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1、平面几何综合复习平面几何综合复习(四四)【例题精选例题精选】：例 1 ：已知：如图圆内接ABC 中，AB=BC，PA 是圆的切线 PB 与圆相交于 D 点，连结 CD，求证：ACPBCD2分析 ：本题考查，圆中证相似，首先将要证的结论等 积式，化成等比式，即求证：化为在“横”找或“竖”找这四ACPBCD2AC BPCD AC条线段是否可构造两个三角形，通过“横”找发现了 ADC，又因为已知 AC=AB，所以通过代替比例式化为，接着“横”找到ABP，只要证出ADCPAB 即可。AC BPCD AB证法一：连结 ADPA 是圆的切线，PAB=ACB， AB=AC，ACB=ABC 又ABC=ADC
2、PAB=ADC 易知：PBA=ACDPABADC即PB ACAB CDACABPBCDACBPCD2证法二：连结 ADAB=ACACB=ABC 又PA 是圆的切线 PAB=ACBPAB=ABCPABCAPB+PBC=180 又DAC+PBC=180 APB=DAC 易知PBA=ACDAPBDAC 以下同证法一。证法三：连结 AD，同证法一证得PAB=ADC，同证法二证得APB=DAC 直至证得PABADC 以下同证法一例 2：已知：如图 AB 是O 的直径，弦 CDAB 于 P，弦 AF 交 CD 于 E，求证：ADAEAF2分析：此题有直径与弦互相垂直，因此垂径定理的一垂直三平分要得到充分的
3、发挥，要证的结论，转化成比例式是：，易发ADAEAF2AD AEAF AD现该题利用共线，共角的两个三角形相似即可，连结 DF 则成功。 证明：连结 DF，AB 是O 的直径，且 ABCD，ADC=F 又DAE=FADADEAFD，即AD AFAE ADADAEAF2例例 3：已知：如图，O 中弦 ABCD，B 是 的中点，OB 交 AD 于 G 点，过 B 点的切线与 CD 的延长线交于 E 点， 求证：2AGAD = BDCE 分析：分析：由题目 B 是的中点，及 OB 是O 的 半径，易由垂径定理得到，同时利用有切线联想弦切角即ADAG 2 ，从而得到 BEAD 已知 ABCD 得到四边
4、形 ADEB 是平 EBDAADB 行四边形，再由边等及切割线定理得结论。 证明：B 为的中点，OB 为半径。ADB=A，AD=2AG，AB = BDEB 切O 于 BBEEDCEEBDAADB2 ，BEAD，ABCD，ADEB 是平行四边形，AD=BEDE=AB=BDADEDEC22AGADBDCE例例 4：已知：如图，DB 为O 的直径， A 为 BD 延长线上的一点，AC 与O 的相 切于点 E，CBAB，若AEEC=21，DE+BE=4+。2 2 求：ABC 的面积 分析：分析：题目考查圆中证相似，并且体 现了在解题过程中利用方程思想将线段 AEEC=21 设 ED=x，则 AE=2x
5、 由基本图形得到，再由勾股定理可，再由ADEAEBBCECxABx 2 2找出 DE 与 BE 的比值关系，与已知联立分别解出 DE，BEDEBE42 2 的值，从而得到 x 的值，并求出结论。 解：设，AEEC=21 AE=2xCEx 又DB 是直径，CDDB，CB 是O 的切线，CB=CE=x 在 RtABC 中，由勾股定理得ACBCAB222ABxxx92 222 AEDABEAA,ADEAEBAD AEAE ABDE EBAD xx xDE EB22 2 2ADx2 DE EB DEEBDEBE2 2 42 22 24，在 RtBED 中，由勾股定理得BD 2 6 ，ABADxxABB
6、CSABC22 62 34 62 3 1 24 62 312 2例例 5：已知：如图，BC 是O 的直径，PA 切O 于 A，交 CB 的延长线于 P，AD 是弦，且 PAPB=31，BC=20 BADP，求：BD 的长。 分析：分析：此题是发散思维方法的题目，由已知联 想，由图形联想是题设和结论相结合探索解决问题 的体现。由切线和已知可得PCAPAB，再由切割线定定理 BADP，联立比例式，通过已知构成，并由直径构成 Rt，利用勾股定理AC ABPA PB3 1 求出 AB，和 AC，再由切割定理求出，PB 和 PA，从而易得BADAPC， 求得 BD 长。解法一：连结 AC，PA 是O 切
7、线，PAB =C，P =P，PCAPAB，AC ABPC PA由切割线定理得：PA PBPC PA即AC ABPA PB3 1ACABPAPB33，BC 是直径BAC90ABACBC222 即ABAB222320，ABAC2 106 10，PAPBPC23202PBPBPB，PBPA5 215 2，在和中，APCBAD ，又，即： PBADCDBADAPCAB PABD ACBDABAC AP2 106 10 15 216解法二：连 OA，CDPA 切O 于 A PAPBPC2PAPB=31设 PA=3K PB=K 9202KK K解得KK125 20（舍去）PA 是切线，PAPB15 25
