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1、1新题型研究之应用性问题(课标版原创)新题型研究之应用性问题(课标版原创)【考点知晓考点知晓】情景应用性问题是中考重要考点之一,是具有实际意义或实用背景的数学问题.由于它来自于生活,生产实践,因此它反映时代气息,关注着社会热点,涉及现实生活各个方面.解决应用性问题的关键是正确理解题意,排除一切非数学因素的干扰,努力读懂题目中的图形、表格及数量之间的关系,然后捕捉每一个有效的信息,将生活中的语言转换成数学语言,实际问题转化为数学问题,并构造出相应数学模型,从而求得问题的正确答案.【考题漫步考题漫步】例 1 小杰到学校食堂买饭,看到 A、B 两窗口前面排队的人一样多(设为 a 人,a 8) ,就站
2、到 A 窗口队伍的后面. 过了 2 分钟,他发现 A 窗口每分钟有 4 人买了饭离开队伍,B 窗口每分钟有 6 人买了饭离开队伍,且 B 窗口队伍后面每分钟增加 5 人.(1)此时,若小杰继续在 A 窗口排队,则他到达窗口所花的时间是多少(用含 a 的代数式表示)?(2)此时,若小杰迅速从 A 窗口队伍转移到 B 窗口队伍后面重新排队,且到达 B窗口所花的时间比继续在 A 窗口排队到达 A 窗口所花的时间少,求 a 的取值范围(不考虑其他因素). 思路分析:思路分析:由于小杰从 2 分钟后到达 A 窗口所花的时间并不包括小杰买好饭的时间,2 分钟后,小杰前面只有 a42=(a8)人,而 1 分
3、钟就有 4 人离开,因此(a8)人要分钟才会离开,48a小杰才能到达 A 窗口;若在 2 分钟后小杰从 A 窗口队伍中到达B 窗口的队伍中去,B 队伍同样有人离开,且 2 分钟期间有 12 人离开,有 52=10 人加入 B 队伍,于是当小杰到达 B 队之前,已有人,每分钟有 6 人离开,故当小杰到达 B 窗口时,所花时)2(1012aa间为分钟,若到达 B 窗口所花时间比到达 A 窗口所花时间少,则有.62a 62 48aa解:(1)他继续在 A 窗口排队所花的时间为(分) 428 44aa(2)由题意,得BA2.解得 a 20.426252 46aa 所以,a 的取值范围为 a 20. 重
4、要提醒:重要提醒:此题的情境学生并不陌生,且立意新颖难度不大,考生在日常生活中经常会遇到卖东西排队的时候,为了节约时间也往往会挑一条速度较快的队伍去排,如果题中的字母 a 是一个具体的数字,则这个问题就相当容易了,而此题主要就是为了考查考生用字母表示数的问题,能够用含字母的代数式表达所要表达的式子.触类旁通:触类旁通:有一个只许单向通过的窄道口,通常情况下,每分钟可以通过 9 人一天,王老师到达道口时,发现由于拥挤,每分钟只能 3 人通过道口,此时,自己前面还有 36 个人等待通过(假定先到的先过,王老师过道口的时间忽略不计) ,通过道口后,还需 7 分钟到达学校(1)此时,若绕道而行,要 1
5、5 分钟到达学校,从节省时考虑,王老师应选择绕道去学校,还是选择通过拥挤的道口去学校?(2)若在王老师等人的维持下,几分钟后,秩序恢复正常(维持秩序期间,每分钟仍有 3 人通过道口) ,结果王老师比拥挤的情况下提前了 6 分钟通过道口,问维持秩序的时间是多少?解:(1) 71915,336 王老师应选择绕道而行去学校(2)设维持秩序时间为t则(t)6,336 9336t解之得t3(分) 答:维持好秩序的时间是 3 分钟 例 2 马戏团让狮子和公鸡表演跷跷板节目跷跷板支柱 AB 的高度为 1.2 米(1)若吊环高度为 2 米,支点 A 为跷跷板 PQ 的中点,狮子能否将公鸡送到吊环上?为什么?(
6、2)若吊环高度为 3.6 米,在不改变其他条件的前提下移动支柱,当支点 A 移到跷跷板 PQ 的什么位置时,狮子刚好能将公鸡送到吊环上?PABQC3ADBFCEP30思路分析:思路分析:(1)由三角形的中位线性质可知,狮子能将公鸡送到吊环上;(2)由相似三角形性质,通过对应边成比例,问题得解.解:(1)狮子能将公鸡送到吊环上如图 1,当狮子将跷跷板 P 端按到底时可得到 RtPHQ,AB 为PHQ 的中位线,AB1.2(米)QH2.42(米) (2)支点 A 移到跷跷板 PQ 的三分之一处(PAPQ) ,31狮子刚好能将公鸡送到吊环上如图 2,PABPQH,31PQPA QHABQH3AH3.
