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1、实验探究一道中考平面几何题的题源安徽省歙县中学 郑观宝 （邮编 ： ）1 问题展示 问题 如图 ， 正六边形 ABCDEF 的边长 为 a ，P是边 BC 上一动点 ， 过 P作 PM AB 交 AF 于点 M ，作 PN CD 交 DE 于点 N ， （） MPN ； 求证 ：PM PN a ； （）如图 ， 点 O 为线段 AD 的中点 ， 连接 OM 、ON ，求证 ：OM ON ； （）如图 ， 点 O 为线段 AD 的中点 ，OG 平 分 MON ，判断四边形 OMGN 是否为特殊的 四边形 ， 并说明理由 这是 年安徽省初中毕业学业考试数学 试题 其中“ PM PN a”的题源是非
2、常明显 的 ： 将正六边形还原成为正三角形 ， 就可发现 “ PM PN 为定值（边长）”就是等腰三角形的性 质 ： 过等腰ABC 底边 BC 上任意一点 P 作两腰的平行线 ， 与两腰分别相交于 M 、N 两点 ， 则 PM PN 为定值（腰长） 在各类中考试题中 ， 还经常用到下列题源 ： （ ）若点 P在等腰ABC 底边 BC 两端的延长线上 ， 则PM PN为定值（腰长） ； （ ）等腰ABC 底边BC 所在直线上任意一点 P 到两腰的距离之和（或差）为 定值（腰上的高） 为了方便后续探究 ， 下 面仅给出一种证明方法 ： 如 图 ， 连接 BE 交 PM 于 H 点 ， 在正六边形
3、ABCDEF 中 ，PN CD ， 又 BE CD AF ，所以 BE PN AF 又 PM AB ，所以四边形 AM HB 、 四边形 HEN P 均为平行四边形 ，BPH 为等边三角形 故 PM PN MH HP PN AB BH HE AB BE a 事实上 ， 原中考题 （）是 （）（判断四边形 OMGN 是否为菱形）的一个步骤 ， 因此 ， 下面重 点实验探究问题（）的真正源头在哪里 ？ 2 实验探究PMN “心” 的性质 在枟几 何 画 板枠 中 ，通 过 实 验 容 易 发 现 PMN 的下列“心”的性质 ： 性质 1 PMN 的外心为定点（正六边形 的中心 O ） ， 且 MO
4、N 证明 如图 ， 由于正六边形 ABCDEF 的 边 AB 、CD 的中垂线交点就是该正六边形的中心 O ，又由于等腰梯形上下两底的中垂线重合 ， 所 以 PM 、PN 的 中垂线的交 点也是 O 点 ，即 PMN 的外心为 O 点 由于 MPN ，由（）可知 MON MPN （同弧所对的圆心角是圆周角的 两倍） ； 原考题第（）小题正是这条性质 性质 2 PMN 的重心 G始终在定直线 AD 上（如图 ） 证明 取 PN 的中点 J ， 取 MJ 的靠近 J 点的三等分 点 G，过 M 、G、J 作直线 BC 的垂线 ， 垂足分别为 M、 G、J，则只要证 ：GG a 由三角形相似知识 可
5、得 GGJJ （MM JJ） JJ MM （PM PN）sin a 年第 期中学数学教学故 G与 G重合且在 AD 上 性质 3 PMN 的垂心始终在定直线 AD 上 证明 由于任意三角形的外心 、重心 、垂心 共线（即所谓的欧拉线） ， 所以PMN 的垂心一 定在直线 AD 上 性质 4 PMN 的内心在某定二次函数上 移动（如图 ） （由于证明过程会用到高中知识 ， 限于篇幅 ， 这里仅给出实验结果图） 3 实验探究OMN “心” 的性质同上 ， 通过数学实验容易发现OMN 的下列“心”性质（如图 ） ： 性质 1 OMN 的外心的轨迹就是线段EF 性质 2 OMN 的垂心 H 的轨迹就是
6、线段 BC 性质 3 OMN 的重心 G始终在平行于 AD 的定直线上 性质 4 OMN 的内心 I 始终在平行于 AD 的定直线上 性质 5 OMN 的外心 、内心 、重心 、垂心在过 O 点的同一直线上 先证性质 1 在图 中 ， 设 MN 的中垂线与 EF 相交于点 G 则只要证 GM GN GO ； 由于 OG 垂直平分 MN ， MOG ，则只要证 ：OM OG ； 连接 OE 、OF ，由 AOF MOG 可 得 AOM FOG ，因此AOM 碖FOG （ ASA ） ， 所以 OM OG 从上述证明可得 ， 若 OG 平分 MON ，则四 边形 OMGN 为菱形 这正是原中考试题
7、的第（）小题所要证明的 结论 再证性质 2 在图 中 ， 设 MN 的中垂线与 BC 边相交于点 H 连接 HM 、HN ，要证 H 为 MON 的垂心 ， 只要证 ：HMN 为正三角形 因为 OP OM ON OG （已证） ， 又由正 六边形的对称性可得 OH OG ， 所以 P、M 、G 、N 、H 五点都在以 O 为圆心的 圆上 又因 MPN ， 故 MH N ，又 HM HN ，故HMN 为正三角形 性质 、 的证明与PMN “心”的性质 的 证明类似 ， 限于篇幅 ， 具体过程这里略去 证明性质 5 因为MON 为等腰三角形 ，所以其“四心”都在顶角 MON 的平分线上 ， 即在
