《实验探究一道中考平面几何题的题源》由会员分享,可在线阅读,更多相关《实验探究一道中考平面几何题的题源(3页珍藏版)》请在金锄头文库上搜索。
1、实验探究一道中考平面几何题的题源安徽省歙县中学 郑观宝 (邮编 : )1 问题展示 问题 如图 , 正六边形 ABCDEF 的边长 为 a ,P是边 BC 上一动点 , 过 P作 PM AB 交 AF 于点 M ,作 PN CD 交 DE 于点 N , () MPN ; 求证 :PM PN a ; ()如图 , 点 O 为线段 AD 的中点 , 连接 OM 、ON ,求证 :OM ON ; ()如图 , 点 O 为线段 AD 的中点 ,OG 平 分 MON ,判断四边形 OMGN 是否为特殊的 四边形 , 并说明理由 这是 年安徽省初中毕业学业考试数学 试题 其中“ PM PN a”的题源是非
2、常明显 的 : 将正六边形还原成为正三角形 , 就可发现 “ PM PN 为定值(边长)”就是等腰三角形的性 质 : 过等腰ABC 底边 BC 上任意一点 P 作两腰的平行线 , 与两腰分别相交于 M 、N 两点 , 则 PM PN 为定值(腰长) 在各类中考试题中 , 还经常用到下列题源 : ( )若点 P在等腰ABC 底边 BC 两端的延长线上 , 则PM PN为定值(腰长) ; ( )等腰ABC 底边BC 所在直线上任意一点 P 到两腰的距离之和(或差)为 定值(腰上的高) 为了方便后续探究 , 下 面仅给出一种证明方法 : 如 图 , 连接 BE 交 PM 于 H 点 , 在正六边形
3、ABCDEF 中 ,PN CD , 又 BE CD AF ,所以 BE PN AF 又 PM AB ,所以四边形 AM HB 、 四边形 HEN P 均为平行四边形 ,BPH 为等边三角形 故 PM PN MH HP PN AB BH HE AB BE a 事实上 , 原中考题 ()是 ()(判断四边形 OMGN 是否为菱形)的一个步骤 , 因此 , 下面重 点实验探究问题()的真正源头在哪里 ? 2 实验探究PMN “心” 的性质 在枟几 何 画 板枠 中 ,通 过 实 验 容 易 发 现 PMN 的下列“心”的性质 : 性质 1 PMN 的外心为定点(正六边形 的中心 O ) , 且 MO
4、N 证明 如图 , 由于正六边形 ABCDEF 的 边 AB 、CD 的中垂线交点就是该正六边形的中心 O ,又由于等腰梯形上下两底的中垂线重合 , 所 以 PM 、PN 的 中垂线的交 点也是 O 点 ,即 PMN 的外心为 O 点 由于 MPN ,由()可知 MON MPN (同弧所对的圆心角是圆周角的 两倍) ; 原考题第()小题正是这条性质 性质 2 PMN 的重心 G始终在定直线 AD 上(如图 ) 证明 取 PN 的中点 J , 取 MJ 的靠近 J 点的三等分 点 G,过 M 、G、J 作直线 BC 的垂线 , 垂足分别为 M、 G、J,则只要证 :GG a 由三角形相似知识 可
5、得 GGJJ (MM JJ) JJ MM (PM PN)sin a 年第 期中学数学教学故 G与 G重合且在 AD 上 性质 3 PMN 的垂心始终在定直线 AD 上 证明 由于任意三角形的外心 、重心 、垂心 共线(即所谓的欧拉线) , 所以PMN 的垂心一 定在直线 AD 上 性质 4 PMN 的内心在某定二次函数上 移动(如图 ) (由于证明过程会用到高中知识 , 限于篇幅 , 这里仅给出实验结果图) 3 实验探究OMN “心” 的性质同上 , 通过数学实验容易发现OMN 的下列“心”性质(如图 ) : 性质 1 OMN 的外心的轨迹就是线段EF 性质 2 OMN 的垂心 H 的轨迹就是
6、线段 BC 性质 3 OMN 的重心 G始终在平行于 AD 的定直线上 性质 4 OMN 的内心 I 始终在平行于 AD 的定直线上 性质 5 OMN 的外心 、内心 、重心 、垂心在过 O 点的同一直线上 先证性质 1 在图 中 , 设 MN 的中垂线与 EF 相交于点 G 则只要证 GM GN GO ; 由于 OG 垂直平分 MN , MOG ,则只要证 :OM OG ; 连接 OE 、OF ,由 AOF MOG 可 得 AOM FOG ,因此AOM 碖FOG ( ASA ) , 所以 OM OG 从上述证明可得 , 若 OG 平分 MON ,则四 边形 OMGN 为菱形 这正是原中考试题
7、的第()小题所要证明的 结论 再证性质 2 在图 中 , 设 MN 的中垂线与 BC 边相交于点 H 连接 HM 、HN ,要证 H 为 MON 的垂心 , 只要证 :HMN 为正三角形 因为 OP OM ON OG (已证) , 又由正 六边形的对称性可得 OH OG , 所以 P、M 、G 、N 、H 五点都在以 O 为圆心的 圆上 又因 MPN , 故 MH N ,又 HM HN ,故HMN 为正三角形 性质 、 的证明与PMN “心”的性质 的 证明类似 , 限于篇幅 , 具体过程这里略去 证明性质 5 因为MON 为等腰三角形 ,所以其“四心”都在顶角 MON 的平分线上 , 即在
