中考中的镶嵌问题

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1、 - 1 -中考中的镶嵌问题中考中的镶嵌问题解答镶嵌问题的关键是判断围绕一个点拼在一起的几个多边形的内角加在一起是否恰好是一个周角如果能构成一个周角，则能镶嵌成一个平面，否则不能镶嵌现以中考题为例加以说明一、用同一种正多边形镶嵌一、用同一种正多边形镶嵌例 1（2008 年哈尔滨市）某商店出售下列四种形状的地砖：正三角形；正方形；正五边形；正六边形若只选购其中一种地砖镶嵌地面，可供选择的地砖共有（ ）（A）4 种；（B）3 种 ；（C）2 种；（D）1 种分析：解答此类问题的关键是求出各正多边形的内角度数，若内角度数是 360的约数，则这个正多边形能够进行平面镶嵌，否则不能进行平面镶嵌解：由于正

2、三角形、正方形、正五边形、正六边形的内角度数分别为 60、90、108、120显然，108不是 360的约数，所以正五边形不能进行平面镶嵌故应选C评注：只用同一种正多边形进行平面镶嵌的，只有三种正多边形，即正三角形、正方形、正六边形二、用两种或两种以上正多边形组合镶嵌二、用两种或两种以上正多边形组合镶嵌例 2（2008 年绥化市）一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成其中的两个分别是正方形和正六边形，则第三个正多边形的边数是 分析：本题是用三种正多边形平面镶嵌，并且一个顶点处每种正多边形只有一个的情形，不妨设所用的三种正多边形的边数分别为 n1、n2、n3，则有111802 nn

3、221802 nn331802 nn=360，整理得，11 n21 n31 n=21解：根据分析可知，11 n21 n31 n=21，即416131 n=21解得，n3=12所以第三个正多边形的边数是 12评注：（1）用两种正多边形组合镶嵌：通过计算会发现，正三角形分别与正四边形、- 2 -正六边形、正十二边形等组合进行镶嵌；正四边形分别与正三角形、正八边形等组合进行镶嵌 （2）用三种正多边形组合镶嵌，且一个顶点处每种正多边形只有一个，则所用正多边形的边数应满足11 n21 n31 n=21三、运用镶嵌探索规律三、运用镶嵌探索规律例 3（2008 年重庆市）如图是一块瓷砖的图案，用这种瓷砖来铺

4、设地面，如果铺成一个 22 的正方形图案（如图） ，其中完整的圆共有 5 个，如果铺成一个 33 的正方形图案（如图） ，其中完整的圆共有 13 个，如果铺成一个 44 的正方形图案（如图） ，其中完整的圆共有 25 个，若这样铺成一个 1010 的正方形图案，则其中完整的圆共有 个分析：本题可从每次铺设地面中完整的圆的个数进行分析，按照由特殊到一般的数学解题方法来寻找规律解：把如图所示的四个图案中完整的圆的个数列表如下，并对这些数据进行分析：完整圆的个数第 1 个1=12（11）2第 2 个5=22（21）2第 3 个13=32（31）2第 4 个25=42（41）2n 个n2（n1）2所以

5、，若这样铺成一个 1010 的正方形图案，则其中完整的圆的个数为：n2（n1）2= 102（101）2=181评注：解决此类问题要把握住图案及图案中所反映出的数据之间的对应关系，通过观察、对比、归纳、猜想等方法，研究图案的变化规律，从而探索出数字的变化规律，进而找到问题的解决方法- 3 -用正多边形瓷砖镶嵌地面用正多边形瓷砖镶嵌地面观察一些建筑物的地面，可以发现这些地面常常是用一种或几种正多边形瓷砖铺砌而成，你知道用哪些正多边形瓷砖可以镶嵌地面吗？一、用同一种正多边形瓷砖镶嵌地面一、用同一种正多边形瓷砖镶嵌地面例 1 为迎接大学生冬季运动会，某市正在进行城区人行道路翻新，准备选用同一种正多边形

6、地砖铺设地面下列正多边形的地砖中，不能进行平面镶嵌的是（ ）正三角形 正方形 正五边形 正六边形 分析：当用 n 块内角为 x的同一种正多边形围绕一点拼在一起时，则有 nx=360，此时有 n=，由于 n 为正整数，所以 x 只能为 60，90，120也就是正多边形中只有正x360三角形（内角为 60） ，正方形（内角为 90） ，正六边形（内角为 120）才能单独镶嵌地面，而其它的同一种正多边形瓷砖不能单独镶嵌地面解：选 C提示：用一种正多边形瓷砖可以镶嵌地面，这种正多边形只能是正三角形，正方形，正六边形中的一种二、用两种正多边形瓷砖镶嵌地面二、用两种正多边形瓷砖镶嵌地面例 2 在下列四组多

7、边形地板砖中，正三角形与正方形；正三角形与正六边形；正六边形与正方形；正八边形与正方形将每组中的两种多边形结合，能镶嵌地面的是（ ）ABCD分析：假设用 x 块正三角形瓷砖与 y 块正方形瓷砖可以镶嵌则 60x+90y=360，即 2x+3y=12，由于 x，y 为正整数，只有当 x=3，y=2 时 2x+3y=12 成立，所以用 3 块正三角形瓷砖和 2 块正方形瓷砖可以镶嵌地面；同样的方法可以知用 2 块正三角形瓷砖和 2 正六边形瓷砖或用 4 块正三角形瓷砖和 1 块正六边形瓷砖可以镶嵌地面；用 2 块正八边形瓷- 4 -砖和 1 块正方形瓷砖可以镶嵌地面；用正六边形和正方形瓷砖不能镶嵌