8、过 O点的同一直线上 4 关于原考题（3）“源”的探究 将考题（）的图形简化 成等腰梯形 ， 就变成“判断 等 腰 梯 形 内 接 菱 形” 的 问题 ： 题源探究 1 如图 ， 等腰梯形 ABCD 的底角 A ，AB 为其外接圆 的直径 ， 若 AM CN ，O 为 AB 的中点 ，OG 平 分 MON ，则四边形 OMGN 为菱形 简 证 连 接 OC 、OD 易 推OAM碖 OCN ，则 MON AOC， 又 MOG AOD ，则 MOA GOD ， 于是MOA碖GOD ，故 OM OG ，从而 MOG 为正三角形 ， 故四边形 OMGN 为菱形 由此可见 ， 上述等腰梯 形的内接菱形
9、OMGN 有无 穷多个 ， 且“ AM CN ，O 为 AB 的中点”是它的一个 充分条件 我们自然要问 ， 这个条件是“四边形 OMGN 为菱形”的充要条件吗 ？ 题源探究 2 如图 ， 等腰梯形 ABCD 的底 角 A ，AB 为其外接圆的直径 ， 若四边形 OMGN 为菱形 ， 求证 ： （） AM CN ； （） O 为 AB 的中点 简证 （）过点 M 作 BC 的平行线 ， 交 AB 于 I 点 ， 则 MA MI 又 OM 瓛 GN ， OI GC ， 可得OMI 碖GNC ，故 CN MI AM ；（）假设 O 不是 AB 的中点 ， 取 AB 的中点 O，由（）得 AM CN
10、 ，则四边形 OMGN 为菱 形 ， 故 MN 有两条中垂线 OG 、OG，此为矛盾 所以 O为 AB 的中点 综上所述 ， “ AM CN ，O为 AB 的中点”是 “四边形 OMGN 为菱形”的充要条件 至此 ， 我们还会有疑问 ， 在什么样的等腰梯 形中 ， 上述充要条件还成立吗 ？ 题源探究 3 如图 ， 等腰梯形 ABCD 中 ， AM CN ，O 为 AB 的中点 ， 若四边形 OMGN中学数学教学 年第 期为菱 形 ，探 究 等 腰 梯 形 ABCD 应满足什么条件 ？ 解 过 M 作 AB 的平 行线交 BC 于 M，取 BC 的中点 K ，易推 BM AM CN ，OM OA
11、 ，则 KM KN ，OM ON ，故 OK 垂直平分 BC ，于是 OB OC ，即 AB 为等腰梯形 ABCD 外接圆的直径 于是得到 ： 等腰梯形 ABCD 中 ，AB 为其外 接圆的直径 ， OG 平分 MON ，则 “四边形 OMGN 为菱形”的充要条件为“ AM CN ，O为 AB 的中点” 证明过程与上述探究雷同 ， 这里略去（也可 参考后面更一般的情形） 可见 ， 原中考题（）是 A 的特殊 情形 但是 ， 我们又有新的疑问 ， 在一般等腰梯形 中 ， “四边形 OMGN 为菱形”的充要条件是什么 ？ 题源探究 4 如图 ， 等腰梯形 ABCD 中 ，AM CN ，MN 的中垂
12、线与两底 分别相交于 E、F ，求证 ： （） 四边形 EMFN 为菱形 ； （） 直线 EF 过定点（等腰梯形 ABCD 外接圆的圆心 O ） 证明 （）过 M 作 BC 的平行 线 交 AB 于 G ， 连 CG ， 则 MA MG 瓛 CN ，即平行四边形 CNGM 则 CG 经过 MN 的中点 H ，故 H 为 CG 的中点 ， 于是 H 为 EF 的中点 ， 即 MN 垂直平分 EF ， 从而四边形 EMFN 为菱形 ； （）在图 中 ，连 OA 、OB 、OC 、OD 、OM 、 ON ，因 AD BC ，故 AOD BOC ，故 MAO NOC ， 易推MAO 碖NOC 故 OM
13、 ON ， 即点 O 在 MN 的中垂线上 ， 即直线 EF 过定点 O 反过来 ： 如图 ， 若等腰梯形 ABCD 有内接 菱形 EMFN ，求证 ： （） AM CN ； （）直线 EF 过定点（等腰梯形 ABCD 外接圆的圆心 O ） 证明 （）连 CH 并延长与 AB 相交于 G 点 ， 连 MG ， 因为 H 为 MN 的中点 ， 所以 H 为 CG 的中 点 ， 易推 MG 瓛 CN 且 MG MA ，故 AM CN ； （）因为 AM CN ，由前面证明结论可知 ， 直线 EF 过定点 O 可见“ AM CN ”是“四边形 MFNG 为菱 形”的充要条件 ， 且内接菱形作法是 ：
14、 在腰 AD 、 BC 上分别取 M 、N ，使得 AM CN ； 作 MN 的中垂线 原中考问题（）是上述结论的非常特殊的 情形 4 一般梯形内接菱形的充要条件是什么 ？ 同上 ，我们利用数学实验可以得到下列 结论 ： 结论 1 如图 ， 梯形ABCD 中 ，AMMDCN NB，MN 的中垂线与两底分别 相 交 于 E 、F ， 则 四 边 形 MFNE 为菱形 ； 证明 过 C、N 作 AD 的平行线 ， 分别交 AB 于 K 、G ， 连 DG 则NG CKBN BC 痴 NG CK AD ，由AM MD痴 DM AD ，则 DM 瓛 NG ，得平行四边形 DMGN ， 故 DG 过 MN 的中点 H ，易推 H 也为 EF 的中点 ， 即 MN 是 EF 的中垂线 ， 故四边形 MFNE 为菱形 结论 2 如图 ， 四边形 MFNE 为梯形ABCD 的内接菱形 ， 则AM MDCN NB；证明 延长 DH 与 AB 交于 G ， 作 CK AD 交 AB
