要求孔径为10厘米，太大太小都对装配有问 题。为了测试打孔机是否正常，需要取样进行检验，在打孔的结果中随机取了100件进行测量， 得，s=1cm，试以a=0.05，检验打孔机的操作是否正常，抑或如何调整。 解：先建立假设，由于检验结果过大或过小均不合适，因此应该是双侧检验，拒绝域在两 侧。 Page 3 of 14高等教育自学考试网上辅导数量方法2011- 3- 14http:/ 假设检验与区间估计是相对应的，不难看出假设检验的接受域就是相应问题的置信区间，因 此我们也可以用求置信区间的方法来作假设检