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1、栏目名：知识巧梳理知识巧梳理考前复习考前复习 根式盘点根式盘点一、知识结构图一、知识结构图二、重点梳理二、重点梳理（一）（一）二次根式的有关概念二次根式的有关概念1形如（a0）的式子叫做二次根式二次根式事实上（a0）表示非负数 aaa的算术平方根算术平方根（正数 a 的正的平方根叫做正数 a 的算术平方根。零的算术平方根是零） 如的算术平方根是 .932 2满足下列两个条件的二次根式叫做最简二次根式最简二次根式： （1 1）被开方数的因数是整数整数，因式是整式整式（即被开方数不含分母） ； （2 2）被开方数中不含不含能开得尽方的因数或因式如等是最简二次根式.但等不是最简二次根式.53;2ab
2、238;2a b3 3几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同被开方数相同的二次根式，叫做同类二次根式同类二次根式. .如如是同类二次根式.2; 8; 184 4把分母中的根号化去叫做分母有理化分母有理化 常用的有理化因式：（1）与； （2）与； （3）与aaababab cab c如与；与 1-； 与.5513323 223 2（二）二次根式的主要性质（二）二次根式的主要性质（1）（a0）是一个非负数，即0（a0） ；aa平方根算术平方根二次根式化简运算加减乘除最简二次根式同类二次根式实数的绝对值的性质（2）()2=a (a0)；（3） ；a2aa(0)(0)a aa a（4）二次根式的
3、乘法法则：(0,0)abab ab（5）二次根式的除法法则：(0,0)aaabbb（三）（三）二次根式的运算二次根式的运算（1）二次根式的加减：二次根式相加减，先把各个根式化成最简二次根式最简二次根式，再 把同类二次根式分别合并（同类二次根式分别合并（类似整式中的合并同类项） 。（2）二次根式的乘除：二次根式相乘除，把被开方数相乘除被开方数相乘除，根指数不变根指数不变。三、特别关注三、特别关注1. 注意二次根式的双重非负性，它表示非负数非负数 a 的算术平方的算术平方aa根根.：(1)被开方数被开方数 a 必须是非负数必须是非负数. (2) 的结果是非负数非负数. a即0（a0）.a2注意二次
4、根式的乘除法则的使用条件，及会逆用乘除法法则对二次根式进行化简即，但，0,0.ababab中0,0,aaabbb中因为分母为零时，分式无意义。 3二次根式的加减的关键就是合并同类二次根式合并同类二次根式.为判断同类二次根式应先 将二次根式化简，二次根式运算的结果也应尽可能化简.4在进行二次根式的混合运算时，要注意充分运用有理数（或式）的运算 律、运算法则、乘法公式及借助有理式运算中的分解因式、通分、约分 等方法，简化运算过程，提高运算速度。四、思想方法四、思想方法 （一）类比思想：（一）类比思想：二次根式是在算术平方根的基础上引入的，二次根式的加减 是类比合并同类项得到的。（二）分类思想：（二
5、）分类思想：对式子 的化简。2aa(0)(0)a aa a五、考点例析五、考点例析 考点考点 1：算术平方根：算术平方根例例 1（05 南京）南京）9 的算术平方根是（ ）A-3 B. 3 C. D.813分析分析:因为 9 的平方根是,所以9 的算术平方根是 9 的正的平方根 3,故选 B.3考点考点 2: 最简二次根式最简二次根式例例 2 (05 哈尔滨市哈尔滨市) 在下列根式中,最简二次根式的个数为( )34 5 ; 2; 8aabxA4 个 B. 3 个 C. 2 个 D.1 个分析分析: 是最简二次根式, 中有因式可以开出,中有因数可以4 5 ; ab32a2a8x22开出，所以不是
6、最简二次根式.故选故选 C.32; 8ax考点考点 3: 同类二次根式同类二次根式例例 3 (05 北京市北京市) 下列根式中,能与合并的是( )3A B. C. D.24123 218分析分析: 能与合并的应是的同类二次根式,这几个二次根式都不是最简二次33根式, 应先化为最简二次根式,=; ;.242 6122 336 22183 2所以与是同类二次根式的是,故选故选 B.312例例 4 (05 青海省青海省)若最简二次根式与的被开方数相同,则的值为( )1a42aaA B. C. D.3 4a 4 3a 1a 1a 分析分析: 最简二次根式与的被开方数相同;即,解得.1a42a142aa
7、1a 故选故选 C. 考点考点 4: 二次根式的运算二次根式的运算 例例 5 (06 山东省东营市山东省东营市) 下列计算正确的是 ( )A B. 82227129413C. D.25251623 22分析分析: : 由二次根式的性质和运算法则的. 而 B 选项中822 222明显用被开方数除以非被开方数,错用二次根式除法法则;C 选项用平方差公式即可得 45 =1; D 选项丢了=-1 这一项.故选 A.2 2例例 6 （05 江西省）江西省）化简得( )8222A-2 B. C. 2 D.224 22分析分析:由二次根式的性质和运算法则得,.82222 222 22 故选故选 A. 考点考
