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1、第 1 页 共 9 页福建省福建师大附中 2012 届高三上学期期中考试数学（文）试题（满分：150 分，时间：120 分钟） 说明：试卷分第 1 卷和第 2 卷，请将答案填写在答卷纸上，考试结束后只交答案卷。第卷 共 60 分一、选择题：（ 每小题 5 分，共 60 分；在给出的 A、B、C、D 四个选项中，只有一项符合题目要 求 ）1设复数且，则复数的虚部为（ ）1zbi ()bR| 2z A B C Di3i132若且，则下列结论正确的是（ ）, , ,a b c dR,ab cdA B C D22acbcacbd11 abacbd3曲线上点处的切线斜率为 4，则点的一个坐标是（ ）23
2、xxy0P0PA （0，-2） B （1, 1） C （-1, 4） D （1, 4）4定义在上的偶函数满足：对任意，且都有，则（ ）12,0,)x x 12xx1212( )()0f xf xxxA B(3)( 2)(1)fff(1)( 2)(3)fffC D( 2)(1)(3)fff(3)(1)( 2)fff5汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程看 作时间的函数，其图像可能是（ ）6已知的不等式的解集是（） ，则关于的不等式的解集是0xb1,()(2)0xb x（ ）stO AstOstOstO B CD第 2 页 共 9 页A B （1，2）
3、(, 1)(2,) C （1，2） D(,1)(2,)7设向量,满足,，则 “”是 “”成立的（ ） ab2 5a (2,1)b (4,2)a abA充要条件 B必要不充分条件 C充分不必要条件 D不充分也不必要条件8已知命题:p“0,1 ,xxae ” ，命题:q “” ，若命题均是真2,40xR xxa , p q命题，则实数的取值范围是（ ）A B C ,4e D(,14,)1,49已知，则的值是（ ）2cossin3657sin6A B C D2 52 53 53 510在中, ,，为的中点 ,则=（ ）ABC1AB 2BC AC()BEBABC A3 B C-3 D3 23 211设
4、lmn、为不同的直线，、为不同的平面，有如下四个命题：若，则l 若且则,l,mn若,lm mn，则l 若，则, l n,nl其中正确的命题个数是（ ）A B C3 D12设函数，若为函数的一个极值点，则 2, ,f xaxbxc a b cR1x ( )xg xf x e下列图像不可能为的图像是（ ） yf xA B C D第卷 共 90 分2 俯视图112 侧视图112 正视图11OX -1YOX -1YOX -1YOX -1Y第 3 页 共 9 页二、填空题（每小题 4 分，共 16 分）13已知等差数列中，na19920aa则 5020801 2aaa14若某多面体的三视图（单位：cm）
5、如下图所示， 则此多面体的体积是 cm315已知向量=,若，则的最小值为 a(2,1),xb(1, )yab33xy16已知数列的递推公式，则 ；数列中第 na*2, ),nnn n aNan 为奇数 （n为偶数2425aa na8 个 5 是该数列的第 项 三、解答题：（本大题共 6 题，满分 74 分） 17 （本小题满分 12 分）下图是某简谐运动的一段图像，它的函数模型是（） ，其中，( )sin()f xAx0x 0A，022（）根据图像求函数的解析式；( )yf x（）将函数图像上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数( )yf x1 2的图像，求函数在上的最大值和最小值
6、( )yg x( )yg x,218 （本小题满分 12 分）已知各项为正数的数列的前项和为,首项为,且 2,成等差数列, na nS1ananS第 4 页 共 9 页60ABC东南西北（）求数列的通项公式； na（）若，求数列的前项和2log,n nnn nbba ca ncnT19 （本小题满分 12 分）如图，渔船甲位于岛屿的南偏西60方向的处，且与岛屿相距 12 海里，渔船乙以 10 海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚 好用 2 小时追上 （）求渔船甲的速度；（）求sin的值20 （本小题共 12 分） 如图，在四面体 PABC
