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1、华华 北北 水水 利利 水水 电电 学学 院院矩阵可逆的判定及求解课 程 名 称： 线性代数 专 业 班 级： 测控技术与仪器 88 班 成 员 组 成： 姓名：彭扬 学号：201108826 姓名：曾臻荣 学号：201108827 姓名：焦军华 学号：201108828 姓名：魏福恒 学号：201108829 联 系 方 式： 15639726136 2012 年10 月 16 日第 2 页矩阵可逆的判定及求解矩阵可逆的判定及求解摘要：在高代数中在高代数中, ,矩阵已成为数学中一个极其重要的应用广泛的的概念矩阵已成为数学中一个极其重要的应用广泛的的概念, ,特别是可逆矩阵已特别是可逆矩阵已成
2、为代数特别是高等代数的一个主要研究对象成为代数特别是高等代数的一个主要研究对象, ,必需深入了解必需深入了解. .求逆矩阵的方法有定义法、公式求逆矩阵的方法有定义法、公式 法、初等变换法、分块矩阵求逆法等法、初等变换法、分块矩阵求逆法等, ,本文将提供这几种方法供大家参考本文将提供这几种方法供大家参考. .关键词：可逆矩阵的定义、齐次方程组、可逆矩阵的定义、齐次方程组、初等变换化为单位矩阵、分块矩阵求逆、分解矩阵初等变换化为单位矩阵、分块矩阵求逆、分解矩阵求逆、递推法求逆、递推法Matrix reversible decision and the solutionAbstract: In th
3、e higher algebra, the matrix in mathematics has become an extremely important concept of widely used, especially invertible matrix algebra especially higher algebra has become one of the main research object, it is necessary to deeply understand. Inverse matrix method is definition method, formula m
4、ethod, the elementary transformation method, block inverse matrix method, etc, this paper will provide the several methods for your reference.Key words: Invertible matrix of the definition, homogeneous equations, elementary transformation into unit matrix, partitioned matrix inversion, decomposition
5、 of matrix inversion, recursive method引言：引言：矩阵是数学中一个极其重要的应用广泛的概念，它是代数，特别是现性代数的一个主要研究对象。其中逆矩阵又是矩阵理论中一个非常重要的概念，逆矩阵的可逆性及其求法自然也就成为要研究的主要内容之一。本文主要是对课本中关于可逆矩阵判定方法的总结，在阶数较高的矩阵可逆判定、用分块矩阵求逆矩阵、分解矩阵求逆法上略有拓展，另外参考相关资料列出递推法求逆。1 1、可逆矩阵的定义、可逆矩阵的定义定义:设是阶矩阵，如果存在阶矩阵，使得n，则称是可逆矩阵AnnBEBAABA（或称为非奇异矩阵） ，是的逆矩阵。ABA从这个定义可知，单位
6、矩阵 E 的可逆矩阵就是其自身。2 2、矩阵可逆性的判定、矩阵可逆性的判定第 3 页2.1 n 阶方阵可逆的充分必要条件是|A|0，且此时.A*11AAA此定理判断矩阵可逆很容易，只是求逆矩阵非常的麻烦，适用于求低阶矩（二阶、三阶）的逆矩阵的情况。2.2 利用矩阵的初等行变换，若矩阵可化为单位矩阵，则可逆，并可直接求出逆矩阵。此种方法最常用。 矩阵可以化为单位矩阵，所以矩阵可逆。AA 2.3A 为 n 阶方阵，若存在 n 阶矩阵 B 满足 AB=E（或 BA=E） ， ，则矩阵是可逆的，且A=、.1ABAB1若要判断是否可逆，则只要看是否能找到与其乘积等于的矩阵即可。AE 例 2.1 矩阵和满
7、足-=，证明可逆，并求其逆矩阵。ABA BA BEA证明：由=可得-=，即（）（），于是（） （）=.所以可逆，且逆矩阵为EABE EEABE 2.4 若 n 阶矩阵的秩为 n，即 r(A)=n,则矩阵可逆。利用矩阵秩的定义或利用初等行变换将矩阵化为行阶梯型矩阵求其秩，看是否等于矩阵的 阶数。例 2.2 判断矩阵是否可逆？ =.A 523012101解： 200210101220210101523012101所以R（A）=3，矩阵可逆。A2.5 方阵 A 为可逆矩阵的充要条件是 A 可以写成初等矩阵的乘积。 即 A=P1P2Ps，其中 Pi是初等矩阵。2.6 可逆 A 的行（列）向量组线性无关