8、过 O点的同一直线上 4 关于原考题(3)“源”的探究 将考题()的图形简化 成等腰梯形 , 就变成“判断 等 腰 梯 形 内 接 菱 形” 的 问题 : 题源探究 1 如图 , 等腰梯形 ABCD 的底角 A ,AB 为其外接圆 的直径 , 若 AM CN ,O 为 AB 的中点 ,OG 平 分 MON ,则四边形 OMGN 为菱形 简 证 连 接 OC 、OD 易 推OAM碖 OCN ,则 MON AOC, 又 MOG AOD ,则 MOA GOD , 于是MOA碖GOD ,故 OM OG ,从而 MOG 为正三角形 , 故四边形 OMGN 为菱形 由此可见 , 上述等腰梯 形的内接菱形
9、OMGN 有无 穷多个 , 且“ AM CN ,O 为 AB 的中点”是它的一个 充分条件 我们自然要问 , 这个条件是“四边形 OMGN 为菱形”的充要条件吗 ? 题源探究 2 如图 , 等腰梯形 ABCD 的底 角 A ,AB 为其外接圆的直径 , 若四边形 OMGN 为菱形 , 求证 : () AM CN ; () O 为 AB 的中点 简证 ()过点 M 作 BC 的平行线 , 交 AB 于 I 点 , 则 MA MI 又 OM 瓛 GN , OI GC , 可得OMI 碖GNC ,故 CN MI AM ;()假设 O 不是 AB 的中点 , 取 AB 的中点 O,由()得 AM CN
10、 ,则四边形 OMGN 为菱 形 , 故 MN 有两条中垂线 OG 、OG,此为矛盾 所以 O为 AB 的中点 综上所述 , “ AM CN ,O为 AB 的中点”是 “四边形 OMGN 为菱形”的充要条件 至此 , 我们还会有疑问 , 在什么样的等腰梯 形中 , 上述充要条件还成立吗 ? 题源探究 3 如图 , 等腰梯形 ABCD 中 , AM CN ,O 为 AB 的中点 , 若四边形 OMGN中学数学教学 年第 期为菱 形 ,探 究 等 腰 梯 形 ABCD 应满足什么条件 ? 解 过 M 作 AB 的平 行线交 BC 于 M,取 BC 的中点 K ,易推 BM AM CN ,OM OA
11、 ,则 KM KN ,OM ON ,故 OK 垂直平分 BC ,于是 OB OC ,即 AB 为等腰梯形 ABCD 外接圆的直径 于是得到 : 等腰梯形 ABCD 中 ,AB 为其外 接圆的直径 , OG 平分 MON ,则 “四边形 OMGN 为菱形”的充要条件为“ AM CN ,O为 AB 的中点” 证明过程与上述探究雷同 , 这里略去(也可 参考后面更一般的情形) 可见 , 原中考题()是 A 的特殊 情形 但是 , 我们又有新的疑问 , 在一般等腰梯形 中 , “四边形 OMGN 为菱形”的充要条件是什么 ? 题源探究 4 如图 , 等腰梯形 ABCD 中 ,AM CN ,MN 的中垂
12、线与两底 分别相交于 E、F ,求证 : () 四边形 EMFN 为菱形 ; () 直线 EF 过定点(等腰梯形 ABCD 外接圆的圆心 O ) 证明 ()过 M 作 BC 的平行 线 交 AB 于 G , 连 CG , 则 MA MG 瓛 CN ,即平行四边形 CNGM 则 CG 经过 MN 的中点 H ,故 H 为 CG 的中点 , 于是 H 为 EF 的中点 , 即 MN 垂直平分 EF , 从而四边形 EMFN 为菱形 ; ()在图 中 ,连 OA 、OB 、OC 、OD 、OM 、 ON ,因 AD BC ,故 AOD BOC ,故 MAO NOC , 易推MAO 碖NOC 故 OM
13、 ON , 即点 O 在 MN 的中垂线上 , 即直线 EF 过定点 O 反过来 : 如图 , 若等腰梯形 ABCD 有内接 菱形 EMFN ,求证 : () AM CN ; ()直线 EF 过定点(等腰梯形 ABCD 外接圆的圆心 O ) 证明 ()连 CH 并延长与 AB 相交于 G 点 , 连 MG , 因为 H 为 MN 的中点 , 所以 H 为 CG 的中 点 , 易推 MG 瓛 CN 且 MG MA ,故 AM CN ; ()因为 AM CN ,由前面证明结论可知 , 直线 EF 过定点 O 可见“ AM CN ”是“四边形 MFNG 为菱 形”的充要条件 , 且内接菱形作法是 :
14、 在腰 AD 、 BC 上分别取 M 、N ,使得 AM CN ; 作 MN 的中垂线 原中考问题()是上述结论的非常特殊的 情形 4 一般梯形内接菱形的充要条件是什么 ? 同上 ,我们利用数学实验可以得到下列 结论 : 结论 1 如图 , 梯形ABCD 中 ,AMMDCN NB,MN 的中垂线与两底分别 相 交 于 E 、F , 则 四 边 形 MFNE 为菱形 ; 证明 过 C、N 作 AD 的平行线 , 分别交 AB 于 K 、G , 连 DG 则NG CKBN BC 痴 NG CK AD ,由AM MD痴 DM AD ,则 DM 瓛 NG ,得平行四边形 DMGN , 故 DG 过 MN 的中点 H ,易推 H 也为 EF 的中点 , 即 MN 是 EF 的中垂线 , 故四边形 MFNE 为菱形 结论 2 如图 , 四边形 MFNE 为梯形ABCD 的内接菱形 , 则AM MDCN NB;证明 延长 DH 与 AB 交于 G , 作 CK AD 交 AB