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1、 努努力力打打造造国国内内最最开开放放的的资资源源下下载载基基地地和和最最专专业业的的远远程程教教育育平平台台！华师新版八上华师新版八上12.112.1 平方根与立方根平方根与立方根同步辅导同步辅导情境体验情境体验探索发现探索发现传说很久以前，在古希腊的某个地方发生大旱，地里的庄稼都快干死了，于是大家一起到神庙里去向神祈求神说：“你们原来给我做的这个正方体的祭坛太小，如果你们做一个比它大一倍的祭坛放在我面前，我就会给你们降下雨水 ”大家觉得这好办，于是很快做好一个新祭坛送到神那儿，新祭坛的边长是原祭坛边长的二倍可是神更加恼怒，他说：“你们竟敢愚弄我！这个祭坛的体积根本不是原来的两倍，我要进一步
2、地惩罚你们！”要做一个体积是原祭坛 2 倍的新祭坛，它的边长应是原来的多少？为解决诸如此类的问题，我们现在来共同学习“平方根与立方根” 知识提炼知识提炼教材详解教材详解 相关知识回顾相关知识回顾 1 1有理数的乘方有理数的乘方：求几个相同的因数的积的运算，叫做乘方其计算的结果叫做幂在 an中，a 叫底数，n 叫做指数，an表示 ，即 n 个 a 相乘2 2乘方运算符号的规律乘方运算符号的规律：正数的任何次幂都是正数；负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数；0 的任何次幂为0因此，任何数的偶数幂是一个非负数例如，a20 新知识点导学新知识点导学 知识点知识点 1 1 根据平方根的意义，利用平方来
3、检验或求算某数的平方根根据平方根的意义，利用平方来检验或求算某数的平方根(1)平方根、算术平方根的概念： 如果一个数的平方等于 a, 那么这个数就叫做 a 的平方根平方根（squaresquare rootroot 也叫二次方根） 正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根算术平方根，记作，读作a“根号 a” (2)平方根的性质：一个正数 a 有两个平方根；0 有一个平方根，就是 0 本身；负数没a有平方根解读解读： 平方根与算术平方根的区别在于：平方根与算术平方根的区别在于：定义不同；定义不同；个数不同：一个正数有两个平方根个数不同：一个正数有两个平方根, , 而一个正数的算术平方根只有
4、一个；而一个正数的算术平方根只有一个；表示方法不同：正数表示方法不同：正数 a a 的平方根表示为的平方根表示为, , 正数正数 a a 的算的算a术平方根表示为术平方根表示为；取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数取值范围不同：正数的算术平方根一定是正数, , 正数的平方根是一正一正数的平方根是一正一a负负其联系在于：其联系在于：具有包含关系具有包含关系( (一个数的平方根包含算术平方根一个数的平方根包含算术平方根, , 算术平方根是平方根中的一算术平方根是平方根中的一个个) )；存在条件相同一个数的平方根和算术平方根都只有非负数才有；存在条件相同一个数的平方根和算术平方根都只有非负数才有
5、；00 的平方根与算术平的平方根与算术平方根都是方根都是 0 0 anaaaa个努努力力打打造造国国内内最最开开放放的的资资源源下下载载基基地地和和最最专专业业的的远远程程教教育育平平台台！(3)开平方：求一个非负数的平方根的运算, 叫做开平方开平方与平方互为逆运算将一个正数开平方，关键是找出它的一个算术平方根 例例 11 16 的平方根是_；的算术平方根是 .41 思维点拨思维点拨 正数 a 的平方根有两个：，它们是互为相反数；正数的算术平方根只有一a个，即正数 a 的正的平方根a 解解 (1) 因为 42=16，所以=4，因此的平方根是4；168116(2) 因为()2=，因此的算术平方根
6、是21 41 41 21 思维拓展思维拓展 的平方根是多少？先算出=4，再求 4 的平方根1616知识点知识点 2 2 根据立方根的意义，利用立方来检验或求算某数的立方根根据立方根的意义，利用立方来检验或求算某数的立方根(1)立方根的概念：如果一个数的立方等于 a，那么这个数就叫做 a 的立方根立方根（cubecube rootroot 也叫做三次方根） 即 x3=a，则 x 是 a 的立方根(2)开立方：求一个数的立方根的运算，叫做开立方开立方与立方互为逆运算解读解读： (1)(1)立方根的性质：正数的立方根是正数；立方根的性质：正数的立方根是正数；0 0 的立方根是的立方根是 0 0；负数
7、的立方根是负数因；负数的立方根是负数因此，任何一个数都有它的一个立方根；此，任何一个数都有它的一个立方根；(2)(2)立方根的表示方法：每个数都只有一个立方根：立方根的表示方法：每个数都只有一个立方根： 用符号用符号“”表示，读作表示，读作“三次根号三次根号3aa”,a”, 其中其中 a a 是被开方数，是被开方数，3 3 是根指数，根指数是根指数，根指数“3”“3”不能省略不能省略(3)(3)被开方数是互为相反数的两个数，其立方根仍是互为相反数被开方数是互为相反数的两个数，其立方根仍是互为相反数( (即即) )因此，求因此，求33aa一个负数的立方根一个负数的立方根, , 只要先求出这个负数