8、。A 2.7 可逆 齐次方程组 AX=0 只有零解。A若齐次方程组 AX=0 只有零解，则 r(A)=n，A 可逆。2.8 可逆 非齐次线性方程组 AX=B 总有唯一解。A 2.9 n 阶矩阵可逆的充分必要条件是它的特征值都不等于 0. 即 |A|=12i0，A 可A 逆。 此方法将判断矩阵是否可逆转化为求方程的解。例 2.3 判断矩阵是否可逆？=.AA 120222023解：解得特征值为 =-0521 120222023EA第 4 页1，=2，=5.因此矩阵可逆。A2.10 一类阶数较高矩阵可逆性的判定对于二阶矩阵（1）当时，则可逆，且其逆为，利用 dcbabcad acbdbcad1这一简
9、单结论可简单的判定形如（2） 一类方阵是否可逆，1 1 11 1 1abcd 其中（2）中未标的元素主对角线上全为 1，其它元全为 0.定理 2.10 矩阵（2）可逆当且仅当矩阵（1）可逆。证：记矩阵（2）为，由于 则有：A1 1 11 1 1abcd 矩阵（2）可逆矩阵可逆。00dcbaAA3 3、逆矩阵的求法、逆矩阵的求法3.1 用定义去求逆矩阵 定义 3.1 设是一个阶矩阵，如果存在阶矩阵，使=，则称为可逆矩阵，AnnBA BB A EA并称是的可逆矩阵。 BA例 3.1 已知阶矩阵满足。证明+4可逆并求出.nA0322EAAAE14 EA证明：把变形为(+4)（）=-5，可得（+4）
10、（0322EAAAEEA2EAE）=，所以存在一个矩阵=，B 使（+4）=。由定义得EA52 51EBEA52 51AEBE第 5 页+4可逆，且=.AEB14 EABEA52 513.2 用初等变换去求逆矩阵如果可逆，则可通过初等行变换化为单位矩阵，即存在相应的初等矩阵、AAE1E2E使（1） ，用又乘上式两端，得（2） ，比较sEsE2E1EAE1AsE2E1EE1A（1） 、 （2）两式，可知当通过行初等变换化为的同时，对单位矩阵作同样的初等行变AEE换，就化为的逆矩阵.同样，只要用列的初等变换也可以求逆矩阵。A1A(1)初等行变换如果阶矩阵可逆，作一个 2的矩阵（，） ，然后对此矩阵施
11、以初等行变换，nAnnAE使矩阵化为单位矩阵，则同时即化为了。即（，）（，）AE1AAEE1A (2)初等列变换如果阶矩阵可逆，作一个 2的矩阵，然后对此矩阵施以初等列变换，使矩nAnn EA阵化为单位矩阵，则同时化为,即.AEE1A EA 1AE(3)混合采用初等行、列变换如果阶矩阵可逆，列出三个矩阵如下：，（为单位矩阵） 。对这三个矩阵nAEAEE施以变换，当对做一次行变换，便对左边的矩阵做同样的行变换；每对做一次列变换，AEA便对右边的矩阵作同样的列变换。最后可得：，,所以=.EPEQ1AQP用伴随矩阵去求逆矩阵例 3.2 判断矩阵是否可逆，=AA 523012101解： 1000100
12、01523012101EA1030120012202101012112711521125100010001127012001200210101 矩阵可以化为单位矩阵，所以矩阵可逆。AA3.3 用伴随矩阵求逆矩阵定理 3.3 阶矩阵=（）为可逆的充要条件是非奇异。且 nAijaA第 6 页=，其中是中元素的代数余子式。矩阵1AA1112111222212nnnnnnAAAAAAAAA ijAAija称为矩阵的伴随矩阵，记作，于是有= .112111222212nnnnnnAAAAAAAAA A*A1AA1*A3.4 用分块矩阵去求逆矩阵设、分别为、阶可逆矩阵，则，ABpq10 BCA 1110B
13、CBAA，10 BDA 11110BDABA100 BA 1100BA.100 BA 0011AB例 3.3 求矩阵的逆矩阵。S3111522100110012解：令，所以A 1112B 3152D 11211A 2111，.1B 215311DAB 1173019故1S10 BDA 11110BDABA21117533019002100113.5 分解矩阵求逆法分解矩阵求逆法，即将已知矩阵分解成两个矩阵之和，然后再求其逆。定理 3.5 设为阶可逆矩阵，且，其中已知，是可逆阵，AnABXCY1BCrrr，又设可逆，则n1C1B. （）1A1B1BX111XYBCY1B第 7 页例 3.4 求矩
14、阵=的逆矩阵。A5543264432653326655442321解：=+A111116543265432654326655443322=+=111111111111111 5432111111+由公式得：=BX2EY1A19113543261443265153266554416327特别的，当是l,是 1，且=（1）时，公式（1）就变成了XnYnC=-1A1BXYB1111BX1B3.6 特征多项式法定理 3.6 设是矩阵， 可逆 存在常数项不为 0 的多项式（x） ，使AnnAg()=0.gA使|，得出的特征值 1、2、i，则有对角阵（1，2，i），有可逆矩阵 P、Q，使 PAP=，则有 A=QQ.3.7 递推法递推法利用阶可逆矩阵
