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1、 1 / 6 有理数计算满分有理数计算满分 一、一、基本概念基本概念 1有理数加法法则： 同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加 绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对 值 一个数同 0 相加，仍得这个数 2有理数加法的运算律： 两个加数相加，交换加数的位置，和不变abba（加法交换律） 三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 ()()abcabc（加法结合律） 3有理数减法法则： 减去一个数，等于加上这个数的相反数，()abab 4有理数乘法法则：两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘 任何数同 0 相乘，都得 0 5
2、有理数除法法则：除以一个不为 0 的数，等于乘以这个数的倒数1abab，(0b ) 两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除； 0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0 6有理数乘方 概念：求n个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂 含义：na中，a为底数，n为指数，它表示a的个数，na表示有n个a连续相乘 例如：53表示 5 个 3 相乘，即：3 3 3 3 3 ， 5( 3)表示 5 个( 3)相乘，即：( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ( 3) ， 53表示(3 3 3 3 3) ； 52 7表示22222 77777，52 7表示22222 7 特别注意负数及分数
3、的乘方，应把底数加上括号 7有理数混合运算的运算顺序： 先乘方，再乘除，最后加减； 同级运算，从左到右进行； 如有括号，先做括号内的运算，按小括号、中括号、大括号依次进行 加减法为一级运算，乘除法为二级运算，乘方及开方（以后学）称为三级运算 同级运算，按从左到右的顺序进行；不同级运算，应先算三级运算，然后二级，最后一级； 如果有括号，先算括号里的，有多重括号时，先算小括号里的，再算中括号里的，最后算大括 号里的 在进行有理数运算时，先确定符号，再计算绝对值，有括号的先算括号里的数 2 / 6 二二、有理数常规运算技巧及易错点提示、有理数常规运算技巧及易错点提示 1 归类运算归类运算 进行有理数
4、的加减运算时，运用交换律、结合律归类加减，常常可以使运算简捷 如整数与整数结合、如分数与分数结合、同分母与同分母结合、小数凑整、同符号相加等 2 符号问题符号问题 按照顺序，不要跳步；先判定符号，后计算绝对值 3 运算律运算律的使用的使用 在处理有理数的数字运算中，若能根据题目所显示的结构、关系特征，对此加以灵活变形，便可巧 妙地运用乘法分配律，减少了运算量，提高了解题效率 【例题 1】421515【解析】421515442152 1515304341515 4 乘方问题乘方问题 易错易错 1 【例题 2】计算：46323 ( 1)( 2) 【错解】原式= 8366818620 【评析】此解有
5、三处错，都是把乘方运算当作底数与指数相乘，这是由不理解乘方的意义造成的 【正解】原式=163 1816385 易错易错 2 【例题 3】计算：2232( 2)4 【错解】原式=94894821 【评析】错解忽略了24与2)4(的区别：24表示 4 的平方的相反数，其结果为 16；而2)4(表示两个4相乘，其结果为 16 【正解】原式=9483 5 违背运算顺序违背运算顺序 易错易错 1 【例题 4】计算： 6104 【错解】原式=1644 【评析】 有理数混合运算的顺序是： 先算乘方， 再算乘除， 最后算加减； 有括号则先算括号里面的 【正解】原式=57622 3 / 6 易错易错 2 【例题
6、 5】计算：)4(418 【错解】原式=818 【评析】对同一级运算，应从左至右进行，乘除法为同级运算，应从左至右进行 【正解】原式=8 44128 三、有理数计算高端方法三、有理数计算高端方法 1 凑整求和凑整求和 严格来说，凑整属于归类运算，但是凑整非常常见且重要，故单列一类。 巧用运算律将相加可得整数的数放在一起进行运算巧用运算律将相加可得整数的数放在一起进行运算(其中包括互为相反数相加其中包括互为相反数相加)，可以降低，可以降低 解题难度，提高解题效率解题难度，提高解题效率 【例题 6】求和 111112222233333585859()()()()234596034559604565