7、中，PCAB，PABC,点 D,E,F,G 分别是棱 AP,AC,BC,PB 的中点 （）求证：DE平面 BCP； （）求证：四边形 EFGD 为矩形； （）是否存在点 Q，到四面体 PABC 六条棱的中点的距离相等？说明理由21 （本小题满分 12 分）第 5 页 共 9 页已知函数（为实数）321( )1,3f xxaxbx, ,xR a b（）若是函数的零点，求证：函数不是单调函数；1x ( )f x( )f x（）若函数在区间上是单调减函数，求的最小值( )f x 1,2ab22 （本小题满分 14 分）已知函数（是常数） ，( )ln1af xxx（）讨论的单调区间;( )f x（）
8、当时,方程在上有两解，求的取值范围；1a ( )f xmx ee,171828. 2e（）求证: 1ln1n nn，且1( n)*Nn第 6 页 共 9 页参考答案DDCBA ACCAD BD 1325 147 15 6 16 28; 640 17本题考查三角函数的图像和性质、图像的平移伸缩等基础知识，考查推理论证能力、运算求解 能力，考查方程与函数、数形结合数学思想方法满分 12 分解：（）由函数图象及函数模型知；( )sin()f xAx2A 由，得213433T1 2由最高点得，又，4(2)3，142232k26k 226 所求函数解析式为1( )2sin()026yf xxx（）解法一
9、：将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不)621sin(2)(xxfy21变，得到)6sin(2)(xxgy， x265 63 x当，即时，有最大值 2；26x32x( )g x当，即时，有最小值 165 6xx( )g x解法二：将图象上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得)621sin(2)(xxfy21到)6sin(2)(xxgy令，函数的单调递增区间是，6tx2sinyt2,222kkZk 由，得，kxk22622kxk23223Zk 设， 则，A ,2,23223|ZkkxkxBAB 32,2函数在区间上单调递增( )yg x32,2同理可得，函数在区间上单调递减( )y
10、g x,32又，3)2(g2)32(g1)(g第 7 页 共 9 页60ABC东南西北函数在上的最大值为 2，最小值为 1( )yg x,218 （）解：- -22nnaS1122(2)nnaSn得,又,12nnaa111222aSa2nna（）解:,用错位相减法得: -2nnnC 23123.2222nnnT -23411123.22222nnnT由 得 222nnnT19解：（1）依题意，120BAC，12AB ，10 220AC ，BCA在ABC中，由余弦定理，得2222cosBCABACABACBAC2212202 12 20 cos120784 解得28BC 所以渔船甲的速度为142
11、BC海里/小时答：渔船甲的速度为14海里/小时（2）在ABC中，因为12AB ，120BAC，28BC ，BCA，由正弦定理，得sinsin120ABBC ；即312sin1203 32sin2814AB BC 答：sin的值为3 3 1420 （共 12 分） 证明：（）因为 D，E 分别为 AP，AC 的中点， 所以 DE/PC。 又因为 DE 平面 BCP， 所以 DE/平面 BCP。 （）因为 D，E，F，G 分别为 AP，AC，BC，PB 的中点， 所以 DE/PC/FG，DG/AB/EF。 所以四边形 DEFG 为平行四边形， 又因为 PCAB，所以 DEDG， 所以四边形 DEF
12、G 为矩形。 （）存在点 Q 满足条件，理由如下： 连接 DF，EG，设 Q 为 EG 的中点第 8 页 共 9 页由（）知，DFEG=Q，且 QD=QE=QF=QG=EG21分别取 PC，AB 的中点 M，N，连接 ME，EN，NG，MG，MN。 与（）同理，可证四边形 MENG 为矩形，其对角线点为 EG 的中点 Q，且 QM=QN=EG，所以 Q 为满足条件的点2121解：（）, ,1(1)103fab 4 3ba 3214( )()133f xxaxax24( )2()3fxxaxa2444()3aa 2443aa21144()243a21134()0212a必有两个不同的实根,( )0fx22 1244,33xaaaxaaa 当; 1(,),( )0xxfx 12( ,),( )0xx xfx 2(,),( )0xxfx故存在两个极值点即不是单调函数( )f x( )f x（）函数在区间上是单调减函数( )f x 1,2函数在上有恒成立 1,2( )0fx ，故点构成可行域（图略）( 1)01 2021(2)044044fabbafabba ( , )a b，由图可知目标函数经过点时取到最小值441 2 221baabba zab1(,2)
