逻辑代数基础

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1、第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础1-1 1-1 导论导论1-3 1-3 公式和定理公式和定理1-2 1-2 逻辑运算逻辑运算1-5 1-5 用代数法化简逻辑式用代数法化简逻辑式1-4 1-4 基本规则基本规则1-6 1-6 最小项和最大项最小项和最大项1-7 1-7 卡诺图化简法卡诺图化简法1-8 1-8 逻辑函数的变换逻辑函数的变换1-1导论现实世界中两大系统：模拟系统与数字系统电子数字计算机是最典型的数字系统 模拟量经采样、量化可转换为数字量在数字系统中进行处理数字系统的特点：便于加工、处理、传输、存储 等，可靠，抗干扰能力强。数字逻辑领域的前沿问题多值逻辑 模糊逻辑 计算机辅助逻辑

2、设计 集成电路设计自动化 可编程逻辑设计 数字系统与模拟系统的混合设计 逻辑电路的故障诊断，等等课程的主要内容课程的主要内容第一章第一章 逻辑代数基础逻辑代数基础第二章第二章 门电路门电路第三章第三章 组合数字电路组合数字电路第四章第四章 触发器和定时器触发器和定时器第五章第五章 时序数字电路时序数字电路第七章第七章 数模和模数转换器数模和模数转换器第六章第六章 大规模集成电路大规模集成电路数字电路的特点（1）数字电路中的信号在时间上是离散的脉冲信号，而模拟电路中的信号是随时间连续变化的信号。（2）数字电路所研究的是电路的输入输出之间的逻辑关系，而模拟电路则是研究电路的输入输出之 间的大小相位

3、等问题。数字电路的特点（3）在两种电路中，晶体管的工作状态不同。数字电路中晶体管工作在开关状态，也就是交替地工作在饱和与截止两种状态，而在模拟电路中晶体管多工作在放大状态。（4）数字电路采用二进制，主要分析工具是逻辑 代数，而模拟电路采用十进制，主要分析工 具是普通代数。数字电路的数字电路的分类分类按电路组成结构分立元件集成电路小规模集成电路中规模集成电路 大规模集成电路 超大规模集成电路集成电路数字电路的数字电路的分类分类按电路所用器件双极型电路(TTL)单极型电路(CMOS)按电路逻辑功能组合逻辑电路时序逻辑电路新学期，新开端，新机遇，新挑战！让我们共同走进数字化世界，开创更加美好的数字化

4、生活！预祝同学们取得优异成绩！1-2 1-2 逻辑运算逻辑运算逻辑代数中的变量与普通代数中的变量一样， 也是以A、B、C等字母来表示，但这些变量只能取值 为0或1，这里的0或1不表示变量的大小，而表示两种 对立的关系，如低电平、高电平；无信号、有信号； 开关的断、通；灯的熄、亮等。逻辑代数表达的是电 路输入与输出间的逻辑关系，而不是数量关系。Ff(A，B，C)其中：A、B、C.为输入逻辑变量，取值是0或l；F为输出逻辑变量，取值是0或l；F称为A、B、C.的输出逻辑函数。 一、逻辑代数的基本运算1、“与”运算EABCF真值表设：开关打开“0” 闭合“1”灯灭“0” 亮“1”00 0 0 0 0

5、 1 0 1 0 0 1 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 1 1A B C F0 0 0 0 0 0 1 逻辑函数式F=AB C 逻辑符号ABCF&A BCFABCF2、“或”运算AEB C F设：开关打开“0” 闭合“1”灯灭“0” 亮“1”ABCF 00010111110111100001111010101011或逻辑真值表逻辑函数式F=A+B+C逻辑符号FABC1FABC+ABCF3、“非”运算EFARAF 001 1非逻辑真值表逻辑函数式逻辑符号AFAFA1FABF=ABF=A+BF=AF=A二、复合逻辑关系1、“与非”F=ABA BFA BF&F=AB AC ACD BD

6、“与非”表达式A BCDF2、“或非”F=A+B+CFABC+FABC1F=A+B+A+C+D+B+D“或非”表达式3、“与或非”F=AB+CD4、“异或” F=AB+ABF+A BC DA B F1 0 10 0 0 0 1 11 1 0=ABA BF=1A BF5、“同或”F=AB+AB=A BA BFA BFC D&=A BF关于门电路符号的说明P CFP CF+P CF+先“或”后“非”和先“非”后“与”等价先“与”后“非”和先“非”后“或”等价P CF1-3 公式和定理1、基本公式0 0=01+1=11 A=A0+A=A0 A=01+A=10 1=01+0=11 1=10+0=00

7、=11 =0A A=0A+A=1A+A=AAA=AA=A2、定理A B=B AA+B=B+A交换律A (B C)=(A B) CA+(B+C)=(A+B)+C结合律A (B+C)=A B+A CA+B C=(A+B) (A+C)分配律(德摩根定律)AB=A+BA+B=AB1 0 0 0 0 1 1 1 A B AB A+B1 11 11 10 0摩根定律的应用 、求反函数F=AB+BC+ACDF=AB+BC+ACD=ABBCACD 、将“与或”表达式化为“与非”表达式F=AD+BCD+ABC+CD=ADBCDABCCD吸收律A+AB=A+BA(A+B)=ABA+AB=AA(A+B)=A证：由分