8、的绝对值的立方根只要先求出这个负数的绝对值的立方根, , 然后取它的相反数然后取它的相反数, , 也可以说，三也可以说，三次根号内的负号可移到根号外面次根号内的负号可移到根号外面 (4)(4)平方根和立方根的联系：平方根和立方根的联系：都与相应的乘方运算互为逆运算；都与相应的乘方运算互为逆运算；都可归结为非负数的非负都可归结为非负数的非负方根来研究平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根方根来研究平方根主要通过算术平方根来研究，而负数的立方根也可通过转化为正数的立方根来研究，即来研究，即=；00 的平方根和立方根都是的平方根和立方根都是 0 03a3a两者的区别
9、：两者的区别：在用根号表示平方根时在用根号表示平方根时, ,根指数根指数 2 2 可以省略；而用根号表示立方根时可以省略；而用根号表示立方根时, ,根指数根指数3 3 不能省略；不能省略；平方根只有非负数才有；平方根只有非负数才有； 而立方根任何数都有而立方根任何数都有, ,且每个数都只有一个立方根例如且每个数都只有一个立方根例如6464 没有平方根没有平方根, , 但立方根但立方根4 4；正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个例如正数的平方根有两个，而正数的立方根只有一个例如 7 7 的平的平方根是方根是7,7 7 的立方根只有的立方根只有37 例例 22在做浮力实验时，小华用一根细线将
10、一正方体铁块拴住后放入盛满水的圆柱形烧杯中，并用一量筒量得被铁块排开的水的体积为 40.5 立方厘米，小华又将铁块从烧杯中提起，量得烧杯中的水位下降了 0.62 厘米请问烧杯内部的底面半径和铁块的边长各是多少？(用计算器计算，结果精确到 0.1 厘米) 努努力力打打造造国国内内最最开开放放的的资资源源下下载载基基地地和和最最专专业业的的远远程程教教育育平平台台！(习题习题 12.112.1 第 5 5 题) 思维点拨思维点拨 根据“等积变形”知，正方体在圆柱形烧杯中排开的水的体积既等于正方体铁块的体积，又等于圆柱形烧杯的底面面积与水位下降的高度之积 解解 设烧杯内部的底面半径为 R，铁块的边长
11、为 x，根据题意，得：x3=R20.62=40.5，由平方根、立方根定义知，x=3.4(cm)， 35 .40R=4.6()14. 362. 05 .40 答答 烧杯内部的底面半径和铁块的边长各约为 4.6和 3.4cm知识点知识点 3 3 利用计算器求一个数的平方根利用计算器求一个数的平方根( (或立方根或立方根) )、探索规律、探索规律科学计算器的基本操作：常见的计算基本上是两行显示的，直接按书写顺序按键，就可以显示计算式子，并可修改已输入的计算式子其中，键 ACON 是开机(清除)键；要关机，则按键 OFF解读解读：求一个非负数的算术平方根的按键顺序，只需直接按书写顺序按键即先按求一个非
12、负数的算术平方根的按键顺序，只需直接按书写顺序按键即先按键，再键，再输入被开方数，最后按输入被开方数，最后按=键例如，求键例如，求，在计算器上依次键入在计算器上依次键入 1 4 4 = ， 显显144示结果为示结果为 1212，所以，所以，的算术平方根为算术平方根为 1212144用计算器求一个有理数的立方根的按键顺序：只需直接按书写顺序按键若被开方数为负数，用计算器求一个有理数的立方根的按键顺序：只需直接按书写顺序按键若被开方数为负数，“”号的输入可以按号的输入可以按 () ，也可以按，也可以按 例如，例如， 在计算器上依次键入在计算器上依次键入 （） 0 0 0 0 2 1 6 = ，显示
13、结果为，显示结果为30.060.06，所以，所以06. 0000216. 03 例例 33借助计算器计算下列各题：(1)； (2)；211221111(3)； (4)222111111222211111111仔细观察上面几道题及其计算结果，你能发现什么规律？你能解释这一规律吗？与同学交流一下想法并用所发现的规律直接写出下面的结果_(复习题复习题 C 组 第 5 5 题) 2100112002222111个个 思维点拨思维点拨 观察以上四个式子，发现其规律是：它们的被开方数都是两数的差，被减数各数位上的数字都是 1，减数各数位上的数字都是 2，其结果各数位上的数字都是 3；被开方数中被减数的位数
14、是减数的位数的 2 倍，也是计算结果的位数的 2 倍 解解 (1)=3； (2)=33；211221111(3)=333； (4)=3333222111111222211111111努努力力打打造造国国内内最最开开放放的的资资源源下下载载基基地地和和最最专专业业的的远远程程教教育育平平台台！ 方法规律方法规律 “数数 m 的平方根是的平方根是a、b” 与与“ a、b 是是 m 的平的平方根方根”这两种说法所表达的意这两种说法所表达的意思不同：前者可以挖掘其隐含思不同：前者可以挖掘其隐含条件条件 a+b=0，即一个非负数的，即一个非负数的平方根有两个，它们是互为相平方根有两个，它们是互为相反数；
15、后者存在反数；后者存在 a+b=0、a=b这两种情况这两种情况 方法规律方法规律 (1)利用平方与开平方、立方与开利用平方与开平方、立方与开立方的互逆关系，可以解决：立方的互逆关系，可以解决：利用利用平方（或立方）运算来求一个数的平平方（或立方）运算来求一个数的平方根或算术平方根（或立方根）方根或算术平方根（或立方根）, 用平方（或立方）来检验所求得的方用平方（或立方）来检验所求得的方根是否正确，根是否正确，已知一个数的方根，已知一个数的方根，反过来求这个数；反过来求这个数；(2)非负数非负数 a 的平方的平方根一般有两个：根一般有两个：a其规律为； 3212333222111个个个nnn所以， 2100112002222111个个 31001333个 方法规律方
