运算数将会给我们带来新的知识

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1、1运运 算算 数数郭耀武为什么要研究有理数运算？性质符号正、负号与运算符号加、减号之间是什么关系？ 为何“负负得正 ”？ 虽然“数学家花了 1000 年才得到负数的概念，又花了另外 1000 年才接受了负数的概念” 1，可是这些问题给人们的感觉还是象是“先有的鸡，还是 先有的蛋”这个问题一样难回答.世界上没有讲不明白道理的问题，只有尚未被认识清楚 的问题.下面就叫我们一同重新开始“从算术到有理数”的研究.、运算数与运算律、运算数与运算律1.1. 运算数运算数 问题：某人卖 A、B、C 三种水果，A 种水果亏损 20 元，B 种水果盈利 28 元，C 种水 果盈利 22 元，问该人卖这三种水果获

2、利多少钱？ 这个问题解答时，可列出多种算式： (1) 2220+28; (2) 22+2820; (3) 2820+22; 我们从这些算式中不难发现减号和数字 20 是一个密不可分的一个整体.从式子 2220+28=22+2820 可知，当20 要移到数字 28 的后面时，数字 22 是无权要求把 “”号留下来的. . 在同一级运算中，每个数和它前面的运算符号都是密不可分的，而和它后面的运算 符号没有必然的联系. .所以在这里我们可以认为：运算符号不是表示两个数的运算关系， 而是表示一个数在运算中的作用的符号. .正因为如此，我们对加数、减数、因数、除数定 义如下： 定义 1 在算式 2+3

3、中，2 和+3 叫做加数加数. . 定义 2 在算式 54 中，5 叫做加数加数，4 叫做减数减数. . 定义 3 在算式 67 中，6 和7 都叫做因数因数. 定义 4 在算式 98 中，9 叫做因数因数，8 叫做除数除数. . 定义 5 把加数、减数、因数、除数这些具有运算意义的数统称为运算数运算数. . 2.2. 运算律运算律 某些算式，其实就是运算数的排列.如 678+9 就是运算数 6、7、8、+9 的一 个排列；6789 就是运算数 6、7、8、9 的一个排列. .每个运算数只对结果负 责，与其它的运算数没有必然的联系.运算数在运算中的作用，不会随排列顺序的改变而 改变.因此，从“

4、运算数的观点”看，任何同级运算都满足交换律. . 同级运算交换律：在同级运算中，交换运算数的位置，结果不变同级运算交换律：在同级运算中，交换运算数的位置，结果不变. . 接下来，我们再探讨运算数观点下的结合律. .首先我们应弄清什么是结合律. . “三个 数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变”, 这就是现行数学教材当中对加法结合律的文字表述. .三三个数、相加，根据加法交换律则有abc , ,当交换了加数的位置，自然也就改变了运算顺序.所以加法交换律acbcba 本身包含改变数的运算顺序而和不变之意. .即包含有“三个数相加，先把前两个数相加，2或者先把后两个数相加，和不变”

5、之意. .教材当中的加法交换律与结合律，在文字的表述 上，前者说交换加数的位置，和不变；后者说改变运算顺序，和不变.我们很难发现结合 律的文字表述较交换律有任何一点新意. .笔者比较赞同教材当中结合律的字母表达式. .不体现添括号，结合律就失去了它存在的意义. .所以说结合律就)(cbacba是括号律.下面我们由两个实际问题探讨运算数所满足的结合律. . 问题 1 甲拥有 100 元钱，乙要归还甲 30 元钱，丙要向甲借 80 元钱，但在借钱与 还钱的过程中，乙把 30 元钱交给了丙，甲又拿出（8030）元钱给了丙. .这样做的结果 是甲最后拥有的钱数不变. . 用式子表示这一关系就是 100

6、+3080=100（8030）. . 问题 2 体积为 24 厘米的一个长方体，其中两个棱长分别是 2 厘米和 3 厘米，则另 一个棱长可由式子 2423 求得，也可由式子 24（23）求得.于是我们有2423 =24（23）. . 通过上面的观察与分析并结合我们已有的认识，可得到运算数所满足的结合律. .同级运算结合律：在同级运算中，把某些运算数结合在一起放在前面带同级运算结合律：在同级运算中，把某些运算数结合在一起放在前面带“+”“+”或或 “”“”的括号里，结果不变；放在前面带的括号里，结果不变；放在前面带“”或或“”“”的括号里，并同时改变这些运的括号里，并同时改变这些运 算数的符号，

7、结果也不变算数的符号，结果也不变. .例 1 运用同级运算律进行下列计算 （1）16872+80152 ； （2）8172323469 解法一： （1）16872+80152 （2）8172323469 =168152+8072 =（82）（3417）（6923） =（168152）+（8072） =423=16+8=24 =24; 解法二： （1）16872+80152 （2）8172323469 =168+8072152=（83469）（17232） =（168+80）（72+152）=18768782 =24822424=24 根据同级运算交换律与结合律，可得32=(2+3)= caac