8、配律A+AB=(A+A)(A+B)=A+B3、常用公式包含律(A+B)(A+C)(B+C)=(A+B)(A+C)AB+AC+BC=AB+AC证：AB+AC+BC=AB+AC+BC(A+A)=AB+AC+ABC+ABC=AB(1+C)+AC(1+B)=AB+AC推论：AB+AC+BCDEF=AB+AC3、“异或”性质AA=0AA=1A0=AA1=AAB=AB=(AB)1AB=BAA(BC)=(AB)CA(BC)=(AB)(AC)“异或”门电路的用处(1)可控的数码原/反码输出器(2)作数码同比较器(3)求两数码的算术和A0=A A1=AA B F1 0 10 0 0 0 1 11 1 01-4

9、基本规则一、代入规则：AB=A+B用A=CD代替A,等式仍成立CDB=CD+B=C+D+B二、反演规则：F:若：“”“+”,“+”“”,“0”“1”,“1”“0”原变量反变量，反变量原变量则：FF【例】F1=AB+BD+ACD+0F1=(A+B)(B+D)(A+C+D)1F2=A+BD+ABCDF2=A(B+D)(A+B+C+D)三、对偶规则：若：“”“+”,“+”“”,“0”“1”,“1”“0”F:则：FFF与F互为对偶函数如果两个函数相等，则它们的对偶函数也相等 。1A=A0+A=AAB+AC+BC=AB+AC(A+B)(A+C)函数对偶式的对偶式为函数本身。(A+B)(A+C)(B+C)

10、 =1-5 1-5 代数法逻辑函数的化简代数法逻辑函数的化简一、“与或”表达式的化简最简与或表达式：1、乘积项的个数最少(用门电路实现，用的与门数最少)。2、在满足1的条件下，乘积项中的变量最少(与门的输入端最少)。省器件：用最少的门，门的输入也最少【例1】展开：合并：互补律：互补律：F=A(BC+BC)+ABC+ABC=ABC+ABC+ABC+ABC=(ABC+ABC)+(ABC+ABC)=AC(B+B)+AC(B+B)=AC+AC=A【例2】F=A(B+C)+BC=ABC+BC=A+BC反演律吸收律【例3】F=ABC+ABC+CD+BD+ABD=(CD+BD+ABC)+ABC+ABD=CD

11、+BD+ABC+AB包含、吸收律=CD+BD+ABD+ABC包含、吸收律 =CD+BD+BC+AB包含律=CD+BD+BD+BC+AB=CD+B+BC+AB=CD+B【例4】F=AB+ABBC+BC=AB+AB+BC+BC=AB+AB+BC+BC+AC=AB+BC+AC或 =AB+AB+BC+BC=AB+AB+BC+BC+AC =AB+BC+AC可见：最简式不唯一二、“或与”表达式的化简最简条件：(1)、或项个数最少(或门用的最少)(2)、在满足1的条件下，或项中变量数最少化简方法：1、利用对偶规则，将“或与”表达式转换为“与或”表达式。2、实际化简“与或”表达式。3、利用对偶规则将“与或”最

12、简表达式转换为“或与”最简表达式。1-6 最小项与最大项最小项【例】 n=3，对A、B、C，有8个最小项乘积项 包含全部变量 以原变量或反变量的形式只出现一次CBACBACBA CBACBACBACBACBA最小项最小项编号 m0m1 m2m3编号 m4m5m6 m7最小项的性质1)最小项为“1”的取值唯一。如：最小项ABC，只有ABC取值101时，才为“1”，其它取值时全为“0”。2)任意两个最小项之积为“0”。3)全部最小项之和为“1”。4)某一个最小项不是包含在函数F中，就包含在反函数F中。最小项表达式全部由最小项构成的“与或”表达式为最小项表 达式(标准“与或”表达式)。【例1】F=A

13、BC+BC=ABC+BC(A+A)=ABC+ABC+ABC =m4+m5+m7=m(4，5，7)三人表决电路【例2】C B AF 00000001110111100001111010101011F=ABC+ABC+ABC+ABC=m3+m5+m6+m7=m(3，5，6，7)最大项或项 包含全部变量 以原变量或反变量的形式只出现一次【例】 n=3，对A、B、C，有8个最大项CBAMCBAMCBAMCBAMCBAMCBAMCBAMCBAM76543210+=+=+=+=+=+=+=+=最大项表达式C B AF 00000001110111100001111010101011F=(A+B+C)(A+

14、B+C)(A+B+C)(A+B+C)=M0M1M2M4=M(0，1，2，4)最大项的性质1)最大项为“0”的取值唯一。如：最大项A+B+C,只有ABC取值010时，才为“0”，其它取值时全为“1”。2)任意两个最大项之和为“1”。3)全部最大项之积为“0”。4)某一个最大项不是包含在函数F中，就包含在反函数F中。最小项和最大项的关系C B AF 000000011101111000011110101010111、相同i的最小项和最大项互补。Mi=mi mi=Mim3=ABCM3=A+B+C2、mi和Mi互为对偶式。F=m(3，5，6，7)F=M(0，1，2，4)=ABC+ABC+ABC+ABC

15、=(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)(A+B+C)1-7 卡诺图化简一、卡诺图的构成(1)、由矩形或正方形组成的图形 (2)、将矩形分成若干小方块，每个小方块对应一个最小项 2变量卡诺图一个整体可由代表4个最小项的四个小方格组成：ABABABAB改画成： m0m1 m2m3AB0110m0m1m2m33 3变量卡诺图变量卡诺图一个整体分成8个小方格 注意上表头编码按00011110 循环 码顺序排列，而不是00011011 4 4变量卡诺图变量卡诺图5变量卡诺图2、逻辑函数的卡诺图表示 将函数表示为最小项之和的形式 。 在卡诺图上与这些最小项对应的位置上添 入1，其余地方添0。例：3卡诺图化简 依据：具有相邻性的最小项可合并，消去 不同因子。 在卡诺图