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1、一道中考数学综合题的解析与思考江苏省姜堰市港口中学 陈勇 225517 13921723659 题目：（泰州市 2010 年） 27 （本题满分 12 分）如图，二次函数的图象经过点 D（） ，与轴交于 A、B 两点.cxy2 21 29, 3x（1） 求 的值；c（2） 如图，设点 C 为该二次函数的图象在轴上方的一点，直线 AC 将四边x形 ABCD 的面积二等分，试证明线段 BD 被直线 AC 平分，并求此时直线AC 的函数解析式；（3） 设点 P、Q 为该二次函数的图象在轴上方的两个动点，试猜想：是否存x在这样的点 P、Q，使AQPABP？如果存在，请举例验证你的猜想；如果不存在，请说
2、明理由.(图供选用)分析：问题（1）较为简单，函数图象过点，说明点的坐标适合函数关系式，直接代入求出 c 的值为 6。问题（2）关键在于条件“直线 AC 将四边形 ABCD 的面积二等分”的正确处理。直接方法：A、B、D 三点坐标已知或易求（A（） ，B（） ） ，设0 , 320 , 32出 C 点坐标为（） ，用 m 表示出四边形 ABCD 的面积及ABC 的面积，621,2mm根据ABC 的面积为四边形 ABCD 面积的一半，布列关于 m 的方程，求出 m 的值，进而解决相关问题，方法易想，但实施过程较为困难，尤其是四边形 ABCD 的面积表示。考虑到ABC 的面积与ADC 的面积相等，
3、则有点 D、点 B 到直线 AC图图的距离相等，在图中作出高 DG 和 BH，设出 AC 与 BD 的交点为 E，即有 DG=BH，要证明线段 BD 被直线 AC 平分，可由两三角形全等进行。在求直线 AC 的函数解析式时，已知点 A 坐标，C 点坐标难求，由于线段 BD 的中点 E 在 AC 上，B、D两点坐标已知，利用中点坐标公式，求出中点 E 的坐标，进而求出直线 AC 的函数解析式，如果不采用中点坐标公式，就需作出相关垂线，由梯形中位线定理求出 BD 中点 E 的纵坐标，再求出横坐标。问题（3）P、Q 为抛物线在 x 轴上方的两个动点，操作有一定的困难，需根据条件，将动点与不动点进行必
4、要的联系，由AQPABP 有AQ=AB，PQ=BP，Q 点在 x 轴上方的抛物线上，且到 A 点的距离等于 AB，以 A 点为圆心，AB 长为半径画弧，与已知图形有交点即存在。易知，抛物线顶点为（0，6） ，顶点与 A 点距离为，等于 AB，即抛物线的顶点为 Q，又34PQ=BP，P 在 QB 的垂直平分线上，连结 BQ，作出 BQ 的垂直平分线，与抛物线的交点即为 P 点。本题没有要求 P、Q 的坐标，作出图形，即可验证存在。解答：（1）点 D（）在函数图象上，有，29, 3c2)3(21 29，c=6；c23 29（2）设 AC、BD 交于点 E，分别过 D、B 画 AC 的垂线，垂足分别
5、为 G、H，DG=BCABCADCSSBHACDGAC21 21BEHDEGBHEDGE,90DGEBHE DE=BE 即线段 BD 被直线 AC 平分与 x 轴的两交点分别为 A、B，6212xyA（） 、B（）0 , 320 , 32BD 中点 E 的坐标为即（） 。)2029,2323( 49,23设直线 AC 的解析式为，根据题意得bkxy解得 49 23032bkbk 591033bk59 1033xy(3)存在抛物线的顶点为 Q，则 Q（0，6） ，连接 AQ、BQ，画 BQ 的垂直平分线在 x 轴的上方与抛物线交于 P，连接 PQ、BP，有 PQ=BPAQ=AB34)32(622
6、AQPABP。思考：本题虽说题号居后， ，但入手较易，比较注重知识的相互联系和转化，注重对研究性学习与探究能力的考查，能由特殊情形、特殊位置的存在情况，验证一一般情形的存在，有利于学生充分利用已有知识，扩散思维，提高分析、解决问题的能力，不同层次的学生可获得不出的分数，是一个好题。但同时值得关注的是：问题（2）的求解过程中，中点坐标公式至关重要，它是思维的桥梁，以它为基础进行思考，直接简单，没有它，问题的处理将较为复杂。而中点坐标公式，课程标准上，初中数学课本上均没有出现，以它来思考并解题，该如何理解？记得以前教学大纲中刚把射影定理踢出时，就明确指出：删除的内容中考试卷中肯定不会出现，就连能用
7、它进行思考并能简便运算的相应题目也肯定不会出现。如果相关内容不能进行得如此彻底，教育公平就很难体现，不可否认，城区学生基础较好，完成作业的效率较高，在学习好应知应会内容时，对延伸的知识也会有所涉猎，能运用所学知识，解决问题无可厚非；可对农村学生而言完成基础知识的学习就有一定的难度，更不用说课本之外的内容了。中考试题考知识考能力是应该的，可如果试题中出现能利用边缘知识思考解决问题的话就难以真正体现教育的公平与公正。解决此类问题要求命题专家进一步解放思想，细读数学课程标准，头脑中的传统旧知识，只要是课程标准中摒弃的，哪怕是今后进一步学习需要的，一定要坚决抛弃，不在试题中出现，不让教师和学生去揣度命题者的命题风格，让初中数学老师更能遵循课程标准，理清当讲和不当讲的内容，切实减轻学生过重的课业负担，让学生把学习数学当作是一件有趣的事情。