7、6(米)重要提醒:重要提醒:构造三角形,利用三角形的性质解决应用形问题,是中考的命题热点之一.触类旁通:触类旁通:如图,某一时刻太阳光从教室窗户射入室内,与地面的夹角BPC 为 30,窗户的一部分在教室地面所形成的影长 PE 为 3.5 米,窗户的高度 AF 为 2.5 米.求窗外遮阳蓬外端一点 D 到窗户上椽的距离 AD.(结果精确到 0.1 米)ABPQH图 1ABPQH 图 24例 3思路分析:思路分析:从第二个饭碗开始,每增加一个饭碗,增加的高度不变,是很典型的一次函数关系.重要提醒:重要提醒:代定系数法是常用的数学思想方法,常用来求函数表达式.触类旁通:触类旁通:商店里把塑料凳整齐地
8、叠放在一起,据图 3 的信息,当有 10 张塑料凳整齐地叠放在一起时的高度是50cm例 4 近年来,由于受国际石油市场的影响,汽油价格不断上涨请你根据下面的信息,帮小明计算今年 5 月份汽油的价格582a-2aCBA/ 思路分析:思路分析:从对话内容中找出量与量之间的相等关系(即:同样的钱加的油量不同) ,是列方程解应用题的关键.解:设今年 5 月份汽油价格为 x 元升,则去年 5 月份的汽油价格为(x-1.8)元升根据题意,得 15015018.751.8xx整理,得 x2 - l.8x - 14.4 = 0解这个方程,得 x1=4.8,x2=-3 分经检验两根都为原方程的根,但 x2-3
9、不符合实际意义,故舍去分答:今年 5 月份的汽油价格为 4.8 元升 重要提醒:重要提醒:列分式方程解应用题应注意两点,一是要验根;二是要看结果是否符合题意.例 5 在暑期社会实践活动中,小明所在小组的同学与一 家玩具生产厂家联系,给该厂组装玩具,该厂同意他们组装 240 套玩具.这些玩具分为 A、B、C 三种型号,它们的数量比例以及每人每小时组装各种型号玩具的数量如图所示:若每人组装同一种型号玩具的速度都相同,根据以上信息,完成下列填空:6(1)从上述统计图可知,A 型玩具有 套,B 型玩具有 套,C 型玩具有 套.(2)若每人组装 A 型玩具 16 套与组装 C 型玩具 12 套所画的时间
10、相同,那么的值a为 ,每人每小时能组装 C 型玩具 套.思路分析:思路分析:由扇形统计图可知,B 型玩具占 20, C 型玩具占 25,再由条形统计图中 C 型玩具每人每小时组装(2a2)套,可求出 a 的值.解:(1) 132,48,60,(2) 4,6,重要提醒:重要提醒:正确理解条形统计图和扇形统计图的特点是解题关键.触类旁通:触类旁通:如图是连续十周测试甲、乙两名运动员体能训练情况的折线统计图.教练组规定:体能测试成绩 70 分以上(包括 70 分)为合格.请根据图 11 中所提供的信息填写右表:请从下面两个不同的角度对运动员体能测试结果进行判断:依据平均数与成绩合格的次数比较甲和乙,
11、 的体能测试成绩较好;依据平均数与中位数比较甲和乙, 的体能测试成绩较好.依据折线统计图和成绩合格的次数,分析哪位运动员体能训练的效果较好.解: 平均数中位数体能测试成绩合格次数甲65乙607平均数中位数体能测试成绩合格次数甲60652乙6057.54乙;甲从折线图上看,两名运动员体能测试成绩都呈上升趋势,但是,乙的增长速度比甲快,并且后一阶段乙的成绩合格次数比甲多,所以乙训练的效果较好.【轻松演练】1.右图是由 9 个等边三角形拼成的六边形,若已知中间的小等边三角形的边长是 a,则六边形的周长是 3oa .2.某品牌电饭锅成本价为 70 元,销售商对其销售量与定价的关系进行了调查,结果如下:
