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1、第一章 集合和命题课 题：1. .4- -命题的形式及等价关系命题的形式及等价关系(2(2 课时课时) )教学目标：1. 知道“命题” 、 “推出”的意义，理解“证明”的意义。2. 能写出一个简单命题的逆命题、否命题、逆否命题；理解四种命题形式之间的关系。3. 培养分类、判断、推理能力。教学重点：四种命题的概念及其关系教学难点：正确写出一个命题的逆命题、否命题、逆否命题教学过程：第第 1 课时：课时： 一、命题与推出关系：引子：判断下列语句哪些是命题？哪些不是命题？若是命题，请判断真假。(1) 实数的平方大于零(假命题)(2) 你是奉贤中学学生吗？(不是命题)(3) 空集是任何集合的子集(真命
2、题)(4) 今天是 28 日，明天一定是 29 日(假命题)(5) 请不要随地吐痰(不是命题)结合教材上的六个例子，可以得到以下结论(1) 命题是表示判断的称述句，由条件和结论两部分组成。上述几个命题中，条件和结论分别是什么？(2) 判断假命题，只要举出一个反例即可！判断真命题，必须给出证明：若满足命题条件就一定能推出命题结论。命题 成立可以推出命题 成立，即 可以推出 。记为“”：表示以 为条件、 为结论的命题是真命题。得到以下结论：(1)若 成立不可以推出 成立，记为“”：表示以 为条件、 为结论 的命题是真命题。(2)若 且 ，记为“” ，叫做 与 等价。(3)推出关系满足传递性： 且
3、，则 (命题证明的依据)。要证明命题“如果 ，那么 ” ，只要找到一系列适当而正确的命题：112n由传递性即可得到：第一章 集合和命题 例 1研究下列两者的关系：关系(1)两个角是对顶角 两个角相等(2)xy x2y2(3)x28x70x1 或 x7(4)|x|3 x3二、四种命题的关系：初中已学习过命题与逆命题的知识，请回答：什么叫做命题的逆命题？在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互为逆命题逆命题。即：命题为“如果 ，那么 ” ，则逆命题为“如果 ，那么 ” 。写出下列命题的逆命题：(1) 如果两个三角形的对应角相等
4、，那么这两个三角形相似。逆命题：如果两个三角形相似，那么这两个三角形的对应角相等。(2) 负数的平方是正数。逆命题：如果一个数的平方是正数，那么这个数是负数。(3) 正方形的四条边相等。逆命题：如果一个四边形的四条边相等，那么这个四边形是正方形。如果把命题(1)的条件和结论都换成否定形式，得到一个新命题：如果两个三角形的对应角不相等，那么这两个三角形不相似。否命题否命题如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的条件的否定和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题。如果其中一个叫做原命题原命题，那么另一个命题就叫做原命题的否命题否命题。命题“如果 ，那么 ”的否命题为“如果，那么” 。命题(2)的
5、条件是：“一个数是负数” ；结论是 ：“它的平方是正数”命题(2)的否命题：如果一个数不是负数，那么它的平方不是正数。命题(2)的否命题也可以是：一个非负数的平方不是正数。命题(3)的条件是：“一个四边形是正方形” ；结论是 ：“它的四条边相等”命题(3)的否命题：如果一个四边形不是正方形，那么它的四条边不相等。如果把命题(1)的条件和结论都换成否定形式，又得到一个新命题：如果两个三角形不相似，那么这两个三角形的对应角不相等。逆否命题逆否命题一个命题的条件与结论分别是另一个命题的结论的否定和条件的否定，第一章 集合和命题 这样的两个命题，叫做互为逆否命题，其中的一个命题叫做原命题，则另一个命题
6、就叫做原命题的逆否命题逆否命题。命题“如果 ，那么 ”的逆否命题为“如果，那么” 。命题(2)的逆否命题：如果一个数的平方不是正数，那么它不是负数。命题(3)的逆否命题：如果一个四边形的四条边不相等，那么它不是正方形。例 2 写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。(1) 若 a3，则 a2。(2) 若一个整数可以被 5 整除，则它的末位是 0。(3) 当 c0 时，若 ab，则 acbc。解：原命题(1)：若 a2，则 a3(真命题)命题(1)的逆命题：若 a2，则 a3(假命题)命题(1)的否命题：若 a3，则 a2。(假命题)命题(1)的逆否命题：若 a2，则 a3。(
