《十三届初二中环杯决赛答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《十三届初二中环杯决赛答案（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 1 / 10 第十三届第十三届“中环杯中环杯”中小学生思维能力训练活动中小学生思维能力训练活动 八八年级决赛答案年级决赛答案 一、填空题：一、填空题： 1. 答:4y 利用中点公式，我们很容易写出正方形ABCD的中心4,4Y。一条直线只要同时经过点M和点Y，一定满足我们的要求。由于点M和点Y的纵坐标都是4，所以这条直线的解析式为4y 2. 答：0 42 464 33 284 3 6332633 33 262 63326332136232636262 OY(4,4)BC(5,2)MA(3,6)Dxyl第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练
2、活动八年级决赛答案 2 / 10 令6262m ，则 26262262622 64m 由于0m ，所以2 64m ，从而知道464 33 284 32 642 642 640 6332 3. 答：3 由轮换对称多项式的因式分解我们知道222abcbcacababbcca ，所以0abbcca。而题目告诉我们222233ababab ，所以ab。根据0abbcca我们知道ac或bc。 当ac时，则 2222222132abcabbccaabbccaab当bc时，则 2222222132abcabbccaabbccaab4. 答：112333 作MNBC交 BC 于 N，根据勾股定理，我们只要求出
3、,MN NC的长度，问题就能解决了。将右上角的图形进行放大，得到如图 2。容易知道 2 11MNMRRNMR NCFCFNFNHR ，所以只要求出MR与HR即可。考虑到30IGO，所以22333GOIG ，所以11323IMIG。其次容易知道13222313333333GOHIIOHIIP ，所以第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 3 / 10 31 12221323333333313 36MR PMIMIPPR。所以我们得33232MNMR，31133111133366NCHRHPPR ，所以222223331121332633MCMNNC图 1 图 2 5. 答：2或
4、3 24242221111mmmmmmmmm 。由于210mm 无实数解，所以210mm 。由于21110nnnn 。 （1） 当mn时，此时2mn nm NLMKJIOFHEGBCAD第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 4 / 10 （2） 当mn时，此时,m n是方程210xx 的两个根，所以1 1mn mn ，所以22223mnmnmnmn nmmnmn 6. 答：50abc 7. 答：10 如下图，由于AUA U，所以 BUABUA BUCABUACUA CUACUASSSSSSS ，同理AUBCCUBCUASSS，CUABBUCBUASSS。三个式子通加得22A
5、C BA CBBUACUABUCABCSSSSS=10 8. 答：20112013 22222222416100393416641611xxxxxxxxxxxCBAABCUCBAABCU第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 5 / 10 2222222222222222222241610039341610040441610241616444248422442xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx所以不超过 A 的最大整数就是120112013x 9. 答：3 若4n 时， （1）当32nk k时，则32212121 221nkkkk ，显然不是素数，所以
6、n不能是32k k 的形式； （2）当311nkk时，则32331122121212121 221nkkkkk ，显然不是素数，所以n不能是311kk的形式； （3）当321nkk时，则11333321212121knk ，所以17|21n，也不符合题意。 综上所述，13n。尝试一下发现只有3n 满足要求 第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 6 / 10 10. 答：114 5 3 5xy ，223 5 4 5xy 首先，我们容易知道定义域为11, 11xy ，2222222211353511 1212111177 12121111xyyxxyyxxyyx ，所以22 2
7、222235171112121111yx xxyy ，利用平方差公式我们得22717112311yyyy，由于11, 11xy ，所以 211 11yy yy，211 11yy yy，令1 1yzy，所以2 127171121491402,233zzzzzz ，代入1 1yzy得13 5y ，24 5y ，从而得到最后的解 二、动手动脑题二、动手动脑题 1.【证明】设1 0 1011101010nn nnnAa aaaaaa ， 则1 10110101010nn nnnnBa aaaaaa ，所以01220 01201220 0121010101010101010101010101010101
8、0nnnn nnnnn nABaaaaABaaaa。 第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 7 / 10 FDEICAB（1）当n为奇数时， 101011mod11n iin ii 。由于n为奇数，而niin ，所以,ni i这两个数肯定一奇一偶，这样都导致了1010110 mod11n iin ii ，所以此时11| AB； （2）当n为偶数时， 101011mod11n iin ii 。由于n为偶数，而niin ，所以,ni i这两个数肯定同奇偶，这样都导致了1010110 mod11n iin ii ，所以此时11| AB； 综上所述，无论n是奇数还是偶数，,AB A
9、B这两个数中至少有一个数是11的倍数。 2.【证明】首先由角平分线性质我们有IDIEIF，设其为x，然后我们要求出 这个x。容易证明BDIBFI，CDICEI，AEIAFI，所以 ,BFBD CDCE AEAF，从而我们有2CDCEBCCAABxabc，所以2abcx。 接下来我们要证明: 39332321021055abcabcxaaabcaabc。然后用反证法，假设22222244 5255abcaabbcab，所以242120 52521abaab。而已知告诉我们ab，所以矛盾找到了。命题得证 3. 【证明】由于4181 2xx 为整数，且x为整数，所以81x为整数。令81xt t 为整
10、数，则21 8tx代入4181 2xx 得第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 8 / 10 222211411418121182 22242ttttxxttt 。由于4181 2xx 为整数，所以1 2t 必须为整数，所以241811 22xxt 是一个完全平方数 【补充说明】本题也可以在一开始的时候这样描述：由于81x为奇数，所以可以令8121xmm 为整数，这样后面就不用再描述1 2t 必须为整数了 4. 【证明】首先，若|m n，可以满足我们的要求。若m不能整除n，将1 n这n个数字对m取余数，如果一个小方格它所在的行除以m的余数是0或者1，并且它所在的列除以m的余
11、数也是0或者1，那么就将其染成黑色，别的方格染成白 色。我们给出一个例子，下图中12,5nm。对于题目中给出的操作，每次可以覆盖的黑色格子要么是2 个，要么是0个。而开始的时候，由于m不能整除n， 那么除以m的余数是1的个数比除以m的余数是0的个数要多1个。所以每行中有奇数个黑色格子，而且 一共有奇数行拥有黑色格子，导致总的黑色格子数是一个奇数。设灯关着的状 态为数字0，开着的状态为数字1，那么开始的时候黑色格子的状态和为0，结 束的时候黑色格子的状态和为21k 。而每次操作黑色格子的状态改变是0或 2或2，所以开始的时候为偶数，结束的时候也只能是偶数。所以若m不能整 除n，则要求不能满足 第
12、十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 9 / 10 5.（1） 【答案】（2）当090且18 ,22.5 ,45时，有三个等腰三角形 （3）当18时，有四个等腰三角形 （4）当22.5或45时，有五个等腰三角形 【解答】首先很容易证明C AB为等腰三角形，其次由于C MCMBMMC B 为等腰三角形。/ /CCNMBCNMCCBC。由于MC B为等腰三角形，很容易证明C FM也是等腰三角形。所以这个图形中至少有三个等腰三角形。接下来开始导角，设BAC，则90AC PBC PC AEMBCMC B ，2C MBFC M ，902AECEC FD EN 。最后就是讨论：当,PACPBC为等腰直角三角形时，此时45；当D EN为等腰直角三角形时，此时22.5；当AEC为等腰三角形时，由于第十三届“中环杯”中小学生思维能力训练活动八年级决赛答案 10 / 10 90902 3EACAEC AC E ，所以此时有两种可能：若22.5EACAC E ；若18AECAC E 。综上所述，得到上面的结论。