12、定价(元)100110120130140150销量(个)801001101008060为获最大利润,销售商应该将该品牌电饭锅定价为 130 元.3.一个篮球需要 m 元,买一人排球需要 n 元,则买 3 个篮球和 5 个排球共需要-_元3m5n4.如图为了测量某建筑物 AB 的高度,在平地上 C 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 30,沿 CB 方向前进 12m 到达 D 处,在 D 处测得建筑物顶端 A 的仰角为 45,则建筑物 AB的高度等于A6(1)m B 6 (1) m33C 12 (1) m D12(1)m335.如图是测量一物体体积的过程:8AEC BD甲乙第 6题步骤一,将的水装进
13、一个容量为的杯子中180ml300ml步骤二,将三个相同的玻璃球放入水中,结果水没有满步骤三,同样的玻璃球再加一个放入水中,结果水满溢出根据以上过程,推测一颗玻璃球的体积在下列哪一范围内?3(1ml1cm )以上,以下以上,以下310cm320cm320cm330cm以上,以下以上,以下330cm340cm340cm350cm6.如图,小明站在 C 处看甲乙两楼楼顶上的点 A 和点 E.C,E,A 三点在同一条直线上,点 B,E 分别在点 E,A 的正下方且 D,B,C 三点在同一条直线上.B,C 相距 20 米,D,C 相距 40 米,乙楼高 BE 为 15 米,甲楼高 AD 为( )米(小
14、明身高忽略不计).A、40 B、20 C、15 D、307.如示意图,小华家(点A处)和公路( )之间竖立着一块l35m长且平行于公路的巨型广告牌(DE) 广告牌挡住了小华的视线,请在图中画出视点A的盲区,并将盲区内的那段公路计为BC一辆以60km/h匀速行驶的汽车经过公路段的时间是3s,已知广告牌和公路的距离是40m,求小华家到公路的距离(精确到1m) 133m8.如图, “五一”期间在某商贸大厦上从点 A 到点 B 悬挂了一条宣传条幅,小明和小雯的家正好住在商贸大厦对面的家属楼上小明在四楼 D 点测得条幅端点 A 的仰角为 30,测得条幅端点 B 的俯角为 45o;小雯在三楼 C 点测得条
15、幅端点 A 的仰角为 45o,测得条幅端点 B 的俯角为 30若设楼层高度步骤一:步骤二:步骤三:9CD 为 3 米,请你根据小明和小雯测得的数据求出条幅 AB 的长 (结果精确到个位,参考数据=1732)3解:过 D 作 DMAE 于 M,过 C 作 CNAE 于 N,则:MN=CD=3 米,设 AM=x,则 AN=x+3, 由题意:ADM =30,ACN =45, 在 RtADM 中,DM=AMcot30=x,3在 RtANC 中,CN=AN=x+3, 又 DM=CN=MB,x=x+3,解之得,x=(+1) ,33 23AB=AM+MB=x+x+3=2(+1)+3=3+611(米)3 2339.小明与小华在玩一个掷飞镖游戏,如图甲是一个把两个同心圆平均分成 8 份的靶,当飞镖掷中阴影部分时,小明胜,否则小华胜(没有掷中靶或掷到边界线时重掷) (1)不考虑其他因素,你认为这个游戏公平吗?说明理由(2)请你在图乙中,设计一个不同于图甲的方案,使游戏双方公平解:(1)这个游戏公平 根据图甲的对称性,阴影部分的面积等于圆面积的一半,6这个游戏公平(2)把图乙中的同心圆平均分成偶数等分,再把其中的一半作为阴