8、点 5:分母有理化化简分母有理化化简例例 7 （06 北京市）计算北京市）计算0282121分析：原式分析：原式=.2( 21)2 211 考点考点 6: 运用二次根式的性质化简运用二次根式的性质化简例例 8（06 江西省）江西省）已知 22(2)aa，则22,20,222.aaaaa 分析：例例 9 9 （0505 绍兴）绍兴）化简得（ ）2244123xxx A2 B. C. 2 D.44x44x分析分析: :由由, ,所以所以230,210xx 得2244123xxx = = =, ,故应选故应选 A.A.221(23)xx21 232xx 考点考点 7 7：二次根式成立的条件：二次根式
9、成立的条件例例 10 （06 山西省课该实验区）代数式山西省课该实验区）代数式有意义时，字母有意义时，字母的取值范围（的取值范围（ 1 1xx）A B. C. D.1x 1x 01xx且01x 且x分析分析: :由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，所以由分母不为零和二次根式的被开方数为非负数，所以10,x 即即故选故选 A A1.x 考点考点 8 8：估算二次根式：估算二次根式例例 11 （06 沈阳课改）估算沈阳课改）估算的值为的值为( )243A A在在 5 5 和和 6 6 之间之间 B.B. 在在 6 6 和和 7 7 之间之间 C.C. 在在 7 7 和和 8 8 之间之间 D
10、.D.在在 8 8 和和 9 9 之间之间. .分析：因为分析：因为即即，所以，所以. .故选故选 C.C.162425424572438栏目名：栏目名：重难点剖析重难点剖析二次根式的二次根式的“五重点五重点” “三难点三难点”详解详解一、一、 五大重点一一攻克五大重点一一攻克1 1二次根式的概念：二次根式的概念：重点注意被开方数是非负数。被开方数是非负数。例例 1 1 判断下列式子哪些是判断下列式子哪些是二次根式二次根式 （1） （2）； （3）； （4）； （5）13;3595x2x剖析：剖析：判断一个带根号的式子是否为二次根式应从二次根式的概念入手，先看 根指数是否为 2，被开方数整体是
11、否为非负数解：（1） 被开方数-13 是负数，不是二次根式。13（2） 根指数是 3 ， 不是二次根式。35（3）被开方数 90 是二次根式。9(4) 可取正数、负数、0； 可取正数、负数、0。x5x即当时，是二次根式；当时，不是二次根式。50x5x50x5x（5） ， ，即当时，是二次根式；当时，20x 20x0x 2x0x 不是二次根式。2x2 2二次根式的两个重要性质的理解和运用二次根式的两个重要性质的理解和运用（1）()2=a (a0)；（2） ；a2aa(0)(0)a aa a例例 2 2 化简（1） （2） 221x 34a剖析：剖析： ()2=a (a0)的运用主要看被开方数整体
12、是否为非负数。aa（1） 中中无论无论取何实数恒为正数，故取何实数恒为正数，故=；21x x221x 21x 运用 要特别关注的正负性。2aa(0)(0);a aa aa（2）中由得，所以34a340a0,0aa =2=。34a42()aaA2aa2aa3.3.最简二次根式的概念的运用最简二次根式的概念的运用例例 3 3 在二次根式15453040,，22 3中，最简二次根式有（ ）个A. 1 B. 2C. 3D. 4 剖析：判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点剖析：判断一个二次根式是否为最简二次根式应抓住以下两个特点 （1 1）被开方数不含分母； （2 2）被开方数中不含不含
13、能开得尽方的因数或因式例 3 中满足以上两个特点，故都是最简二次根式；而15, 3015; 30中被开方数分别含有能开得尽方的因数 9 和 4，故459 5; 404 10都不是最简二次根式；中被开方数含分母 3，故不是45; 4028233223最简二次根式。故选 B。 4.4.运用二次根式乘除法法则计算或化简运用二次根式乘除法法则计算或化简例例 4 化简化简:12( 276)24A解解:原式原式=12122412242427627627642442.933例例 5 计算：计算：532332aaba bbb解解:原式原式= 534423932aab a ba b abbbb AAA= 。 2
14、2 299a baba b abb 点拨点拨: 运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时运用二次根式乘除法法则进行乘除混合运算时, ,一要注意运算顺序，一要注意运算顺序， 二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果。二要注意整体观察被开方数之间的关系，合理搭配，达到简化运算的效果。5. 二次根式加减法法则的运用二次根式加减法法则的运用例例 6 计算计算1120.5183解解:原式原式=23112 33 223322332753232点拨：运用二次根式加减法则计算的关键是先把各二次根式化成最简二次根式，点拨：运用二次根式加减法则计算的关键是先把各二次根式化成最简二次根式， 再合并同类二次根式。再合并同类二次根式。二、三大难点各个击破二、三大难点各个击破1二次根式的双重非负性及两个重要性质的条件的使用。二次根式的双重非负性及两个重要性质的条件的使用。例例 1 1 已知已知求求的取值范围？的取值范围？3222,xxx x x剖析：二次根式剖析：二次根式中中的取值范围为的取