8、aa 5;2+5=2-(5)=24.这里实际上计算的是32与camnnmnnmnaa 5.象这样的减法运算就是所谓的“不够减”问题.现在有了同级运算交换律与结合nn 律就可以对这样的算式进行运算. 例 2 计算：（1）68； （2） 23.解： （1）68= （86）= 2; （2）23= （2+3）= 5. .二二、有理数有理数31.1. 有理数有理数 定义：运算数中的加数、减数及零统称为有理数有理数. . 比 0 大 2 的数是 0+2=+2，所以+2 是比 0 大 2 的数；比 0 小 3 的数是 03=3，所 以3 是比 0 小 3 的数.可见，加数大于零，减数小于零加数大于零，减数小

9、于零. . 在算术加减算式中，由于加数对结果的增加总是起正作用，所以加数通常又叫做正 数；减数对结果的增加起负做用，所以减数通常又叫做负数. 说到有理数的应用，其实我们用算术加减法解决实际问题时，就是有理数的应用.这 里只是换个角度看问题罢了.然而，角度会改变我们的观念，会给我们带来全新的认识. 我们用算术加减法解答实际问题时，总是把题中对结果的贡献起正作用的量记作大 于零的加数，起负作用的量记作小于零的减数，并分别写在算式里.也就是说，列算术加 减算式的过程，就是我们用有理数表示实际问题中的量的过程.用有理数表示实际问题中 的量，这样的一种计数方法可以推广到数学算式之外. 比 0高出 2的温

10、度是 0+2=+2（） ，所以比 0高出 2的温度可记作+2；比 0低 3的温度是 03=3（） ，所以比 0低 3的温度可记作3. 把海平面的高度记为 0 米，比海平面高出 100 米的高度就是 0+100=+100（米） ，所 以比海平面高出 100 米的高度可记作+100 米；比海平面低 300 米的高度就是 0300=300 米，所以比海平面低 300 米的高度可记作300 米. 由于“现库存原库存+运进运出” ，所以某仓库运出货物 5 吨可记作+5 吨，运出 货物 6 吨可记作6 吨。 不难发现，用有理数表示实际问题中的量，比“算术数”更具有广泛的意义. 不难发现，用加数表示一个量与

11、用“算术数”表示一个量，无论是在算式中还是在 算式外意义都相同，所以加数等同于非零的“算术数”.2.2. 有理数加减法有理数加减法 销售某种商品已经售出部分获利 50 元，剩下的商品的成本是 350 元.设该种商品的全部售出后的总利润为元，剩余商品的销售额为元，则当yx).350(50xy时，.式子就是有理数加法.320x)30(50)350320(50y)30(50人们用加减法解方程组 时，需要把两个方程的两边相加减.为 043201632yxyx了方便起见，通常是把两边对应的有理数相加减.于是，就出现了，)3()3(yy，这样的有理数加减法运算.)4()16()3()3(yy)4()16(

12、从运算数角度看,有理数加减法与算术加减法的区别是:算术加减法算式是由相互独 立的带有单重符号的有理数组成的;有理数加减法算式是由带有双重符号的有理数组成的.可 见若能把双重符号的有理数化成单重符号的有理数,就可以把有理数加减法运算转化为算 术加减法运算.这也就解决了有理数加减法的运算问题.如何把带有双重符号的有理数化 简为单重符号的有理数呢? 我们根据同级运算结合律可知， ，baba)(baba)(baba)(4baba)(令,则有0a，bb)(bb)(bb)(bb)(我们不妨再从另外一个角度来研究这个问题.根据同级运算结合律1257)57(又 )12()57()57(所以 12)12(同理可

13、得, ,. 12)12(12)12(12)12(综合以上研究可知,同级运算结合律不仅适用于由多个有理数组成的算式的添(去)括 号,同时也适用于单个有理数的添(去)括号. 我们由同级运算结合律对单个有理数的添(去)括号也适用,可得如下有理数加减法法则有理数加减法法则:有理数相加减有理数相加减, ,先把双重符号来化简先把双重符号来化简, ,同号得加同号得加, ,异号得减异号得减. .例 3 计算（1） （+2）（3）+（8） ； （2） （81）+（+21）+（19）+（+90）. . 解： （1） （+2）（3）+（8） （2） （81）+（+21）+（19）+（+90）=2+38 =81+21

14、19+90=58 =9081+2119=（85） =（9081）+（2119） =3 =9+2.=11 ;例例 4 4 求证：=)(dcba)()()()(dcba证明：因为 ，)(dcbadcba又因为 ，)()()()(dcbadcba所以 = =. .)(dcba)()()()(dcba3.3. 有理数乘除法有理数乘除法某商店新进一种水果千克，以每千克元售出千克后，每千克降价元并全部ambn售出.问降价后的水果共卖了多少钱？显然，答案是： （-）(-)元.mnab我们利用图形的面积或者是数值都可以验证下面的等式成立：5（-）(-)=.mnabnbnambma如何将等式左边的式子经过一定的运算得到等式右边的式子呢？为了计算上的方便，人们通常将等式右边的,分别看成是由等式左边的有理数与，mambnanbma与-，-与，-与-的乘积运算得到的.这样就出现了则就出现了（-） ，mbnanbmb（-） ， （-）（-）这样的有理数乘法运算.由于运算必须满足使= nanbma，（-）=-， （-） =-， （-）（-）= +，所以，我mambmbnan anbnb们规定如下有理数乘法法则有理数