8、地面解：选 D提示：用两种正多边形瓷砖镶嵌地面，这两种瓷砖可以是正三角形和正方形，正三角形和正六边形，正方形和正八边形三、用三种不同的正多边形瓷砖镶嵌地面三、用三种不同的正多边形瓷砖镶嵌地面例 3 一块美观的地板是由四块边长相等的正多边形瓷砖镶嵌而成，其中 3 块分别是正三角形，正四边形、正六边形瓷砖，则另外一块瓷砖为( )A正三角形 B正方形 C正六边形 D正八边形分析: 因为正三角形、正方形、正六边形的内角分别是 60，90，120，因为镶嵌时，拼接处的角度和应为 360，所以另一块正多边形的内角应为 360-60-90-120=90由此可知另一块瓷砖为正方形解：选 B提示：用一块正三角形

9、瓷砖，两块正方形瓷砖和一块正六边形瓷砖可以镶嵌地面 注意：不存在四种或四种以上的正多边形瓷砖的镶嵌的情况 在用同一种正多边形瓷砖镶嵌地面时，一般多用正方形瓷砖或正六边形瓷砖，虽然正三角形瓷砖也可以镶嵌地面，但它不及正方形瓷砖大方实用，施工也麻烦，在镶嵌地面时，一般不使用正三角形瓷砖而多用正方形或正六边形瓷砖- 5 -用什么样的正多边形才能镶嵌用什么样的正多边形才能镶嵌用形状相同或不同的平面封闭图形，把一块地面既无缝隙、又不重叠地全部覆盖，叫做平面镶嵌，也叫做密铺。在日常生活中，最常见的是正多边形的镶嵌。由于镶嵌的正多边形的边必与另一正多边形的边重合，所以镶嵌的正多边形的边都必须相等，且在每个顶

10、点处镶嵌的各个正多边形的内角和为 3600。我们关心的问题是选择什么样的正多边形才能镶嵌,现就几种类型分类探究如下,供同学们参考:一、用一种正多边形镶嵌一、用一种正多边形镶嵌假设由个正边形恰好镶嵌，则这些铺在一个顶点处的个正边形的个内角和knknk应等于 3600，而正边形的每个内角的度数为，nnn0180)2(因此有，即，所以，00 360180)2(nnknnk2)2(22 nnk因为、均为正整数，且3，所以只能取 3、4、6，这时分别为 6、4、3，knnnk这说明只用一种正多边镶嵌可有 3 种选择：用 6 块正三角形，或用 4 块正方形，或用3 块正六边形。二、用两种正多边形组合镶嵌二

11、、用两种正多边形组合镶嵌1、用正三角形和正方形组合镶嵌设可用个正三角形和个正方形进行镶嵌，则由正三角形的每个内角为 600，正方xy形的每个内角为 900，得到，整理得，因为、均为正整3609060yx1232 yxxy数，故满足条件的、的值只有=3、=2，这说明可用正三角形和正方形组合镶嵌，xyxy在一个顶点处需用 3 个正三角形和 2 个正方形。2、用正三角形和正六边形组合镶嵌设可用个正三角形和个正六边形进行镶嵌，则由正三角形的每个内角为 600，正xy六边形的每个内角为 1200，得到，整理得，同样因为、36012060yx62yxx均为正整数，故满足条件的、的值有=4、=1，或=2、=

12、2，这说明可用正三yxyxyxy- 6 -角形和正六边形组合镶嵌，在一个顶点处需用 4 个正三角形和 1 个正六边形，或用 2 个正三角形和 2 个正六边形那么，还有哪两种正多边形可以组合镶嵌？设可用个正边形和个正边形进行xmyn组合镶嵌，则，000 360180)2(180)2(nnymmx整理得： 其中:、均为正整数，,3、1)(21ny mxyxmnxymn1,6,通过枚举得到满足条件的、的值有:xymnxy=3、=4、=3、=2；mnxy=3、=6、=4、=1 或者mnxy=3、=6、=2、=2；=3、=12、=1、=2；=4、=8、=1、=2；mnxymnxymnxy这说明除了可用正

13、三角形和正方形以及正三角形和正六边形进行组合镶嵌外，还可用 1 个正三角形和 2 个正十二边形以及用 1 个正方形和 2 个正八边形进行组合镶嵌。三、用三种正多边形组合镶嵌三、用三种正多边形组合镶嵌 设所用三种正多边形的边数分别为，并设在每个顶点处每种正多边形只1n2n3n用 1 个，则，030 320 210 1360180)2(180)2(180)2( nn nn nn整理得： （*）此式表明：若用三种正多边形组合镶嵌，且在21111321nnn每个顶点处每种正多边形只用 1 个，则所用多边形的边数应满足（*）式四、用四种正多边形组合镶嵌四、用四种正多边形组合镶嵌 设所用四种正多边形的边数分别为，并设在每个顶点处每种正多边1n2n3n4n形只用 1 个，则，040 430 320 210 1360180)2(180)2(180)2(180)2( nn nn nn nn整理得： （*）此式表明：若用四种正多边形组合镶嵌，且在111114321nnnn- 7 -每个顶点处每种正多边形只用 1 个，则所用多边形的边数应满足（*）式以上我们探究的是用正多边形镶嵌的问题，除此而外，一般凸多边形也可用来镶嵌,请有兴趣的同学自已思考,进行探究.