8、2PAO90又BC 是O 的直径BDC90 PBADCPAOCDBOA BDPO BCBD BD10105 2 20 16例例 6：已知：如图，O1和O2切于 P 点，经 过 P 点作直线 AB 和 CD，AB 交O1于 A 点，交O2于 B 点，CD 交O1于 C 点，交O2于 D 点。求证：APPDPBPC分析：分析：两圆相切（内，外）时，作两圆的公切线往往是勾通两圆相关条件的桥梁，所以要证只要证：APPDPBPC这样将转化证的问题，易看出只要作两圆的公切线 MNAP PBPC PDPCAPBD即可。 证明：作内公切线 MN，连结 AC，BD， 则1=A，2=B1=2 A=B 3=4 CP
9、ADPB APBP=CPDP 即：APPD =PBPC例例 7：如图：已知：O1和O2相交于点 A 和 B，且 O1在O2上，过 A 点的直线 CD 分别与O1和O2相交于点 C，D，过点 B 的直线 EF 分别与O1和O2交于点 E，F，O2的弦 O1D 交 AB 于 P， 求证：（1）CEDF（2）O AO PO D12 11分析：分析：要证 CEDF，须找出一对相关的角，利用圆内接四边形的性质和 公共弦 AB，易证出E+F=180故 CEDF， 证明：（1）ACEB 是O1的内接四边形DAB=E ABFD 为O2的内接四边形DAB+F=180 E+F=180CEDF （2）连结 O1BO
10、1A= O1BO1AB=O1BA O1BA=ADPO1AB=ADP O1=O1 A O1PDO1AO A O DO P O PO AO PO D111112 11即本题充分体现了相交两圆的公共弦的作用，所以当两圆有相交关系时，连 结两圆的公共弦可作为创造解决总是的关键之一。例例 8：已知：O1和O2相交于 B、C，AB 是O1的直径，AB，AC 的延 长线分别交O2于 D，E，过 B 点作O1的切线交 AE 于 F（1）求证：BFDE （2）若BAC=30，ACAD=12 求：SSABFADE分析：分析：（1）两圆相交，桥梁是公共弦，连结 BC，由 AB 是O1的直径知ACB=90，再由 BC
11、ED 是O2的内接四边形。则D=ACB=90， 由 BF 是O1的切线知，ABF=90，故BFDE （2）由 BF DE 知ABFADE，要求面积比，须知相似比， 由 ACAD=12，可设 AC=K，AD=2K，利用BAC=30，可求出 BA 的长，则即为相似比，相似比的平方就是所求的面积比。AB AD 证明：（1）连结 BC，AB 是O1的直径，ACB=90，四边形 BCED 是圆内接四边形 D=ACB=90，BF 切O1于 BABF=90ABF=D BFDE 解（2）BFDEABFADEADAD=12设 AC=K，AD=2K 在 RtACB 中，ACB=90，BAC=30ABACKKcos
12、303 22 3S SAB ADKKABFADE 222 3 21 3即：SSABFADE13说明：说明：这是一道综合性较强的题，考题运用了圆周角的性质，圆内接四边 形性质，切线的性质，相似三角形的性质及判定，平行线的判定及锐角三角函 数等知识，所以任何一个知识点的疏漏都会导致解题的失败。【综合练习综合练习】：一、选择题： 1、在圆 O 中，40的弧所对的圆周角的度数： A20B40C80D1602、如图，AB 是半圆 O 的直径，BAC=20，D 是 上的任意一点，则D 等于：A120 B110 C100 D903、如图，在O 中，CD 是直径，AB 是弦，ABCD 于 E，AB=8，CD=
13、10，则 CE 的长： A8B6 C3D24、正五边形的内角和为： A540B720C900D10805、如果大圆的周长是小圆的周长的 2 倍，那么大圆的面积是小圆的面积的：A2 倍B4 倍C8 倍D86、已知正六边形的边长为 2，那么它的边心距为：A2B1CD2 337、如图已知：PA 切O 于 A，PBC 是O 的割 线，且 PB=2，PA=4，则 PC 的长： A6B2 C4D88、若圆柱底面直径是 6，母线长为 10，则圆柱的侧面积为：A30B60 C90D120 9、两圆半径分别为 5cm 和 3cm，如果两圆内切，那么这两个圆的圆心距是：A8cmB2cmC11cmD1cm10、若两
14、圆外切于 A，BC 是两圆的一条外公切线 B、C 是切点，则BAC 是： A锐角B直角C钝角D平角二、计算与证明： 1、已知：如图，（1）CDF 内接于O，AB 为O 的直径，且 AB CD，FC 的 延长线与过点 B 的 AB 的垂线相交于点 E，求证：（1）BE 为O 的切线（2）BFFDEF22、已知：如图（2）AB 为O 的直径，AC 与O 相切于点 A，CEAB 交O 于 D，E， 求证：EBCDAB23、已知：如图（3）O 中弦 ABCD，B 是的中点，OB 交 AD 于 D，过 B 点的切线与 CD 的延 长线交于 E。 求证：2AGADBDCE4、已知：如图（4）在O 中，直径 AB 与弦 CD 相交于点 M，且 M 是 CD 的中点，点 P 在 DC 的延长 线上，PE 是O 的切线，E 是切点，AE 与 CD 相交于 点 F， 求证：PFPCPD25、已知：如图 AB 是O 的直径，C 为O 上一 点，D 是的中点，CD 交 AB
