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1、微分方程的基本概念 第一节微分方程的基本概念引例 几何问题物理问题1引例1. 一条曲线通过点(1,2) ,在该曲线上任意点处解: 设所求曲线方程为 y = y(x) , 则有如下关系式:(C为任意常数)由 得 C = 1,因此所求曲线方程为由 得的切线斜率为 2x , 求该曲线的方程 . 2引例2. 列车在平直路上以的速度行驶, 制动时获得加速度求制动后列车的运动规律. 解: 设列车在制动后 t 秒行驶了s 米 ,已知由前一式两次积分, 可得 利用后两式可得因此所求运动规律为说明: 利用这一规律可求出制动后多少时间列车才 能停住 , 以及制动后行驶了多少路程 . 即求 s = s (t) .3
2、常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程 .方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程方程中仅含一个自变量微分方程的基本概念的阶.分类引例2引例1 方程中所含自变量多于一个4( n 阶显式微分方程)一般地 , n 阶常微分方程的形式是或 使方程成为恒等式的函数. 通解 解中所含独立的任意常数的个数与方程 的阶数相同 .特解微分方程的解 不含任意常数的解, 其图形称为积分曲线 .引例1 通解: 特解:引例25 确定通解中任意常数的条件 .n 阶方程的初始条件(或初值条件):定解条件 引例2引例1 通解: 特解: 求微分方程满足初始条件的特解这样 一个问题.初值问题 6例1. 验证函数是微分方程的解,的特解 . 解: 这说明是方程的解 .是两个独立的任意常数,利用初始条件易得: 故所求特解为故它是方程的通解.并求满足初始 条件 7求所满足的微分方程 .例2. 已知曲线上点 P(x, y) 处的法线与 x 轴交点为 Q解: 如图所示, 令 Y = 0 , 得 Q 点的横坐标即点 P(x, y) 处的法线方程为且线段 PQ 被 y 轴平分, 8