7、960596060【解析】原式1121231259 233444606060+? 133215959212 22460 12359 2222 159591 22 885 巧用添项法进行凑整，可以降低解题难度，提高解题效率巧用添项法进行凑整，可以降低解题难度，提高解题效率 【例题 7】计算：19299399949999 【解析】原式=201300140001500001 = (20300400050000)4 = 543204 = 54316 【点评】在有理数的运算中，为了计算的方便，常把非整数凑成整数，一般凑成整一、整十、整百、 整千等数，这样便于迅速得到答案 【例题 8】计算：1119219
8、93199941999951999996199999971999999981999999999 【解析】原式 20920082000720000620000052000000420000000320000000022000000000 1 222222222098765432 1 222222222045 4 / 6 2222222175 2 倒序相加倒序相加 对于和头、尾等距离的两项之和相等（或有一定规律）的数列，可采取这种方法，且此为等差数列 求和公式的推导方法 【例题 9】计算1234005 2003200320032003【解析】设1234005A=2003200320032003 则
9、4005400440031A=2003200320032003 40064006400640062A=2003200320032003 2A=2+2+2+2 A=4005 3 错位相减错位相减 等比数列求和公式的推导方法， 高端应用： 如果数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对 应项之积构成的，那么这个数列的和也可以用此法来求得，实际操作时常乘以公比 【例题 10】239111112222 【解析】设239111112222S 则23910111111 222222S 两式相减得：1011122S 即9122S 【例题 11】231012310 2222 【解析】设231012310 2
10、222S 则23410111123910 222222S 两式相减得：239101111111110 2222222S 再设2391011111 22222A 则2391011111111 222222A 两式相减得：11111 222A 5 / 6 10112A 即101111101222S 8322S 4 裂项相消裂项相消 常见的裂项一般是将一项拆分成两项或多项的和或差， 使拆分后的项可前后抵消或凑整， 这种题目 看似结构复杂，但一般无需进行复杂的计算 当分母是两数乘积的形式，而分子表示为分母上这两个乘数的差，则可以进行裂项当分母是两数乘积的形式，而分子表示为分母上这两个乘数的差，则可以进
11、行裂项 11baba abababab，变形：11111baba dabdababdab， 常见形式：1111 n nddnnd【例题 12】1111251 33 55 723 25【解析】原式2511111111 213355723252511225 12 当分母不止两个数相乘当分母不止两个数相乘时，裂项时仍然只有首、尾两项参与，即分子裂成这两项之差时，裂项时仍然只有首、尾两项参与，即分子裂成这两项之差，例如： 2757511 5 6 75 6 75 6 75 6 75 66 7 即11ca abcabbc 【例题 13】1111 1 2 32 3 43 4 518 1920 【解析】原式1
12、3 142532018 21 2 32 3 43 4 518 1920 111111111 21 22 32 33 43 44 518 191920 1 11 2 21920189 760 5 通项归纳通项归纳 如果题目中给出的数字很有规律， 可以采取把这个规律用字母总结成公式的形式， 然后对公式进行 计算，找到简单的运算技巧，最后把简单运算技巧运用到每一项以达到简算的目的，这就是通项归纳的 技巧如：奇、偶数的表示方法，等差数列求和公式等属于通项归纳 【例题 14】计算：11111 22424624482448506 / 6 【解析】第n项111 22221 2nnnn n原式1111 1 2
13、2 33 42526 1126 25 26 数学运算能力是初中生应具备的一种重要的能力，是影响学生数学学习成绩的一个重要因素，是学好数学和其他理科的重要基础。在中学数学教材中运算所占的比重很大，学生运算能力的高低直接影响着学生学习的质量。 而数学学习中有些概念的引入需要通过计算来进行， 数学应用题的解题思路、步骤、结果也要通过计算来落实，公式的推导与运用同样离不开计算。至于简易方程、比例和统计图表等知识也无不与计算密切相关， 可见学生具备良好的计算能力是至关重要的。 希望同学们重视这部分的学习，并辅以适当的练习，用好错题本，将计算问题记在错题本上，并实时加以总结，拒绝同样的错误多次重复出现。 欢迎关注“教数学的 MsWang”微信公众号，请扫下方二维码