7、真命题)原命题(2)：若一个整数能被 5 整除，则它的末位是 0。(假命题)命题(2)的逆命题：若一个整数的末位是 0，则它能被 5 整除。(真命题)命题(2)的否命题：若一个整数不能被 5 整除，则它的末位是不 0。 (真命题)命题(2)的逆否命题：若一个整数的末位不是 0，则它不能被 5 整除。(假命题)原命题(3)：当 c0 时，若 acbc，则 ab。(真命题)命题(3)的逆命题：当 c0 时，若 ab，则 acbc。(真命题)命题(3)的否命题：当 c0 时，若 acbc，则 ab。(真命题)命题(3)的逆否命题：当 c0 时，若 ab，则 acbc。(真命题)解题反思：(1) 写命
8、题时注意是否有大前提。(2) 否定的时候要认真斟酌，不要遗漏情况。如：“a1”的否定是“a1” ，不是“a1” ； “都是”的否定是“不都是” ，不是“都不是” ；“至少有三个人”的否定是“至多有两个人” 。(3) 命题的表达要完整。思考：观察上面的原命题、逆命题、否命题、逆否命题的真假情况，你能归纳出什么结论？结论：原命题与逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假。课堂小结：(1) 数学知识：四种命题的形式。第一章 集合和命题 第第 1 课时作业：课时作业：练习册P.5-习题 1.4-A 组 16，B 组 14 (做在练习册上)第第 2 课时：课时： 请研究原命题、逆命题、否命题、逆否命
9、题之间的关系。上节课的结论“原命题与逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假。 ”有什么用处？等价命题等价命题如果 A、B 是两个命题，AB 且 BA，那么 A、B 叫做等价命题等价命题。原命题和逆否命题是等价命题；逆命题和否命题也是等价命题。既然是等价命题，证明原命题有困难的时候，就可以去证明其逆否命题。反证反证法法：从命题结论的反面出发，引出矛盾，从而证明原命题成立，这样的证明方法叫做反证法反证法。反证法证题的步骤：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立；(2)从假设出发，经过推理，得出矛盾；(3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确.例 1 已知 BD、CE 分别是
10、ABC 的B、C 的角平分线，BDCE.求证：ABAC.本例的逆否命题是：已知 BD、CE 分别是ABC 的B、C的角平分线，ABAC.求证：BDCE. 解：ABAC ABCACBBD、CE 分别是B、C 的平分线 DBCECBDCBEBC，BCCB DBCECB则 BDCE原命题的逆否命题正确，原命题也正确。解题反思：用反证法如何书写？解：假设 ABAC ABCACB原命题原命题 若若则则逆命题逆命题 若若则则否命题否命题 若若则则逆否命题逆否命题 若若则则互为逆否互为逆否互逆互逆互逆互逆互否互否互否互否 互为逆否互为逆否ABCDE第一章 集合和命题BD、CE 分别是B、C 的平分线 DBC
11、ECBDCBEBC，BCCB DBCECB则 BDCE 与已知 BDCE 矛盾 假设不成立则原命题正确例 2求证：在ABC 中，若C 是直角，则B 一定是锐角。解：(1)假设B 是直角，因为C 是直角，所以CB1800，与三角形内角和为1800矛盾。所以B 为锐角。(2)假设B 是钝角，因为C 是直角，所以CB1800，与三角形内角和为1800矛盾。所以B 为锐角。由(1) (2) 可知，B 一定是锐角。解题反思：在运用反证法证明命题中如果命题结论的反面不止一个时，必须将结论所有反面的情况逐一驳证，才能肯定原命题的结论正确。(归谬法)例 3用反证法证明：圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。已
12、知：如图：在0 中，弦 AB、CD 交于点 P，且 AB、CD 不是直径。求证：弦 AB、CD 不被 P 平分。证明：假设弦 AB、CD 被 P 平分，连结 OP，由平面几何知识可推出：OPAB 且 OPCD 在平面内过一点 P 有两条直线 AB 和 CD 同时与 OP垂直，这与垂线性质矛盾，则原命题成立。例 4求证：是无理数。2解：假设是有理数，可设(a、bN*且 a、b 互质)22baab 得 a22b2a、bN*且 a、b 互质 a 中必含 2 的因子，得 a2必含 4 的因子a22b b 中必含 2 的因子由 a、b 均含 2 的因子可知与 a、b 互质矛盾假设不成立，则是无理数。2练习：P.5-习题 1.4-A 组 79 (做在练习册上)课堂小结：(1) 原命题、逆命题、否命题、逆否命题之间的关系；等价命题及其运用(反证法)。(2) 数学思想：分类讨论。ABCDOP第一章 集合和命题 作业：(1)一课一练P.22-15 (做在书上)(2)一课一练P.24-17 (做在书上)选做：一课一练P.22-6、P.25-8
